遼寧省凌源市聯(lián)合校高三數(shù)學上學期期中試題文（含解析）

遼寧省凌源市聯(lián)合校2020屆高三數(shù)學上學期期中試題文（含解析）一、選擇題（本大題共12小題）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，則A∩B=（）A. B. C. D.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足：z（1+i）=2i，則在復平面上復數(shù)z對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限命題p：?x∈R，ax22ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件函數(shù)f（x）=x2sinx的圖象大致為（）A. B.

C. D.已知m，n是兩條不同的自線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若m,n沒有公共點,則 B.若,,,則

C.若,,則 D.若,,則已知非零向量，的夾角為60°，且||=1，|2|=1，則||=（）A. B.1 C. D.已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1a2=8，a3a4=2，若a1a2a3…an=1，則nA.5 B.6 C.9 D.將函數(shù)y=sin2x的圖象上各點沿x軸向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B. C. D.，則cos2θ的值為（）A. B. C. D.已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，滿足cos2Acos2B+cos2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，則△ABC的形狀為（）A.等邊三角形 B.等腰直角三角形

C.頂角為的等腰三角形 D.頂角為的等腰三角形設函數(shù)f（x）=xlnx的圖象與直線y=2x+m相切，則實數(shù)m的值為（）A.e B. C. D.2e已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），且滿足f（x）=x2+f'（2）lnx，則f'（2）的值為（）A.6 B.7 C.8 D.二、填空題（本大題共4小題）命題：“?x∈R，ex≤x”的否定是______（寫出否定命題）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）一個周期的圖象（如圖），則這個函數(shù)的解析式為______．

已知點A（2，0），B（0，1），若點P（x，y）在線段AB上，則xy的最大值為______．已知側(cè)棱長為a的正三棱錐PABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，則該球的表面積為______．三、解答題（本大題共6小題）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)y=f（x）的值域和單調(diào)減區(qū)間；

（2）已知A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，且，，求sinA的值．

在中，角所對的邊分別為，且滿足.⑴求角的大??；⑵

若，求周長的最大值。

已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5=5，且a2，a4，a7成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設，求：數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

已知數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列，a1?a4=8，a2+a3=6．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）記bn=an+log2an+1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點．

（1）求證：直線AB1∥平面BC1D；

（2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）求三棱錐CBC1D的體積．

已知在x=1與處都取得極值．

（1）求a，b的值；

（2）若對時，f（x）＜c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，

∴A∩B={x|x＜0}．

故選：A．

分別求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本題考查交集的求法，考查交集、不等式的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

2.【答案】D

【解析】解：由z（1+i）=2i，得z=，

∴在復平面上復數(shù)z對應的點的坐標為（，），位于第四象限．

故選：D．

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出z的坐標得答案．

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．

3.【答案】B

【解析】解：命題p：?x∈R，ax22ax+1＞0，解命題p：①當a≠0時，△=4a2-4a=4a（a1）＜0，且0＜a，

∴解得：0＜a＜1，

②當a=0時，不等式ax22ax+1＞0在R上恒成立，

∴不等式ax22ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；

命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則：0＜a＜1；

所以：當0≤a＜1；則推不出0＜a＜1；當0＜a＜1；則能推出0≤a＜1；

則P是q的必要不充分條件．

故選：B．

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．

【解析】解：由于函數(shù)f（x）=x2sinx是奇函數(shù)，故它的圖象關(guān)于原點軸對稱，可以排除B和D；

又函數(shù)過點（π，0），可以排除A，所以只有C符合．

故選：C．

根據(jù)函數(shù)f（x）=x2sinx是奇函數(shù)，且函數(shù)過點[π，0]，從而得出結(jié)論．

本題主要考查奇函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)與x軸的交點，屬于基礎題．

5.【答案】D

【解析】解：m，n沒有公共點，則m，n平行或異面，故A錯誤；

m?α，n?β，α∥β，則m，n平行或異面，故B錯誤；

m?α，m∥n，則n∥α或n?α，故C錯誤；

n∥α，由線面平行的性質(zhì)定理可得n平行于過n的平面與α的交線l，m⊥α，

可得m⊥l，即有m⊥n，故D正確．

故選：D．

由兩直線的位置關(guān)系可判斷A；由面面平行的定義可判斷B；由線面的位置關(guān)系可判斷C；由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可判斷D．

本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，注意平行和垂直的判定和性質(zhì)的運用，考查推理能力，屬于基礎題．

6.【答案】A

【解析】解：∵非零向量，的夾角為60°，且||=1，∴=||?1?=，

∵|2|=1，∴=44+=42||+1=1，∴42||=0，∴||=，

故選：A．

由題意可得=||?1?=，再根據(jù)，=1，求得||的值．

本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，向量的模的計算，屬于基礎題．

7.【答案】C

【解析】解：正項等比數(shù)列{an}滿足a1a2=8，a3a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代入a1a2=8，可得a1=16，a1a2a3…an=1，可得（a1an）n=1，所以a1an=1，a12qn1=1，

∴=1，解得n=9．

故選：C．

利用已知條件求出對比以及數(shù)列的首項，通過a1a2a3…an=1【解析】解：將函數(shù)y=sin2x的圖象上各點沿x軸向右平移個單位長度，可得函數(shù)y=sin（2x）圖象，

令2x=kπ，可得x=+，k∈Z，故所得函數(shù)圖象的對稱中心為（+，0）．

令k=1，可得所得圖象的一個對稱中心為（，0），

故選：A．

由題意利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，以及正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．

本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題．

9.【答案】A

【解析】解：∵=sinθ，

∴sinθ=，

∴cos2θ=12sin2θ=12×（）2=．

故選：A．

由已知利用誘導公式可求sinθ的值，根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可求解．

本題主要考查了誘導公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．

10.【答案】D

【解析】解：∵cos2Acos2B+cos2C=1+sinAsinC，

∴（1sin2A）（1sin2B）+（1sin2C）=1+sinAsinC，

∴可得sin2A+sin2Csin2B=sinAsinC，

∴根據(jù)正弦定理得a2+c2b2=ac，

∴由余弦定理得cosB===，

∵B∈（0°，180°），

∴B=120°，

∵sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC．

∴變形得=（sinA+sinC）2sinAsinC，

又∵sinA+sinC=1，得sinAsinC=，

∴上述兩式聯(lián)立得sinA=sinC=，

∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，

∴A=C=30°，

∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形．

故選：D．

利用正弦定理把題設等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化成邊，求得a，b和c關(guān)系式，代入余弦定理中求得cosA的值，進而求得A，由sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC，與sinA+sinC=1聯(lián)立求得sinA和sinC的值，進而根據(jù)A【解析】解：設切點為（s，t），f（x）=xlnx的導數(shù)為f′（x）=1+lnx，

可得切線的斜率為1+lns=2，解得s=e，

則t=elne=e=2e+m，即m=e．

故選：B．

設切點為（s，t），求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進而求得m．

本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，屬于基礎題．

12.【答案】C

【解析】解：，

∴，解得f′（2）=8．

故選：C．

可以求出導函數(shù)，從而可得出，解出f′（2）即可．

本題考查了基本初等函數(shù)的求導公式，已知函數(shù)求值的方法，考查了計算能力，屬于基礎題．

13.【答案】

【解析】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：“?x∈R，ex≤x”的否定是：．

故答案為：．

利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可．

本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎題．

14.【答案】f（x）=

【解析】解：由函數(shù)的圖象可得A=1，T=，解得：T==π，

解得ω=2．

圖象經(jīng)過（，1），可得：1=sin（2×+φ），

解得：φ=2kπ+，k∈Z，

由于：|φ|＜，

可得：φ=，

故f（x）的解析式為：f（x）=．

故答案為：f（x）=．

由圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，通過圖象經(jīng)過（，1），求出φ，從而得到f（x）的解析式．

本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，注意函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，屬于基礎題．

15.【答案】

【解析】解：A（2，0），B（0，1），

可得AB的方程為+y=1，（0≤x≤2），

由+y≥2，

可得xy≤2?（+y）2=，

當且僅當x=，y=時，取得最大值，

故答案為：．

求得線段AB的方程，由基本不等式，計算可得所求最大值．

本題考查直線方程的求法和基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于基礎題．

16.【答案】3πa2

【解析】解：因為側(cè)棱長為a的正三棱錐PABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，

三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，

球的直徑就是正方體的對角線，正方體的對角線長為：a；

所以球的表面積為：4π（）2=3πa2

故答案為：3πa2．

側(cè)棱長為a的正三棱錐PABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個頂點都在一個球面上，說明三棱錐的正方體的一個角，把三棱錐擴展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對角線，求出直徑，即可求出球的表面積．

本題是基礎題，考查三棱錐的外接球的表面積的求法，三棱錐擴展為正方體是本題的關(guān)鍵，正方體的對角線是外接球的直徑也不容忽視，考查計算能力．

17.【答案】解：（1）∵

==，且，

∴所求值域為；

由，

得：，k∈Z．

故所求減區(qū)間為：；

（2）∵A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，，∴，

又，即，

且，∴．

故．

【解析】（1）展開兩角和的正弦，再由倍角公式降冪，利用輔助角公式化積，則函數(shù)的值域可求，再由復合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）由已知求得sinB，再由求解C，然后利用誘導公式及兩角和的正弦求解sinA的值．

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查三角形的解法，是中檔題．

18.【答案】解：（Ⅰ）依正弦定理可將化為：

因為在中，sinB＞0，

所以，即，

∵0＜A＜π，∴．

（Ⅱ）因為三角形的周長=a+b+c=4+b+c，

所以當b+c最大時，△ABC的周長最大，

因為a2=c2+b22bccosA=（b+c）23bc，

因為a=4，且，則

∴16，即b+c≤8（當且僅當b=c=4時等號成立）

所以△ABC周長的最大值為12．

【解析】本題考查正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)，以及基本不等式求最值問題，屬于中檔題．

（Ⅰ）利用正弦定理、商的關(guān)系化簡式子，求出tanA的值，由A的范圍求出角A的大??；

（Ⅱ）由條件和余弦定理列出方程，利用基本不等式求出b+c的范圍，再求出△ABC的周長最大值.

19.【答案】解：（1）設數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），

據(jù)題得，解得，d=．

∴數(shù)列{an}的通項公式為；

（2）由，得．

令，

則，

∴=，

∴，

∴Tn=．

【解析】（1）設數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），由題意列關(guān)于首項與公差的方程組，求解可得首項與公差，代入等差數(shù)列的通項公式即可；

（2）求得數(shù)列{bn}的通項公式，再由錯位相減法求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，訓練了利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．

20.【答案】解：（Ⅰ）由a1?a4=a2?a3=8及a2+a3=6…（2分）

得或（舍）

…（4分）

所以，a1=1

所以…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（7分）

所以Tn=b1+b2+…+bn=（20+21+…+2n1）+（1+2+…+n）==…（13分）

【解析】（Ⅰ）由a1?a4=a2?a3=8及a2+a3=6，a2＜a3，解出，再利用通項公式即可得出．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出．

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

21.【答案】（1）證明：連接B1C交BC1于點O，連接OD，則點O為B1C的中點．

∵D為AC中點，得DO為△AB1C中位線，

∴A1B∥OD．

∵OD?平面BC1D，A1B?平面BC1D，

∴直線AB1∥平面BC1D；

（2）證明：∵AA1⊥底面ABC，

∴AA1⊥BD，

∵底面ABC正三角形，D是AC的中點

∴BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；