北師大版年八年級數學下冊《同步考點解讀專題訓練》專題1.1等腰三角形(知識解讀)(原卷版+解析)

專題1.1等腰三角形（知識解讀）【學習目標】1.了解等腰三角形的概念.2.探索并證明等腰三角形的性質定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性質證明兩個角相等或兩條線段相等.4.結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用?！局R點梳理】知識點1等腰三角形的概念與性質等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結論，不要與性質定理混淆．判定定理得到的結論是等腰三角形，性質定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．【典例分析】【考點1：等腰三角形的性質】【典例1】（東莞市）一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【變式1-1】（陸川縣期末）等腰三角形有兩條邊長為5cm和9cm，則該三角形的周長是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【變式1-2】（秋?惠安縣期末）若等腰△ABC的周長為20，AB＝8，則該等腰三角形的腰長為（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【變式1-3】（2021?海口）等腰三角形ABC的周長為20cm，AB＝8cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【典例2】（2019秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若∠BEC＝76°，則∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【變式2-1】（2021秋?祥云縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點D，E．若AD＝3，BC＝5，則△BEC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【變式2-2】（2021秋?浉河區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B兩點為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN與AC相交于點D，連接BD，則△BDC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【典例3】（2021秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數．【變式3-1】（2019秋?銅山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點D在BC上，且AD＝BD．（1）求證：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度數．【典例4】（2022秋?長沙期中）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經過多長時間，小船與燈塔C的距離最短？【變式4】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向北航行，11時到達海島B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求從海島B到燈塔C的距離．【考點2等腰三角形的判定】【典例5】（2020?河北模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式5-1】（2016秋?肥城市期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個數（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個【變式5-2】（宜賓期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，則圖中等腰三角形共有（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【典例6】（蒙陰縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【變式6-1】（2021秋?西工區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，﹣3），點P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點P的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-2】（2019秋?河東區(qū)期末）已知在正方形網格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點在格點上，位置如圖，點C也在格點上，且△ABC為等腰三角形，則點C的個數為（）A．7 B．8 C．9 D．10【考點3：等腰三角形的判定與性質】【典例7】（蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．（1）△BDO是等腰三角形嗎？請說明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周長．【變式7-1】（2021秋?集賢縣期末）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F．求證：（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．【變式7-2】（2021秋?長垣市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數．【變式7-3】（2022春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，BE＝CF．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的長．專題1.1等腰三角形（知識解讀）【學習目標】1.了解等腰三角形的概念.2.探索并證明等腰三角形的性質定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性質證明兩個角相等或兩條線段相等.4.結合等腰三角形性質的探索與證明過程，體會軸對稱在研究幾何問題中的作用?！局R點梳理】知識點1等腰三角形的概念與性質等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結論，不要與性質定理混淆．判定定理得到的結論是等腰三角形，性質定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．【典例分析】【考點1：等腰三角形的性質】【典例1】（東莞市）一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【答案】A【解答】解：①當等腰三角形的腰為3，底為7時，3+3＜7不能構成三角形；②當等腰三角形的腰為7，底為3時，周長為3+7+7＝17．故這個等腰三角形的周長是17．故選：A．【變式1-1】（陸川縣期末）等腰三角形有兩條邊長為5cm和9cm，則該三角形的周長是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【答案】D【解答】解：當等腰三角形的腰長為5cm，底邊長為9cm時，∵5+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長＝5+5+9＝19cm；當等腰三角形的腰長為9cm，底邊長為5cm時，∵9+5＞9，9﹣5＜5，∴能夠成三角形，∴三角形的周長＝9+9+5＝23cm；∴該三角形的周長是19cm或23cm．故選：D．【變式1-2】（秋?惠安縣期末）若等腰△ABC的周長為20，AB＝8，則該等腰三角形的腰長為（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【答案】D【解答】解：（1）當AB＝8為底邊時，BC為腰，由等腰三角形的性質，得BC＝（20﹣AB）＝6；（2）當AB＝8為腰時，①若BC為腰，則BC＝AB＝8；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4，綜上，該等腰三角形的腰長為8或6，故選：D．【變式1-3】（2021??？冢┑妊切蜛BC的周長為20cm，AB＝8cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【答案】D【解答】解：（1）當AB＝8cm為底邊時，BC為腰，由等腰三角形的性質，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；（2）當AB＝8cm為腰時，①若BC為腰，則BC＝AB＝8cm；②若BC為底，則BC＝20﹣2AB＝4cm，故選：D．【典例2】（2019秋?崇川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若∠BEC＝76°，則∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【答案】B【解答】解：∵AB的垂直平分線MN交AC于點E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；故選：B．【變式2-1】（2021秋?祥云縣期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE，分別交AB，AC于點D，E．若AD＝3，BC＝5，則△BEC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周長＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故選：C．【變式2-2】（2021秋?浉河區(qū)期末）如圖，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B兩點為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，連接MN與AC相交于點D，連接BD，則△BDC的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】D【解答】解：根據作圖過程可知：MN是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∴△BDC的周長＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．故選：D．【典例3】（2021秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數．【解答】解：設∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．【變式3-1】（2019秋?銅山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝CD，點D在BC上，且AD＝BD．（1）求證：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度數．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【典例4】（2022秋?長沙期中）如圖，一條船上午8時從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，上午10時到達海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海島B到燈塔C的距離；（2）若這條船到達海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經過多長時間，小船與燈塔C的距離最短？【解答】解：（1）由題意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴從海島B到燈塔C的距離為30海里．（2）如圖，過點C作CP⊥AB于點P．∴根據垂線段最短，線段CP的長為小船與燈塔C的最短距離，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．∴航行的時間為45÷15＝3（時）．∴若這條船繼續(xù)向正北航行，上午11時小船與燈塔C的距離最短．【變式4】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時的速度向北航行，11時到達海島B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求從海島B到燈塔C的距離．【解答】解：由題意得：AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），∵∠NBC是△ABC的一個外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，∴∠C＝∠NAC＝40°，∴AB＝BC＝45海里，∴從海島B到燈塔C的距離為45海里．【考點2等腰三角形的判定】【典例5】（2020?河北模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，則圖中等腰三角形的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD為等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC為等腰三角形．故選：D．【變式5-1】（2016秋?肥城市期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，則圖中等腰三角形的個數（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，∵ED∥BC，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE為等腰三角形，在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，所以共有5個等腰三角形．故選：D．【變式5-2】（宜賓期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，則圖中等腰三角形共有（）個．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∵AD＝AE，∠DAE＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC＝36°，∴∠BAE＝∠DAC＝72°，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，故選：D．【典例6】（蒙陰縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C為原點，AC所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個【答案】C【解答】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA＝MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故選：C．【變式6-1】（2021秋?西工區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，﹣3），點P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點P的個數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：如圖所示：點P在x軸上，且使△AOP為等腰三角形，符合題意的點P的個數共4個，故選：C．【變式6-2】（2019秋?河東區(qū)期末）已知在正方形網格中，每個小方格都是邊長為1的正方形，A、B兩點在格點上，位置如圖，點C也在格點上，且△ABC為等腰三角形，則點C的個數為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解答】解：①以AB為底邊，符合點C的有5個；②以AB為腰，符合點C的有4個．所以符合條件的點C共有9個．故選：C．【考點3：等腰三角形的判定與性質】【典例7】（蒼溪縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E．（1）△BDO是等腰三角形嗎？請說明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周長．【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，∴△BDO是等腰三角形．（2）同理△CEO是等腰三角形，∵BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周長＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．【變式7-1】（2021秋?集賢縣期末）已知：如圖，△ABC中，BD平分∠A