【數學】條件概率與全概率測試-2023-2024學年高二下學期數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第1頁（共1頁）條件概率與全概率一．選擇題（共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。）1．先后兩次拋一枚質地均勻的骰子，記事件A＝“第一次拋出的點數小于3”，事件B＝“兩次點數之和大于3”，則P（B|A）＝（）A． B． C． D．2．小明爬樓梯每一步走1級臺階或2級臺階是隨機的，且走1級臺階的概率為，走2級臺階的概率為．小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級臺階的條件下，他走了3步的概率是（）A． B． C． D．3．小明和小華進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則是：若其中一人連續(xù)贏兩局，則比賽結束，已知每局比賽結果相互獨立，且每局小明贏的概率為0.6（沒有平局），則在已知比賽是第三局結束條件下，小明獲勝的概率為（）A．0.6 B．0.4 C．0.36 D．0.1444．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，記事件A＝“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件B＝“取出的重卦中至少有3個陽爻”．則P（B|A）（）A． B． C． D．5．托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為B的全概率．春夏換季是流行性感冒爆發(fā)期，已知A，B，C三個地區(qū)分別有3%，6%，5%的人患了流感，且這三個地區(qū)的人口數之比是9：8：5，現從這三個地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自B地區(qū)的概率是（）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.526．一份新高考數學試卷中有8道單選題，小胡對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路．有思路的題做對的概率是0.9，沒有思路的題只能猜一個答案，猜對答案的概率為0.25，則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為（）A． B． C． D．7．某中學開展高二年級“拔尖創(chuàng)新人才”學科素養(yǎng)評估活動，其中物化生、政史地、物化政三種組合人數之比為6：3：1，這三個組合中分別有10%，6%，2%的學生參與此次活動，現從這三個組合中任選一名學生，這名學生參與此次活動的概率為（）A．0.044 B．0.18 C．0.034 D．0.088．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質地均相同）．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結論正確的個數是（）①事件A1與A2相互獨立；②A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；③P（B|A2）＝；④P（B）＝；⑤P（A1|B）＝A．5 B．4 C．3 D．2二．多選題（共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。）（多選）9．設A，B，C均為隨機事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，0＜P（C）＜1，則下列結論中一定成立的是（）A． B． C．若B?A，則 D．若，則P（AB）＝P（A）P（B）（多選）10．甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區(qū)服務活動，社區(qū)服務活動共有“關懷老人”“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項．記事件A為“恰有兩名同學所報項目相同”，事件B為“只有甲同學一人報‘關懷老人’項目”，則（）A．四名同學的報名情況共有43種 B．“每個項目都有人報名”的報名情況共有72種 C．“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是 D．（多選）11．已知A，B，C三個盒子，其中A盒子內裝有2個紅球，1個黃球和1個白球；B盒子內裝有2個紅球，1個白球；C盒子內裝有3個紅球，2個黃球．若第一次先從A盒子內隨機抽取1個球，若取出的球是紅球放入A盒子中；若取出的球是黃球放入B盒子中；若取出的球是白球放入C盒子中，第二次從第一次放入盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（）A．在第一次抽到黃球的條件下，第二次抽到紅球的概率為 B．第二次抽到紅球的概率為 C．如果第二次抽到的是紅球，則它來自B號盒子的概率最大 D．如果將5個不同的小球放入這三個盒子內，每個盒子至少放1個，則不同的放法有150種（多選）12．下列四個選項中，說法正確的是（）A．從人群中隨機選出一人，設事件A＝“選出的人患有心臟病”，B＝“選出的人是年齡大于60歲的心臟病患者”，則有：P（A）＞P（B） B．拋一枚骰子，設事件A＝“擲出2點”，B＝“擲出的點數不大于4點”，則有： C．分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設A＝“第一枚正面朝上”，B＝“第二枚反面朝上”，則有：P（B|A）＝P（B）D．兩批同種規(guī)格的產品，第一批占50%，次品率為6%；第二批的次品率為4%，從混合產品中任取1件，設事件A＝“取出的產品為合格品”，則有：P（A）＝0.95三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分。）13．若事件A，B滿足A?B，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，則＝．14．兩個三口之家進行游戲活動，從6人中隨機選出2人，則這2人來自同一個家庭的概率為；若選出的2人來自同一個家庭，游戲成功的概率為0.6，若來自不同的家庭，游戲成功的概率為0.3，則游戲成功的概率為．15．已知某廠甲、乙兩車間生產同一批衣架，且甲、乙兩車間的產量分別占全廠產量的60%，40%，甲、乙車間的優(yōu)品率分別為95%，90%．現從該廠這批產品中任取一件，則取到優(yōu)品的概率為（用百分數表示）．16．已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，先用低劑量藥物C進行肺癌篩查，檢查結果分陽性和陰性，陽性被認為是患病，陰性被認為是無?。t(yī)學研究表明，化驗結果是存在錯誤的，化驗的準確率為98%，即患有肺癌的人其化驗結果98%呈陽性，而沒有患肺癌的人其化驗結果98%呈陰性．則該地區(qū)煙民沒有患肺癌且被檢測出陽性的概率為；現某煙民的檢驗結果為陽性，請問他患肺癌的概率為．四．解答題（共6小題，共70分）17．（10分）袋中有10個大小、材質都相同的小球，其中紅球3個，白球7個．每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．求：（Ⅰ）第一次摸到紅球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；（Ⅲ）第二次摸到紅球的概率．18．（12分）某工廠有三個車間生產同一種通訊器材，第1個車間生產該通訊器材的優(yōu)等品率為6%，第2和第3個車間生產該通訊器材的優(yōu)等品率均為5%，生產出來的產品混放在同一個倉庫里．已知第1，2，3車間生產的通訊器材數量分別占總數的25%，30%，45%．（1）現從倉庫中任取一個該通訊器材，試問它是優(yōu)等品的概率是多少？（2）如果取到的通訊器材是優(yōu)等品，計算它是第i（i＝1，2，3）個車間生產的概率．19．（12分）某校從學生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動．（1）求男生甲被選中的概率；（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．20．（12分）有三個同樣的箱子，甲箱中有2只紅球，6只白球，乙箱中有6只紅球，4只白球，丙箱中有3只紅球，5只白球．（1）隨機從甲、乙、丙三個箱子中各取一球，求三球都為紅球的概率；（2）從甲，乙、丙中隨機取一箱，再從該箱中任取一球，求該球為紅球的概率．21．（12分）某單位入口處有一臺攝像機用于記錄進入該入口的人員．下面是在系統測試中對不同氣候條件下檢測到的人數與未檢測到的人數的統計表：晴天陰天雨天下雪刮風檢測到的人數212282267185未檢測到的人數066310合計2123423210195（1）在陰天條件下，監(jiān)控系統檢測到進入者的概率是多少？（2）已知監(jiān)控系統漏檢了一個進入者，氣候條件是下雪天的概率是多少？22．（12分）根據社會人口學研究發(fā)現，一個家庭有X個孩子的概率模型為：X1230概率αα（1﹣p）α（1﹣p）2其中α＞0，0＜p＜1．每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件Ai表示一個家庭有i個孩子（i＝0，1，2，3），事件B表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多．）（1）若，求α，并根據全概率公式，求P（B）；（2）為了調控未來人口結構，其中參數p受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等）．①若希望P（X＝2）增大，如何調控p的值？②是否存在p的值使得，請說明理由．

條件概率與全概率參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：由題意可知，所以．故選：B．2．【解答】解：設事件A＝“小明爬到第4級臺階“，B＝“小明走了3步爬到第4級臺階“，事件A包含三種情況：①小明走了4步到第4級臺階，概率為；②小明走了3步到第4級臺階，概率為，即；③小明走了2步到第4級臺階，概率為；所以P（A）＝P1+P2+P3＝，P（B|A）＝＝＝．故選：B．3．【解答】解：設事件A表示“比賽在第三局結束”，事件B表示“小明獲勝”，則比賽在第三局結束，小明獲勝的概率為：P（B|A）＝＝＝0.6．故選：A．4．【解答】解：每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“一”和陰爻“——”，在所有重卦中隨機取一重卦，記事件A＝“取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3個陽爻”，事件AB＝“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，P（A）＝，P（AB）＝，則P（B|A）＝．故選：C．5．【解答】解：記事件M表示“這人患了流感”，事件N1，N2，N3分別表示“這人來自A，B，C地區(qū)”，A，B，C三個地區(qū)分別有3%，6%，5%的人患了流感，且這三個地區(qū)的人口數之比是9：8：5，則，P（M|N2）＝0.06，P（M|N3）＝0.05，P（M）＝P（N1）P（M|N1）+P（N2）P（M|N2）+P（N3）P（M|N3）＝＝，故．故選：C．6．【解答】解：設事件A表示“考生答對”，設事件B表示“考生選到有思路的題”．則小胡從這8道題目中隨機抽取1道做對的概率為：P（A）＝P（B）P（A|B）+P（A|）＝＝．故選：C．7．【解答】解：設事件A表示“這名學生參與此次活動”，事件B1表示“這名學生選擇物化生組合”，事件B2表示“這名學生選擇政史地組合”，事件B3表示“這名學生選擇物化政組合”，則P（B1）＝＝0.6，P（B2）＝＝0.3，P（B3）＝＝0.1，P（A|B1）＝0.1，P（A|B2）＝0.06，P（A|B3）＝0.01，由全概率公式得從這三個組合中任選一名學生，這名學生參與此次活動的概率為：P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）＝0.6×0.1+0.3×0.06+0.1×0.02＝0.08．故選：D．8．【解答】解：顯然，A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，且，，而P（A1A2）＝0≠P（A1）?P（A2），①錯誤，②正確；，，所以，③正確；，④正確；，⑤錯誤，綜上：結論正確個數為3．故選：C．二．多選題（共4小題）9．【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，因為0＜P（A）＜1，則P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＜P（B|A）+P（B|），A錯誤；對于B，P（A）P（B|A）P（C|AB）＝，故B正確；對于C，當B?A時，P（AB）＝P（B），此時，故C正確；對于D，因為若，則有＝，變形可得：P（AB）P（）＝P（A）P（B），又由P（B）＝P（AB）+P（B），即P（AB）P（）＝P（A）[P（B）﹣P（AB）]，則有P（AB）＝P（A）P（B），故D正確．故選：BCD．10．【解答】解：對于選項A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學每人有3種選擇，故四名同學的報名情況共有34種，故選項A錯誤；對于選項B，現將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數原理得到6×6＝36種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，故選項B錯誤；對于選項C，“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是，故選項C正確；對于選項D，由已知有：，，所以，故選項D正確．故選：CD．11．【解答】解：記第一次抽到紅、黃、白球的事件分別為A1，A2，A3，則有，，對于A，在第一次抽到黃球的條件下，則黃球放入B盒子內，因此第二次抽到紅球的概率為，A正確；記第二次在第A，B，C號盒內抽到紅球的事件分別為?i（i＝1，2，3），而A1，A2，A3兩兩互斥，和為Ω，由題意可知，，，，記第二次抽到紅球的事件為C，，B不正確；若取出的球是紅球放入A盒子中，若取出的球是黃球放入B盒子中，若取出的球是白球放入C盒子中，第二次從第一次放入盒子中任取一個球，，，，即第二次抽到的是紅球，則它來自A盒子的概率最大，C不正確；把5個不同的小球分成3組的不同分組方法數是種，將每一種分組方法分成的小球放在3個盒子中有種不同放法，所以不同的方法種數是種，D正確．故選：AD．12．【解答】解：對于A，設事件C＝“選出的人年齡大于60歲”，則，∴P（A）＞P（B），故A正確；對于B，∵事件A與B不互斥，∴，故B錯誤；對于C，∵事件A，B相互獨立，∴P（B|A）＝P（B），故C正確；對于D，兩批同種規(guī)格的產品，第一批占50%，次品率為6%；第二批的次品率為4%，從混合產品中任取1件，設事件A＝“取出的產品為合格品”，根據全概率公式得：P（A）＝0.5×0.94+0.5×0.96＝0.95，故D正確．故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．【解答】解：事件A，B滿足A?B，且P（A）＝0.3，則P（AB）＝P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，P（B）＝P（AB）+P（B），則P（B）＝0.5，P（）＝1﹣P（A）＝0.7，故＝＝．故答案為：．14．【解答】解：從6人中隨機選出2人，有＝15種方法，其中這2人來自同一個家庭的有＝6種方法，所以這2人來自同一個家庭的概率P1＝＝，則這2人來自不同家庭的概率P2＝1﹣＝，所以游戲成功的概率P＝＝0.42．故答案為：；0.42．15．【解答】解：記事件A＝“任取一件，取得優(yōu)品”，事件B1＝“取到甲車間的產品”，事件B2＝“取到乙車間的產品”，則P（B1）＝60%，P（B2）＝40%，P（A|B1）＝95%，P（A|B2）＝90%，所以取到優(yōu)品的概率P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）＝95%×60%+90%×40%＝93%．故答案為：93%．16．【解答】解：某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，沒有患肺癌的人其化驗結果98%呈陰性．則該地區(qū)煙民沒有患肺癌且被檢測出陽性的概率為P＝（1﹣1%）×（1﹣98%）＝0.0198；設事件A表示某地區(qū)煙民患肺癌，則P（A）＝1%＝0.01，P（）＝1﹣1%＝0.99，設事件B表示檢查結果為陽性，P（B|A）＝98%＝0.98，P（B|）＝1﹣98%＝0.02，∴某煙民的檢驗結果為陽性的概率為：P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝0.01×0.98+0.99×0.02＝0.0296，∴現某煙民的檢驗結果為陽性，他患肺癌的概率為：P（A|B）＝＝＝＝．故答案為：0.0198；．四．解答題（共6小題）17．【解答】解：根據題意，設事件A：第一次摸到紅球；事件B：第二次摸到紅球，則事件：第一次摸到白球．（Ⅰ）袋中有10個球，第一次從10個球中摸一個共10種不同的結果，其中是紅球的結果共3種，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，，前兩次都摸到紅球的概率P（AB）＝×＝，則P（B|A）＝＝；（Ⅲ），則P（）＝1﹣P（A）＝，P（B）＝×＝，則P（B）＝P（AB）+P（B）＝+＝；所以第二次摸到紅球的概率．18．【解答】解：（1）設事件A表示“抽取的通訊器材來自第1個車間”，事件B表示“抽取的通訊器材來自第2個車間”，事件C表示“抽取的通訊器材來自第3個車間”，事件D表示“抽取的通訊設備是優(yōu)等品”，則P（A）＝0.25，P（B）＝0.3，P（C）＝0.45，P（D|A）＝0.06，P（D|B）＝0.05，P（D|C）＝0.05，∴從倉庫中任取一個該通訊器材，它是優(yōu)等品的概率是：P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525．取到的通訊器材是優(yōu)等品，則它是第1個車間生產的概率為：P（A|D）＝＝＝；取到的通訊器材是優(yōu)等品，則它是第2個車間生產的概率為：P（B|D）＝＝＝；取到的通訊器材是優(yōu)等品，則它是第3個車間生產的概率為：P（C|D）＝＝＝．19．【解答】解：（1）從6名成員中挑選2名成員，共有15種情況，記“男生甲被選中”為事件A，事件A所包含的基本事件數為5種，故．（2）記“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，