專題01 三角形中的常見模型綜合訓(xùn)練原卷

培優(yōu)專題01三角形中的常見模型綜合訓(xùn)練考點(diǎn)一：三角形的全等模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)不是簡單的直接考察，而是作為幾何題的中間變量，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，來傳遞等量線段或者等價(jià)角。而當(dāng)題目不直接考察時(shí)，識別需要的全等模型，并利用對應(yīng)結(jié)論做題就是最為重要的一個(gè)突破口，學(xué)習(xí)模型，運(yùn)用模型結(jié)論直接做題會(huì)給我們提供一個(gè)非常重要的做題思路。題型01三角形常見全等模型及其應(yīng)用解題大招：全等常見模型：①K型圖：圖形條件與結(jié)論輔助線注意事項(xiàng)條件：AC=BC,AC⊥BC結(jié)論：△ADC≌△CEB(AAS)分別過點(diǎn)A、B作AD⊥l,BE⊥lK型圖可以和等腰直角三角板結(jié)合，也可以和正方形結(jié)合K型全等模型變形——三垂定理：如圖，亦有△ADC≌△CEB(AAS)總結(jié)：當(dāng)一個(gè)直角放在一條直線上時(shí)，常通過構(gòu)造K型全等來證明邊相等，或者邊之間的數(shù)量關(guān)系②手拉手：模型名稱幾何模型圖形特點(diǎn)具有性質(zhì)全等型手拉手AD=AEAB=AC∠BAC=∠DAE連結(jié)BD、CE①△ABD≌△ACE②△AOB∽△HOC③旋轉(zhuǎn)角相等（即∠1=∠2=∠3）④A、B、C、D四點(diǎn)共圓⑤AH平分∠BHE③倍長中線：基本圖形輔助線條件與結(jié)論應(yīng)用環(huán)境延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE條件：△ABC，AD=BD結(jié)論：△ABD≌△CED(SAS)①倍長中線常和△三邊關(guān)系結(jié)合，考察中線長的取值范圍②倍長中線也可以和其他幾何圖形結(jié)合，考察幾何圖形的面積問題【中考真題練】1．（2023?長春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短2．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．3．（2023?呼和浩特）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長線于點(diǎn)M，PN交BC的延長線于點(diǎn)N，且PM⊥PN．若BM＝1，則△PMN的面積為（）A．13 B． C．8 D．4．（2023?湖北）如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE＞AE，連接DF交AE于點(diǎn)G，DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正確結(jié)論的序號是．5．（2023?遂寧）如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角△ABE、△ACD，連結(jié)ED、BD、EC，過點(diǎn)A的直線l分別交線段DE、BC于點(diǎn)M、N．以下說法：①當(dāng)AB＝AC＝BC時(shí)，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，則DE＝2；④當(dāng)直線l⊥BC時(shí)，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)．正確的有．（填序號）6．（2023?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，連接AM，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，在AM，AN上分別截取AE，AF，使AE＝AF＝BC，連接EF，交對角線BD于點(diǎn)G，連接AG并延長交BC于點(diǎn)H．若AM＝，CH＝2，則AG的長為．7．（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．8．（2023?遂寧）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O為對角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l分別與AD、BC所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）（1）求證：△DOE≌△BOF；（2）當(dāng)直線l⊥BD時(shí)，連結(jié)BE、DF，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由．9．（2023?巴中）綜合與實(shí)踐．（1）提出問題．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，連接BD，連接CE交BD的延長線于點(diǎn)O．①∠BOC的度數(shù)是．②BD：CE＝．（2）類比探究．如圖2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，連接AD、BE并延長交于點(diǎn)O．①∠AOB的度數(shù)是；②AD：BE＝．（3）問題解決．如圖3，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AD上（不與A重合），以AE為邊在AD的左側(cè)構(gòu)造等邊△AEF，將△AEF繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，M為EF的中點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)．①說明△MND為等腰三角形．②求∠MND的度數(shù)．【中考模擬練】1．（2023?三穗縣校級一模）如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE并延長至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．52．（2024?昆山市一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝6，∠D是銳角，CE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接BF，EF．若∠EFB＝90°，則CE的長為．3．（2023?福田區(qū)二模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，且∠MON＝90°，連接MN交OC于P，若BM＝2，則OP?OC＝．4．（2024?河南一模）如圖，在菱形OABC中，∠BCO＝60°，點(diǎn)C（﹣3，0），點(diǎn)D在對角線BO上，且OD＝2BD，點(diǎn)E是射線AO上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為x軸上一點(diǎn)（F在DE左側(cè)），且∠EDF＝60°，連接EF，當(dāng)△DEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．（1，3） B． C． D．（0，0）5．（2023?長春模擬）兩個(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個(gè)三角板抽象成如圖②所示的△ABC和△ADE，點(diǎn)B、C、D依次在同一條直線上，連接CE．若CD＝1，CE＝3，則點(diǎn)A到直線BC的距離為．6．（2024?雁塔區(qū)校級二模）已知：如圖，點(diǎn)E、F在BC上，AF與DE交于點(diǎn)G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求證：AG＝DG．7．（2024?涼州區(qū)一模）某同學(xué)用10塊高度都是5cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），點(diǎn)B在CE上，點(diǎn)A和D分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ACB≌△BED；（2）求兩堵木墻之間的距離．8．（2024?龍馬潭區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長線于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)二：三角形的相似模型相似三角形和勾股定理是解決初中數(shù)學(xué)求長度問題中的兩大重要定理，所有的幾何問題就長度，最后幾乎都能轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)定理的應(yīng)用。而作為應(yīng)用幾率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性質(zhì)思考對應(yīng)問題的走向就是一個(gè)非常重要的解題思想。所以，先熟悉相似的各種模型，再在問題中識別模型，最后利用模型找捷徑。題型01相似三角形常見模型及其應(yīng)用解題大招：相似常見模型：①A字圖：當(dāng)DE∥BC時(shí)△ADE∽△ABC性質(zhì)：當(dāng)∠ADE=∠ACB時(shí)當(dāng)DE∥BC時(shí)△ADE∽△ABC性質(zhì)：當(dāng)∠ADE=∠ACB時(shí)△ADE∽△ACB性質(zhì)：變型②8字圖：當(dāng)∠A=∠C時(shí)△AJB∽△CJD當(dāng)∠A=∠C時(shí)△AJB∽△CJD性質(zhì)：當(dāng)AB∥CD時(shí)△AOB∽△DOC當(dāng)AB∥CD時(shí)△AOB∽△DOC性質(zhì)：變型③一線三等角：一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時(shí)，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時(shí)，有Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB射影定理：☆：有關(guān)射影定理圖形常見的三個(gè)應(yīng)用方向：等積法（求斜邊上的高）☆：有關(guān)射影定理圖形常見的三個(gè)應(yīng)用方向：等積法（求斜邊上的高）同角的余角相等（得∠A=∠BCD）射影定理在圓中因?yàn)橹睆剿鶎A周角=90°，轉(zhuǎn)化得此圖形，進(jìn)而利用以上3個(gè)結(jié)論！☆：“母子△”與“阿氏圓”阿氏圓的基本原理就是構(gòu)造母子三角形，之后再結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短求解最后結(jié)果。具體步驟等見最值小專題“阿氏圓”！【中考真題練】1．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.23．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AB＝AD，AC與BD交于點(diǎn)E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（）A．6 B． C．5 D．25．（2023?東營）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③6．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．7．（2023?呼和浩特）如圖，正方形ABCD的邊長為，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)M，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，連接BF分別交AC，AE于點(diǎn)G，H，且BF⊥AE，連接MH，則AH＝，MH＝．8．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．9．（2023?鄂州）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，則的值是．10．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．11．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來的，得到△A2BC2，這個(gè)變換記作T（B，逆50°，）．（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，△ABC經(jīng)過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；Ⅱ．直接寫出AE的長．【中考模擬練】1．（2024?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△OCD是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OB＝2OD，△OCD的周長為3，則△OAB的周長為（）A．6 B．9 C．12 D．302．（2024?平遙縣一模）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的點(diǎn)，且，CD與BE交于點(diǎn)O，則S△COE：S△BOC的值為（）A． B． C． D．3．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)G在CA的延長線上，GB＝GE，若BE+CG＝10，＝，則AF的長為（）A．1 B． C． D．24．（2024?龍湖區(qū)校級一模）邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于H，則下列結(jié)論：①EF＝EC；②CF2＝CG?CA；③BE?DH＝16；④若BF＝1，則，正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④5．（2024?河北模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，連接ED，則CD的長為（）A．1 B． C．2 D．6．（2024?寧波模擬）如圖，在正方形ABCD中，G為BC上一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF經(jīng)過點(diǎn)A．若∠CDG＝α，則∠AHF＝；若AH＝3，GC＝2，則△EFH的面積為．7．（2024?沈陽模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝1，F(xiàn)是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，作∠EFG＝90°，交CD邊于點(diǎn)G，將△FDG沿著FG所在直線折疊，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在BC邊上，則DF的長為．8．（2024?伊寧市校級一模）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AC上，EF⊥BE交CD于點(diǎn)F，且F為CD的中點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，連接BF交AC于點(diǎn)H，連接GH．下列結(jié)論：①∠EFB＝45°；②；③EH＝2GH；④GO?BG＝GH?GD．其中正確結(jié)論的序號為．9．（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，連接BE，以BE為斜邊在BE的右側(cè)作等腰直角△BDE，P是AE邊上的一點(diǎn)，連接PC和CD，當(dāng)∠PCD＝45°，則PE長為．10．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實(shí)踐”小組開展測量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測量，測量報(bào)告如下．課題測量旗桿的高度成員組長：×××組員：×××，×××，×××測量工具皮尺，標(biāo)桿測量示意圖說明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿EF，觀測者沿著直線BF后退到點(diǎn)D，使眼睛C、標(biāo)桿的頂端E、旗桿的頂端A在同一直線上．測量數(shù)據(jù)觀測者與標(biāo)桿的距離DF觀測者與旗桿的距離DB標(biāo)桿EF的長觀測者的眼睛離地面的距離CD1m18m2.4m1.6m問題解決如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)G．…請根據(jù)以上測量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿AB的高度．11．（2024?中山市一模）【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．易證：△AED∽△BFE．（不需要證明）【探究】如圖②，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△AED∽△BFE．（2）若AB＝10，AD＝6，E為AB的中點(diǎn)，求BF的長．【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過點(diǎn)E作∠CEF＝45°交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，BE的長為．考點(diǎn)三：三角形的組合模型三角形除了全等模型，還有一些可以得到特殊性質(zhì)或者結(jié)論的組合模型，即當(dāng)兩個(gè)或者三個(gè)條件同時(shí)出現(xiàn)，就會(huì)有一些固定用法，這類模型我們叫它組合模型。題型01三角形組合模型及其應(yīng)用解題大招：常見組合模型①知2得1：①AD為角平分線；②DE∥AB；③AE=ED若以上3個(gè)條件中有2個(gè)成立，則剩余的那個(gè)就會(huì)成立。即：三條件滿足“知2得1”①AD為角平分線；②DE∥AB；③AE=ED若以上3個(gè)條件中有2個(gè)成立，則剩余的那個(gè)就會(huì)成立。即：三條件滿足“知2得1”②勾股定理面積應(yīng)用：圖形結(jié)論總結(jié)當(dāng)分別以直角三角形的三邊為邊（或底邊、半徑）做規(guī)則的正方形、等邊三角形、等腰直角三角形、半圓時(shí)，均滿足兩直角邊所做圖形的面積和等于斜邊所做圖形的面積ACDACDBEEDBCAF☆1：若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時(shí)，結(jié)論BD☆1：若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時(shí)，結(jié)論BD2＋CE2=DE2仍然成立EDBCAEDBCAF☆2：若∠DAE=135°時(shí)，則有結(jié)論CD☆2：若∠DAE=135°時(shí)，則有結(jié)論CD2＋BE2=DE2?！局锌颊骖}練】1．（2023?衢州）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長為半徑畫弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F．連結(jié)AF并延長，交BC于點(diǎn)G．連結(jié)DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC2．（2023?揚(yáng)州）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個(gè)直角三角形的面積為．3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，G為BC的中點(diǎn)，連接FG．求證：FG＝AB．4．（2023?黃石）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點(diǎn)F，AC平分∠DAB，點(diǎn)C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點(diǎn)P．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求證：AC?PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP?DC，求的值．5．（2023?懷化）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)．連接PC、AC、OC，且PC＝PA．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）延長PC與AB的延長線交于點(diǎn)D，求證：PD?OC＝PA?OD；（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求陰影部分的面積．【中考模擬練】1．（2023?武安市三模）有一題目：“如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF＝DE，求∠DFB的度數(shù)．”小賢的解答：以D為圓心，DE長為半徑畫圓交AB于點(diǎn)F，連接DF，則DE＝DF，由圖形的對稱性可得∠DFB＝∠DEB．結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得∠DFB＝140°．而小軍說：“小賢考慮的不周全，∠DFB還應(yīng)有另一個(gè)不同的值”．下列判斷正確的是（）A．小軍說的對，