【數學】超幾何分布與二項分布 課件-2023-2024學年高二下人教A版（2019）選擇性必修第三冊

超幾何分布與二項分布1.理解伯努利試驗,掌握二項分布及其數字特征,并能解決簡單的實際問題.2.理解超幾何分布及其均值,并能解決簡單的實際問題.1.n重伯努利試驗與二項分布(1)n重伯努利試驗把只包含兩個可能結果的試驗叫做

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將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.(2)二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數,則X的分布列為P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作

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伯努利試驗

X~B(n,p)(3)兩點分布與二項分布的均值、方差如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=

,D(X)=

.

如果X~B(n,p),那么E(X)=

,D(X)=

.

微點撥判斷一個隨機變量是否服從二項分布的兩個關鍵點:(1)在一次試驗中,事件A發(fā)生與不發(fā)生,二者必居其一,且A發(fā)生的概率不變;(2)試驗可以獨立重復進行n次.pp(1-p)

np

np(1-p)2.超幾何分布一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.【分析】需要認真體會題目的情境，隨機變量究竟符合哪種分布．例1.袋中有3個白球、2個黑球,從中隨機地連續(xù)抽取3次,每次取1個球.求有放回抽樣時,取到黑球的個數X的分布列.例2.袋中有3個白球、2個黑球,從中任意摸出3個球，記得到黑球的個數為Y,求隨機變量Y的分布列。先思后導，先練后講解：有放回抽樣時,取到的黑球數X可能的取值為0,1,2,3.因此,X的分布列為:X0123P

每次發(fā)生的概率一樣例1.袋中有3個白球、2個黑球,從中隨機地連續(xù)抽取3次,每次取1個球.求有放回抽樣時,取到黑球的個數X的分布列.思維升華二項分布描述的是有放回抽樣問題，判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.解：任意摸出3個球，取到的黑球數Y可能的取值為0,1,2,知因此,Y的分布列為:Y012P

例2.袋中有3個白球、2個黑球,從中任意摸出3個球，記得到黑球的個數為Y,求隨機變量Y的分布列。思維升華(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布.(2)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.超幾何分布二項分布

的抽樣

個

個利用

計算利用

計算實驗總體個數隨機變量取值的概率不放回

的抽樣有放回排列組合相互獨立事件有限

無限某地工商局從某肉制品公司的一批數量較大的火腿腸產品中抽取10件產品，檢驗發(fā)現其中有3件產品的大腸菌群超標．(1)如果在上述抽取的10件產品中任取2件，設隨機變量X為大腸菌群超標的產品數量，求隨機變量X的分布列及數學期望；(2)如以該次檢查的結果作為該批次每件產品大腸菌群超標的概率，如從該批次產品中任取2件，設隨機變量Y為大腸菌群超標的產品數量，求P(Y＝1)的值及隨機變量Y的數學期望．變式1

當堂訓練，當堂點評【解析】(1)隨機變量X的可能取值為0,1,2，隨機變量X服從超幾何分布，某地工商局從某肉制品公司的一批數量較大的火腿腸產品中抽取10件產品，檢驗發(fā)現其中有3件產品的大腸菌群超標．(1)如果在上述抽取的10件產品中任取2件，設隨機變量X為大腸菌群超標的產品數量，求隨機變量X的分布列及數學期望；X012P

因此,X的分布列為:變式1當堂訓練，當堂點評解：(2)依題意，得該批次每件產品大腸菌群超標的概率為某地工商局從某肉制品公司的一批數量較大的火腿腸產品中抽取10件產品，檢驗發(fā)現其中有3件產品的大腸菌群超標．(2)如以該次檢查的結果作為該批次每件產品大腸菌群超標的概率，如從該批次產品中任取2件，設隨機變量Y為大腸菌群超標的產品數量，求P(Y＝1)的值及隨機變量Y的數學期望．當堂訓練，當堂點評變式1

超幾何分布二項分布

的抽樣

個

個（大批量、流水線）利用

計算利用

計算當

時，超幾何分布二項分布實驗總體個數隨機變量取值的概率轉化不放回

的抽樣有放回排列組合相互獨立事件有限

無限產品總數N很大當堂訓練，當堂點評當堂訓練，當堂點評當堂訓練，當堂點評當堂訓練，當堂點評X012P

因此,Y的分布列為:（2）Y可能的取值為0,1,2.當堂訓練，當堂點評（3）該流水線上產品重量超過505克的概率為0.3，設任取的5件產品中重量超過505克的產品數量X，則X服從二項分布，故所求概率為P(X=2)=C52(0.3)2(0.7)3=0.3087.超幾何分布二項分布

的抽樣

個

個（大批量、流水線）利用

計算利用

計算當

時，超幾何分布二項分布實驗總體個數隨機變量取值的概率轉化不放回

的抽樣有放回排列組合相互獨立事件有限

無限產品總數N很大（21年高考）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.,（21年高考）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記X為小明累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【解析】（1）由題意X的取值依次為0,20,100,X020100P0.20.320.48,（24年九省聯考）盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．（1）求取出的3個小球上的數字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個小球上的最小數字為X，求X的分布列及數學期望E(X)．（24年九省聯考）盒中有標記數字1，2，3，4的小球各2個，隨機一次取出3個小球．（1