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四川省瀘縣四中2024屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,其底面邊長(zhǎng)為4,、、分別為側(cè)棱,,的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi),且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.2.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.3.已知平面向量,,,則實(shí)數(shù)x的值等于()A.6 B.1 C. D.4.在平行六面體中,M為與的交點(diǎn),若,,則與相等的向量是()A. B. C. D.5.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.6.下列判斷錯(cuò)誤的是()A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則D.是的充分不必要條件7.已知,若方程有唯一解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知橢圓的焦點(diǎn)分別為,,其中焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且橢圓與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)連線正好過點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),若曲線上始終存在兩點(diǎn),,使得,且的中點(diǎn)在軸上,則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.611.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要12.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結(jié)論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為)建立了投資額y與時(shí)間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預(yù)測(cè)該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為_____.14.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為__________.15.某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng),現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票,投票要求詳見選票.這3名候選人的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的88%,75%,46%,則本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為百分之________.“我身邊的榜樣”評(píng)選選票候選人符號(hào)注:1.同意畫“○”,不同意畫“×”.2.每張選票“○”的個(gè)數(shù)不超過2時(shí)才為有效票.甲乙丙16.的展開式中的系數(shù)為________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣不存在逆矩陣,且非零特低值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,求的值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)令在上最小值為,證明:.19.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,已知.(1)求角的大??;(2)若,求的面積.21.(12分)已知,且的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14,求實(shí)數(shù)取值范圍.22.(10分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長(zhǎng)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計(jì)算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過作底面的垂線,垂足為,與平面交點(diǎn)記為,連接、.依題意,所以,設(shè)球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,三棱錐體積,球體積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.2、C【解析】

在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運(yùn)算,運(yùn)用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,

,

若,則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】,,,,即,故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于容易題.4、D【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,用作基底表示即可得解.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知因?yàn)?,則即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算,用基底表示向量,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷,進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,有,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),已知直線平面,直線平面,則當(dāng)時(shí)一定有,充分性成立,而當(dāng)時(shí),不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故充分性不成立;若,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確,符合題意.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

求出的表達(dá)式,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布,求出的范圍即可.【詳解】解:令,則,則,故,如圖示:由,得,函數(shù)恒過,,由,,可得,,,若方程有唯一解,則或,即或;當(dāng)即圖象相切時(shí),根據(jù),,解得舍去),則的范圍是,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)題意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【詳解】易知,且故有,則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、拋物線的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題9、D【解析】

根據(jù)中點(diǎn)在軸上,設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),,().對(duì)分成三類,利用則,列方程,化簡(jiǎn)后求得,利用導(dǎo)數(shù)求得的值域,由此求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),不妨設(shè),,(),若,則,由,所以,即,方程無解;若,顯然不滿足;若,則,由,即,即,因?yàn)椋院瘮?shù)在上遞減,在上遞增,故在處取得極小值也即是最小值,所以函數(shù)在上的值域?yàn)?,?故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面平面向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)表示,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,考查分析與運(yùn)算能力,屬于較難的題目.10、C【解析】

先求出,再由,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得.【詳解】由題可知,因?yàn)?,所以有,得,故選:C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式,向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題目.11、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。12、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析排除,由此得到表述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng),由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對(duì)于選項(xiàng),投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對(duì)于選項(xiàng),令代入回歸直線方程得億元,故選項(xiàng)描述不正確.所以本題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.14、130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用,然后分類討論,將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).15、91【解析】

設(shè)共有選票張,且票對(duì)應(yīng)張數(shù)為,由此可構(gòu)造不等式組化簡(jiǎn)得到,由投票有效率越高越小,可知,由此計(jì)算可得投票有效率.【詳解】不妨設(shè)共有選票張,投票的有,票的有,票的有,則由題意可得:,化簡(jiǎn)得:,即,投票有效率越高,越小,則,,故本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.16、【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中令的指數(shù)為,求出參數(shù)值,然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,令,因此,的展開式中的系數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解,涉及二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由不存在逆矩陣,可得,再利用特征多項(xiàng)式求出特征值3,0,,利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椴淮嬖谀婢仃?,,所?矩陣的特征多項(xiàng)式為,令,則或,所以,即,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,令,故只需,即可求出的值;(2)由(1)知,可得,令,可證,使得,從而可確定在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得,即,即可證出.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)任意恒成立,即對(duì)任意恒成立,令,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,不符合題意;當(dāng)時(shí),令得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以要使在時(shí)恒成立,則只需,即,令,,所以,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,又,所以,故滿足條件的的值只有(2)由(1)知,所以,令,則,當(dāng),時(shí),即在上單調(diào)遞增;又,,所以,使得,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且所以,即,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法,第(2)問通過最值問題深化對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的考查,同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想,屬于中檔題.19、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域?yàn)?,,分和兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增,在上遞減,可得出,由,構(gòu)造函數(shù),證明出,進(jìn)而得出,再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,,此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為最大值;當(dāng)時(shí),令,得.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以,函數(shù)在處取得極大值,亦即最大值,即,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是;(2)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且,,,構(gòu)造函數(shù),其中,,令,,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,則.所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,,,即,即,,且,而函數(shù)在上為減函數(shù),所以,,因此,.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù),同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.20、(1);(2)【解析】

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