專題03-命題形式變化及真假判定(解析版)

專題03命題形式變化及真假判定【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】（一）命題結(jié)構(gòu)變換1、四類命題間的互化：設(shè)原命題為“若，則”的形式，則（1）否命題：“若，則”（2）逆命題：“若，則”（3）逆否命題：“若，則”2、，（1）用“或”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）中至少有一個成立即可，記為（2）用“且”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）要同時成立，記為3、命題的否定：命題的否定并不是簡單地在某個地方加一個“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法（1）一些常用詞的“否定”：是→不是全是→不全是至少一個→都沒有至多個→至少個小于→大于等于（2）含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定：邏輯聯(lián)接詞對應(yīng)改變，同時均變?yōu)椋夯颉仪摇颍?）全稱命題與存在性命題的否定全稱命題：存在性命題：規(guī)律為：兩變一不變①兩變：量詞對應(yīng)發(fā)生變化（），條件要進(jìn)行否定②一不變：所屬的原集合的不變化（二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，但在一組有關(guān)系的命題中，真假性也存在一定的關(guān)聯(lián).1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互為逆否命題，所以真假性也相同.而原命題與逆命題，原命題與否命題真假沒有關(guān)聯(lián)2、，，如下列真值表所示：或真真真真假真假真真假假假且真真真真假假假真假假假假簡而言之“一真則真”簡而言之“一假則假”3、：與命題真假相反.4、全稱命題：真：要證明每一個中的元素均可使命題成立假：只需舉出一個反例即可5、存在性命題：真：只需在舉出一個使命題成立的元素即可假：要證明中所有的元素均不能使命題成立【經(jīng)典例題】例1、【2020年高考全國Ⅱ卷文理16】設(shè)有下列四個命題：：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面．：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．：若直線平面，直線平面，則．則下述命題中所有真命題的序號是．①②③④【答案】①③④【思路導(dǎo)引】利用兩交線直線確定一個平面可判斷命題的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題的真假；利用異面直線可判斷命題的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題的真假．再利用復(fù)合命題的真假可得出結(jié)論．【解析】對于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為；若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)，同理與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)，∴，即，命題為真命題；對于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個點(diǎn)的平面有無數(shù)個，命題為假命題；對于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則垂直于平面內(nèi)所有直線，直線平面，直線直線，命題為真命題．綜上可知，為真命題，為假命題，為真命題，為真命題．故答案為：①③④．【專家解讀】本題的特點(diǎn)是注重知識的靈活應(yīng)用，本題考查了空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，考查復(fù)合命題真假的判斷，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)．解題關(guān)鍵是正確理解空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，理解或命題、且命題、非命題的含義及其真值表．例2．【四川省宜賓市2020屆高三三?！肯铝忻}是假命題的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，其值域?yàn)?，所以A項(xiàng)錯誤；因?yàn)椋訠項(xiàng)正確；令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，所以在處取得最小值，且，所以在上恒成立，所以C項(xiàng)正確；借助于三角函數(shù)線，可知，所以D項(xiàng)正確；故選：A.【專家解讀】該題考查的是有關(guān)命題真假的判斷，涉及到的知識點(diǎn)有三角函數(shù)的值域，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于簡單題目.例3．【2020屆陜西省西安中學(xué)高三四?！恳阎}：，；命題：，，則下列說法中正確的是A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題【答案】C【解析】命題p，，即命題p為真，對命題q，去，所以命題q為假，為真所以是真命題，故選：C.【專家解讀】(1)對于一些簡單命題，判斷為真，許推理證明，若判斷為假，只需找出一個反例即可；(2)對于復(fù)合命題的真假判斷應(yīng)利用真值表；(3)也可以利用“互為逆否命題”的等價性，通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假.例4．【湖南省長沙市長郡中學(xué)2020屆高三三?！恳阎}，，則命題的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命題為特稱命題，其否定為，.故選：C.【專家解讀】本題考查特稱命題的否定的改寫，要注意量詞和結(jié)論的變化，屬于基礎(chǔ)題.例5．【河北省雞澤縣第一中學(xué)2020年高三三?！肯铝忻}是真命題的為()A．若＝，則x＝y(tǒng) B．若x2＝1，則x＝1C．若x＝y(tǒng)，則＝ D．若x<y，則x2<y2【答案】A【解析】由得x=y，而由x2=1得x=±1，由x=y，不一定有意義，而x＜y得不到x2＜y2，故選A．例6．【河南省名校聯(lián)盟2020年高三三?！肯铝忻}為真命題的個數(shù)是（）①是無理數(shù)，是無理數(shù)；②若，則或；③命題“若，，，則”的逆否命題為真命題；④函數(shù)是偶函數(shù).A． B． C． D．【答案】B【解析】對于①中，當(dāng)時，為有理數(shù)，故①錯誤；對于②中，若，可以有，不一定要或，故②錯誤；對于③中，命題“若，，，則”為真命題，其逆否命題為真命題，故③正確；對于④中，，且函數(shù)的定義域是，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故④正確.綜上，真命題的個數(shù)是.故選：B.【專家解讀】本題考查命題真假的判斷，涉及全稱命題的真假的判斷、逆否命題真假的判斷、向量垂直等價條件的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中學(xué)2020屆高三三?！肯铝忻}錯誤的是()A．命題“若，則x，y中至少有一個為零”的否定是：“若，則x，y都不為零”B．對于命題，使得，則，均有C．命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題為“若方程無實(shí)根，則”D．“”是“”的充分不必要條件【答案】A【解析】A選項(xiàng)中命題的否定是：若，則x，y都不為零，故A不正確；B選項(xiàng)是一個特稱命題的否定，變化正確；C選項(xiàng)是寫一個命題的逆否命題，需要原來的命題條件和結(jié)論都否定再交換位置，C正確；D選項(xiàng)由前者可以推出后者，而反過來不是只推出，故D正確，故選：A.【專家解讀】本題考查了命題的否定，逆否命題，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.【精選精練】1．【2020屆湖南長沙市第一中學(xué)高三三?！恳阎}：，；命題：，，則下列命題中為真命題的是：（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可知:命題：，為假命題，由函數(shù)圖象可知命題為真命題，所以為真命題．2．【河南省開封市2020屆高三二?！恳阎?，，則為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因?yàn)?，是全稱命題，故為：，；故選：A．【專家解讀】本題考查含量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．3．【黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三三模】下列說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”B．“”是“”的充分而不必要條件C．若且為假命題，則、均為假命題D．命題“存在，使得”，則非“任意，均有”【答案】C【解析】對于選項(xiàng)A，命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，即原命題為真命題；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，，當(dāng)，或，即原命題為真命題；對于選項(xiàng)C，若且為假命題，則、中至少有一個為假命題，即原命題為假命題；對于選項(xiàng)D，命題“存在，使得”，則非“任意，均有”，即原命題為真命題；故選C.【專家解讀】本題考查了命題的逆否命題的真假、充分必要條件、復(fù)合命題的真假及特稱命題的否定，重點(diǎn)考查了邏輯推理能力，屬中檔題.4．【吉林省長春市2020屆高考數(shù)學(xué)二?！棵}：存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【專家解讀】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5．【四川省綿陽南山中學(xué)2020屆高三高考仿真模擬】已知、是兩個不同的平面，m、n是兩條不重合的直線，命題p：“若，，則”；命題q：“若，，，則”，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】命題p中，若，，則與可能平行，也可能，故命題p為假命題；命題q中，若，，，與的位置關(guān)系可能是，，也可能與相交，故命題q為假命題.因此，，都是假命題，為真命題.故選：C.【專家解讀】本題主要考查判斷復(fù)合命題的真假，涉及線面位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.6．【遼寧省沈陽二中2020屆高三五模試題】已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槊}“，使”是假命題，所以恒成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選B．【專家解讀】對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)．而二次函數(shù)的恒成立問題，也可以采取以上方法，當(dāng)二次不等式在R上大于或者小于0恒成立時，可以直接采用判別式法.7．【2020屆重慶市南開中學(xué)高三三?！恳阎?，命題“若，則或”的原命題，逆命題，否命題和逆否命題這四個命題中，真命題個數(shù)為（）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由于，則，所以原命題為真命題，其逆否命題也是真命題.否命題為“若，則且”，如，所以否命題為假命題，故逆命題也是假命題.所以真命題的個數(shù)為.故選：B【專家解讀】本小題主要考查四種命題的真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8．【黑龍江省哈爾濱三中2020屆四模試題】下列命題錯誤的是（）A．若“”為真命題，則與均為真命題B．命題“為真”是“為真”的必要不充分條件C．若，，則，D．“”是“”的充分不必要條件【答案】B【解析】若“”為真命題，則與均為真命題，故A正確；若“為真，則真，真，此時“為真成立，若“為真，則有可能一真一假，此時“為假，所以命題“為真”是“為真”的充分不必要條件，故B錯誤；由特稱命題的否定為全稱命題可得若，，則，，故C正確；若“”，則“”成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確；故選：B.【專家解讀】本小題主要考查復(fù)合命題的真假、全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化以及充分條件，必要條件等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.9．【黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)2020屆高三三?！肯铝嘘P(guān)于命題的說法錯誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件C．“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為真D．命題：，的否定是，【答案】C【解析】對于A，由逆否命題的概念可得命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；對于B，若，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則只需滿足；所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件，故B正確；對于C，“若為的極值點(diǎn)，則”的逆命題為“若，則為的極值點(diǎn)”，對函數(shù)，，但不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以原命題的逆命題為假命題，故C錯誤；對于D，由全稱命題的否定可知命題：，的否定是，，故D正確.故選：C.【專家解讀】本題考查了逆否命題、逆命題的改寫、全稱命題的否定，考查了充分條件、必要條件的判斷及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、極值點(diǎn)的概念，屬于基礎(chǔ)題.10．【黑龍江省哈爾濱市第一中學(xué)2020屆高三6月模擬】已知命題：棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐；命題：棱柱的所有的側(cè)面都是長方形或正方形，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于命題，因?yàn)槔忮F的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，故棱錐的側(cè)面為等邊三角形，如果該棱錐是六棱錐，則六個側(cè)面頂角的和為，但六棱錐的側(cè)面的頂角和小于，矛盾，故為假命題.對于命題，斜棱柱有側(cè)面不是長方形，故命題為假命題.故為真命題.故選：D.【專家解讀】復(fù)合命題的真假判斷為“一真必真，全假才假”，的真假判斷為“全真才真，一假必假”，的真假判斷是“真假相反”．11．【廣東省肇慶市2020屆高中畢業(yè)班第三次統(tǒng)一檢測】如圖，正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，在側(cè)面上，有下列四個命題：①若，則面積的最小值為；②平面內(nèi)存在與平行的直線；③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，則這樣的平面有4個；④過作面與面平行，則正方體在面的正投影面積為．則上述四個命題中，真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于①，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示；過作平面，是垂足，過作，交于，連結(jié)，則，，，，，，，設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴，，，∴，當(dāng)時，，①正確；對于，平面，所以也與平面相交．故②錯；③過作平面，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，因?yàn)?，且，故在平面的正投影的長度等于在平面的正投影的長度，使得棱，，在平面的正投影的長度相等，即使得使得棱，，面的正投影的長度相等，若棱，，面的同側(cè)，則為過且與平面平行的平面，若棱，，中有一條棱和另外兩條棱分別在平面的異側(cè)，則這樣的平面有3個，故滿足使得棱，，在平面的正投影的長度相等的平面有4個；③正確．④過作面與面平行，則正方體在面的正投影為一個正六邊形，其中平面，而分別垂直于正三角形和，所以根據(jù)對稱性，正方體的