五年高考高考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)詳解 專(zhuān)題17 立體幾何綜合（含解析）文-人教高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

專(zhuān)題17立體幾何綜合【2020年】1.（2020·新課標(biāo)Ⅰ文）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心，平面，在上，，是圓內(nèi)接正三角形，，，，即，平面平面，平面平面；（2）設(shè)圓錐的母線(xiàn)為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.2.（2020·新課標(biāo)Ⅱ文）如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)．過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24.【解析】（1）分別為，的中點(diǎn)，又在等邊中，為中點(diǎn)，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）過(guò)作垂線(xiàn)，交點(diǎn)為，畫(huà)出圖形，如圖平面平面，平面平面又為的中心.故：，則，平面平面，平面平面，平面平面又在等邊中即由（1）知，四邊形為梯形四邊形的面積為：，為到的距離，.3.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）點(diǎn)在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體,所以平面,因?yàn)殚L(zhǎng)方體,所以四邊形為正方形因?yàn)槠矫?因此平面,因?yàn)槠矫?所以；（2）在上取點(diǎn)使得,連,因?yàn)?所以所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)樗运倪呅螢槠叫兴倪呅?，因此在平面?nèi)4.（2020·北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.5.（2020·江蘇卷）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）證明詳見(jiàn)解析.【解析】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.6.（2020·江蘇卷）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿(mǎn)足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線(xiàn)與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此7.（2020·山東卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)樗云矫妫唬?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線(xiàn)的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為.8.（2020·天津卷）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.9.（2020·浙江卷）如圖，三棱臺(tái)DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）【解析】（Ⅰ）作交于，連接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱臺(tái)的定義可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．（Ⅱ）因?yàn)椋耘c平面所成角即為與平面所成角．作于，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)樗云矫嫫矫?，而平面平面，平面，∴平面．即在平面?nèi)的射影為，即為所求角．在中，設(shè)，則，，∴．故與平面所成角的正弦值為．【2019年】1．【2019·全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連結(jié).因?yàn)镸，E分別為的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.（2）過(guò)C作C1E的垂線(xiàn)，垂足為H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.從而CH⊥平面，故CH的長(zhǎng)即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點(diǎn)C到平面的距離為.2．【2019·全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）18.【解析】（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故．又，所以BE⊥平面．（2）由（1）知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，.作，垂足為F，則EF⊥平面，且．所以，四棱錐的體積．3．【2019·全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】圖1是由矩形ADEB，ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2．（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的四邊形ACGD的面積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）取CG的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，DM.因?yàn)锳B∥DE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EMCG，故CG平面DEM．因此DMCG．在DEM中，DE=1，EM=，故DM=2．所以四邊形ACGD的面積為4．4．【2019·北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（3）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以．又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以．所以平面PAC．（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE．取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．則FG∥AB，且FG=AB．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四邊形CEGF為平行四邊形．所以CF∥EG．因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．5．【2019·天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，.（1）設(shè)G，H分別為PB，AC的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求證：平面；（3）求直線(xiàn)AD與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．【解析】（1）連接，易知，.又由，故.又因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD.（2）取棱PC的中點(diǎn)N，連接DN.依題意，得DN⊥PC，又因?yàn)槠矫嫫矫鍼CD，平面平面，所以平面PAC，又平面PAC，故.又已知，，所以平面PCD.（3）連接AN，由（2）中平面PAC，可知為直線(xiàn)與平面PAC所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，CD=2且N為PC的中點(diǎn)，所以.又，在中，.所以，直線(xiàn)AD與平面PAC所成角的正弦值為.6．【2019·江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BC?A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.7．【2019·浙江卷】如圖，已知三棱柱，平面平面，，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線(xiàn)EF與平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】方法一：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC．又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（2）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四邊形EGFA1為矩形．由（1）得BC⊥平面EGFA1，則平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線(xiàn)A1G上．連接A1G交EF于O，則∠EOG是直線(xiàn)EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）．不妨設(shè)AC=4，則在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點(diǎn)，故，所以．因此，直線(xiàn)EF與平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E–xyz．不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（2）設(shè)直線(xiàn)EF與平面A1BC所成角為θ．由（1）可得．設(shè)平面A1BC的法向量為n，由，得，取n，故，因此，直線(xiàn)EF與平面A1BC所成的角的余弦值為．【2018年】1．【2018·全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線(xiàn)段上一點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1.【解析】（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足為E，則．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱錐的體積為．2．【2018·全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】 如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．3．【2018·全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線(xiàn)為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．4．【2018·北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).（1）求證：PE⊥BC；（2）求證：平面PAB⊥平面PCD；（3）求證：EF∥平面PCD.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）∵，且為的中點(diǎn)，∴.∵底面為矩形，∴，∴.（2）∵底面為矩形，∴.∵平面平面，∴平面.∴.又，∴平面，∴平面平面.（3）如圖，取中點(diǎn)，連接.∵分別為和的中點(diǎn)，∴，且.∵四邊形為矩形，且為的中點(diǎn)，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.5．【2018·天津卷文數(shù)】如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（1）求證：AD⊥BC；（2）求異面直線(xiàn)BC與MD所成角的余弦值；（3）求直線(xiàn)CD與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【解析】（1）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（2）取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND．又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn)，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)BC與MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因?yàn)锳D⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，異面直線(xiàn)BC與MD所成角的余弦值為．（3）連接CM．因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，故CM⊥AB，CM=．又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線(xiàn)CD與平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直線(xiàn)CD與平面ABD所成角的正弦值為．6．【2018·江蘇卷】在平行六面體中，．求證：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B．又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因?yàn)锳1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．7．【2018·浙江卷】如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直線(xiàn)AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值是.【2017年】1．【2017·全國(guó)Ⅰ文數(shù)】如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且．（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P?ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）由已知，得，．由于，故，從而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面內(nèi)作，垂足為．由（1）知，平面，故，可得平面．設(shè)，則由已知可得，．故四棱錐的體積．由題設(shè)得，故．從而，，．可得四棱錐的側(cè)面積為．2．【2017·全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，（1）證明：直線(xiàn)平面;（2）若△的面積為，求四棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.（2）取AD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因?yàn)?，所以PM⊥CM.設(shè)BC=x，則CM=x，CD=，PM=，PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N，連結(jié)PN，則PN⊥CD，所以.因?yàn)椤鱌CD的面積為，所以，解得x=?2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=，所以四棱錐P?ABCD的體積.3．【2017·全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】如圖，四面體ABCD中，是正三角形，AD=CD．（1）證明：AC⊥BD；（2）已知是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1:1【解析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO.因?yàn)锳D=CD，所以AC⊥DO.又由于是正三角形，所以AC⊥BO.從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.（2）連結(jié)EO.由（1）及題設(shè)知∠ADC=90°，所以DO=AO.在中，.又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.由題設(shè)知為直角三角形，所以.又是正三角形，且AB=BD，所以.故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:1.4．【2017·北京卷文數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，E為線(xiàn)段PC上一點(diǎn)．（1）求證：PA⊥BD；（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；（3）當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E–BCD的體積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）因?yàn)?，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?（2）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，由（1）知，，所以平面，所以平面平面.（3）因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，.由（1）知，平面，所以平面.所以三棱錐的體積.5．【2017·天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，．（1）求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；（2）求證：平面；（3）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．【解析】（1）如圖，由已知AD//BC，故或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AP與BC所成的角．因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，異面直線(xiàn)AP與BC所成角的余弦值為．（2）因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線(xiàn)PD平面PDC，所以AD⊥PD．又因?yàn)锽C//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．（3）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線(xiàn)交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線(xiàn)DF和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得，在Rt△DPF中，可得．所以，直線(xiàn)AB與平面PBC所成角的正弦值為．6．【2017·山東卷文數(shù)】由四棱柱ABCD?A1B1C1D1截去三棱錐C1?B1CD1后得到的幾何體如圖所示，四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.（1）證明：∥平面B1CD1;（2）設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由于是四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，分別為和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以因?yàn)樗杂制矫妫云矫嬗制矫?，所以平面平?7．【2017·江蘇卷】如圖，在三棱錐中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，，所以．又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以EF∥平面ABC．（2）因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以AD⊥AC．8．【2017·浙江卷】如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAB；（2）求直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】本題主要考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系，直線(xiàn)與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.滿(mǎn)分15分.（1）如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)?，，所以且，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以，因此平面PAB．（2）分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N．連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ．因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQ//CE．由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD．由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線(xiàn)，垂足為H，連接MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線(xiàn)CE與平面PBC所成的角．設(shè)CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=，所以直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值是．【2016年】1.【2016·新課標(biāo)1卷】（本小題滿(mǎn)分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明：平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．【答案】（=1\*ROMANI）見(jiàn)解析（=2\*ROMANII）【解析】（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（Ⅱ）過(guò)作，垂足為，由（Ⅰ）知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由（Ⅰ）知為二面角的平面角，故，則，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，所以為二面角的平面角，．從而可得．所以，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可?。O(shè)是平面的法向量，則，同理可?。畡t．故二面角EBCA的余弦值為．2.【2016·新課標(biāo)2文數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，從而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取.于是，.因此二面角的正弦值是.3.【2016·江蘇卷】(本小題滿(mǎn)分14分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且，.求證：（1）直線(xiàn)DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】證明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn).所以，于是又因?yàn)镈E平面平面所以直線(xiàn)DE//平面（2）在直三棱柱中，因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)樗云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以又因?yàn)樗砸驗(yàn)橹本€(xiàn)，所以4.【2016·天津文數(shù)】（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.（I）求證：EG∥平面ADF；（=2\*ROMANII）求二面角O-EF-C的正弦值；（=3\*ROMANIII）設(shè)H為線(xiàn)段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線(xiàn)BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】依題意，，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，.（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€(xiàn)，所以.（II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.（III）解：由，得.因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線(xiàn)和平面所成角的正弦值為.5.【2016·北京文數(shù)】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫妫云矫娈?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).6.【2016·新課標(biāo)3文數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（I）證明平面；（II）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，，，，.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是.7.【2016·浙江文數(shù)】(本題滿(mǎn)分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(=1\*ROMANI)求證：EF⊥平面ACFD；(=2\*ROMANII)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）．【解析】（Ⅰ）延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，如圖所示．因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，因此．又因?yàn)椋?，，所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則．所以平面．（Ⅱ）方法一：過(guò)點(diǎn)作于Q，連結(jié)．因?yàn)槠矫?，所以，則平面，所以．所以是二面角