2023-2024學(xué)年上海市寶山中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023-2024學(xué)年上海市寶山中學(xué)高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R2.設(shè)為非零實(shí)數(shù),且,則()A. B. C. D.3.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)是-10,則實(shí)數(shù)()A.2 B.1 C.-1 D.-25.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬(wàn)公里,其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬(wàn)公里,超過(guò)世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:萬(wàn)公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B(niǎo).從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列6.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí),烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí),烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí),烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米8.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)的直線與軸交于點(diǎn),線段與交于點(diǎn).若,則的方程為()A. B. C. D.9.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為-45,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.2 C. D.10.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,其中為虛部單位,則實(shí)數(shù)()A.3 B. C. D.11.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.6012.已知函數(shù),存在實(shí)數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,若,則______.14.已知集合,,則__________.15.設(shè)全集,集合,,則集合______.16.若函數(shù)(a>0且a≠1)在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),則a的取值范圍是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上,且.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),與圓相交于、兩點(diǎn),求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程(2)設(shè)函數(shù),對(duì)于任意,恒成立,求的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,射線與曲線,分別交于、兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)),定點(diǎn),求的面積20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.(2)設(shè)函數(shù),若,且的最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,證明:.22.(10分)有甲、乙兩家外賣(mài)公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司底薪元,送餐員每單制成元;乙公司無(wú)底薪,單以內(nèi)(含單)的部分送餐員每單抽成元,超過(guò)單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,分別記錄其天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)分布表:送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105(1)從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取天,求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率;(2)假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望;②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘?說(shuō)明你的理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點(diǎn):集合的運(yùn)算2、C【解析】

取,計(jì)算知錯(cuò)誤,根據(jù)不等式性質(zhì)知正確,得到答案.【詳解】,故,,故正確;取,計(jì)算知錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.3、D【解析】

利用等比中項(xiàng)性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項(xiàng),進(jìn)而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時(shí),取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時(shí),取到最小值,最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)性質(zhì)、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意當(dāng)或時(shí)同時(shí)取到最值.4、C【解析】

利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù),令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的系數(shù),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.5、D【解析】

由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題6、B【解析】

或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡(jiǎn)單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)題意,是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.8、D【解析】

由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.9、D【解析】

將多項(xiàng)式的乘法式展開(kāi),結(jié)合二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng),即可求得的值.【詳解】∵所以展開(kāi)式中的系數(shù)為,∴解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式通項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,指定項(xiàng)系數(shù)的求法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.11、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】

畫(huà)出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡(jiǎn)可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集,再由集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算求得答案.【詳解】由題可知,集合A中集合B的補(bǔ)集,則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、(1,)【解析】

在定義域[m,n]上的值域是[m2,n2],等價(jià)轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1,)上恰有兩個(gè)交點(diǎn),考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知:與的圖像在(1,)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)考查臨界情形:與切于,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用勾股定理結(jié)合條件求得和,利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可得出,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式求出,利用幾何法求得直線截圓所得弦長(zhǎng),可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)在橢圓上,,,,,,,又,,,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)、,聯(lián)立消去,得,,則,,設(shè)圓的圓心到直線的距離為,則.,,,,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中弦長(zhǎng)之積的取值范圍的求解,涉及韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.18、(1);(2)【解析】

(1)求出,即可求出切線的點(diǎn)斜式方程,整理即可;(2)的取值范圍滿足,,求出,當(dāng)時(shí)求出,的解,得到單調(diào)區(qū)間,極小值最小值即可.【詳解】(1)由于,此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切線方程為.(2)由已知,故.由于,故,設(shè)由于在單調(diào)遞增同時(shí)時(shí),,時(shí),,故存在使得且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),取得極小值,也是最小值,故由于,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問(wèn)題,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1),;(2).【解析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程,再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長(zhǎng),再求高,最后求的面積.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程為:,因?yàn)榍€的普通方程為:,曲線的極坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得:點(diǎn)的極坐標(biāo)為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,,點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化,同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1);(2).【解析】

(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對(duì)分類(lèi)討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進(jìn)而求出的取值關(guān)系.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當(dāng)時(shí),則在上單調(diào)遞減且沒(méi)有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿足題意),所以,解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.21、(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)求得的導(dǎo)函數(shù),對(duì)分成兩種情況,討論的單調(diào)性.(2)由(1)判斷出的取值范圍,根據(jù)韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,利用差比較法,計(jì)算,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得,進(jìn)而證得不等式成立.【詳解】(1).當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),由解得或,∵是增函數(shù),∴此時(shí)在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)由(1)知.,,,不妨設(shè),∴,,令,∴,∴在上是減函數(shù),,∴,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.22、(1);(2)①分布列見(jiàn)解析,;②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件,可得(A)的值.(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為,可得當(dāng)時(shí),,以此類(lèi)推可得:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值.當(dāng)時(shí),的值,同理可得:當(dāng)時(shí),.的所有可能取值.可得的分布列及其數(shù)學(xué)期望.②依題意,甲公司送餐

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