2024年初一上冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)22-1方程的意義（基礎(chǔ)）知識講解

2024年初一上冊數(shù)學(xué)專項練習(xí)方程的意義（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．正確理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的區(qū)別與聯(lián)系；2.正確理解一元一次方程的概念，并會判斷方程是否是一元一次方程及一個數(shù)是否是方程的解；3.理解并掌握等式的兩個基本性質(zhì).【要點梳理】要點一、方程的有關(guān)概念1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.要點詮釋：判斷一個式子是不是方程，只需看兩點：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．2．方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.要點詮釋：判斷一個數(shù)（或一組數(shù)）是否是某方程的解，只需看兩點：①.它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；②將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是．3．解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

4．方程的兩個特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必須含有字母（或未知數(shù)）.要點二、一元一次方程的有關(guān)概念定義：只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.要點詮釋：“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程滿足條件：①首先是一個方程;②其次是必須只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的指數(shù)是1;④分母中不含有未知數(shù)．要點三、等式的性質(zhì)

1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

2．等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.即：

如果，那么(c為一個數(shù)或一個式子).

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要點詮釋：（1）根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行完全相同的變形；(2)等式性質(zhì)1中，強調(diào)的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定成立，

如x＝0中，兩邊加上得x＋，這個等式不成立;

(3)等式的性質(zhì)2中等式兩邊都除以同一個數(shù)時，這個除數(shù)不能為零．【典型例題】類型一、方程的概念 1．下列各式哪些是方程？①3x-2＝7；②4+8＝12；③3x-6；④2m-3n＝0；⑤3x2-2x-1＝0；⑥x+2≠3；⑦；⑧．【答案與解析】解：②雖是等式，但不含未知數(shù)；③不是等式；⑥表示不等關(guān)系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定義，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．【總結(jié)升華】方程的判斷必須看兩點，一個是等式，二是含有未知數(shù)．當(dāng)然未知數(shù)的個數(shù)可以是一個，也可以是多個．舉一反三：【變式】下列四個式子中，是方程的是（）A.3+2=5B.x=1C.2x﹣3＜0D.a2+2ab+b2【答案】B．2．（2015春?孟津縣期中）下列方程中，以x=2為解的方程是（）A.4x﹣1=3x+2B.4x+8=3（x+1）+1C.5（x+1）=4（x+2）﹣1D.x+4=3（2x﹣1）【答案】C．【總結(jié)升華】檢驗一個數(shù)是不是方程的解，根據(jù)方程解的概念，只需將所給字母的值分別代入方程的左右兩邊，若兩邊的值相等，則這個數(shù)就是此方程的解，否則不是．舉一反三：【變式】下列方程中，解是x=3的是()A．x+1＝4B．2x+1＝3C．2x-1＝2D．類型二、一元一次方程的相關(guān)概念3．（2016春?南江縣期末）在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1次的整式方程，可以逐一判斷.【答案】B.【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2個，故選：B．【總結(jié)升華】本題考查了一元一次方程的定義，解決本題的關(guān)鍵是熟記一元一次方程的定義．舉一反三：【變式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序號）．①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④．【答案】①②.類型三、等式的性質(zhì)4．用適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式填空，使所得的結(jié)果仍為等式，并說明根據(jù)等式的哪一條性質(zhì)，以及怎樣變形得到的．(1)如果，那么________；(2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；(3)如果，那么＝________．【答案與解析】解：(1).11；根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊都加上11；(2).（-by）；根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊都加上-by；(3).；根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊都乘以．【總結(jié)升華】先從不需填空的一邊入手，比較這一邊是怎樣變形的，再根據(jù)等式的性質(zhì)，對另一邊也進行同樣的變形．舉一反三：【變式】下列說法正確的是()．A．在等式ab＝ac兩邊都除以a，可得b＝c.B．在等式a＝b兩邊除以c2+1，可得.C．在等式兩邊都除以a，可得b＝c.D．在等式2x＝2a-b兩邊都除以2，可得x＝a-b.【答案】B.類型四、設(shè)未知數(shù)列方程5．根據(jù)問題設(shè)未知數(shù)并列出方程：一次考試共有25道選擇題，做對一道得4分，做錯或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做對多少道題？【答案與解析】解：設(shè)小明要做對x道題，則有(25-x)道做錯或沒做的題，依題意有：4x-(25-x)×1＝80．可以采用列表法探究其解顯然，當(dāng)x＝21時，4x-(25-x)×1＝80．所以小明要做對21道題．【總結(jié)升華】根據(jù)題意設(shè)出合適的未知量，并根據(jù)等量關(guān)系列出含有未知量的等式．舉一反三：【變式】根據(jù)下列條件列出方程．(l)x的5倍比x的相反數(shù)大10；(2)某數(shù)的比它的倒數(shù)小4；(3)甲、乙兩人從學(xué)校到公園，走這段路甲用20分鐘，乙用30分鐘，如果乙比甲早5分鐘出發(fā)，問甲用多少時間追上乙？【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)設(shè)某數(shù)為x，則；(3)設(shè)甲用x分鐘追上乙，由題意得．方程的意義（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．正確理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的區(qū)別與聯(lián)系；2.正確理解一元一次方程的概念，并會判斷方程是否是一元一次方程及一個數(shù)是否是方程的解；3.理解并掌握等式的兩個基本性質(zhì).【要點梳理】要點一、方程的有關(guān)概念

1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.要點詮釋：判斷一個式子是不是方程，只需看兩點：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．2．方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.要點詮釋：判斷一個數(shù)（或一組數(shù)）是否是某方程的解，只需看兩點：①.它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；②將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是．3．解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

4．方程的兩個特征：（1）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（或未知數(shù)）.要點二、一元一次方程的有關(guān)概念定義：只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.要點詮釋：“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程滿足條件：①首先是一個方程;②其次是必須只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的指數(shù)是1;④分母中不含有未知數(shù)．要點三、等式的性質(zhì)

1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

2．等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.即：

如果，那么(c為一個數(shù)或一個式子).

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要點詮釋：（1）根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行完全相同的變形；(2)等式性質(zhì)1中，強調(diào)的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定成立，

如x＝0中，兩邊加上得x＋，這個等式不成立;

(3)等式的性質(zhì)2中等式兩邊都除以同一個數(shù)時，這個除數(shù)不能為零．【典型例題】類型一、方程的概念 1．下列各式不是方程的是（）A.3B.m+2n=0C.x=-3D.4y＞3【思路點撥】根據(jù)方程的定義進行判斷.【答案】D【解析】解：A、含有未知數(shù)且是等式，故本選項是方程；B、含有未知數(shù)且是等式，故本選項是方程；C、含有未知數(shù)且是等式，故本選項是方程；D、含有未知數(shù)但不是等式，故本選項錯誤．故答案為D.【總結(jié)升華】方程是含有未知數(shù)的等式，方程和等式的關(guān)系是從屬關(guān)系，方程一定是等式，但等式不一定是方程．2．下列各方程后面括號里的數(shù)都是方程的解的是()．A．2x-1＝3(2，-1)B．(3，-3)C.(x-1)(x-2)＝0(1,2)D．2(y-2)-1＝5(5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括號里的數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，使左邊＝右邊的是方程的解，若左邊≠右邊的，則不是方程的解．【總結(jié)升華】檢驗一個數(shù)是否為方程的解，只要把這個值分別代入方程的左邊和右邊：若代入后使左邊和右邊的值相等，則這個數(shù)是方程的解；若代入后使方程左右兩邊的值不相等，則這個數(shù)不是方程的解．舉一反三：【變式】若是關(guān)于的方程的解，則的值為__________.

【答案】-1．類型二、一元一次方程的相關(guān)概念3．已知下列方程：①；②x＝0；③；④x+y＝0；⑤；⑥0.2x＝4．其中一元一次方程的個數(shù)是()．A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】方程①中未知數(shù)x的最高次數(shù)是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知數(shù)x，所以它也不是；方程④中含有兩個未知數(shù)，所以也不是一元一次方程.方程②⑤⑥滿足一元一次方程的條件，所以是一元一次方程．【總結(jié)升華】方程中的未知數(shù)叫做元，只含有一個未知數(shù)稱為“一元”，“次”是指含有未知數(shù)的項中次數(shù)最高項的次數(shù)，判斷一個方程是不是一元一次方程，看它是否具備三個條件：①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是1；③含未知數(shù)的代數(shù)式必須是整式（即整式方程）．舉一反三：【變式】(1)已知關(guān)于x的一元一次方程，求得m＝________．(2)已知方程(m-4)x+2＝2009是關(guān)于x的一元一次方程，則m的取值范圍是________．(3)若是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為()A．±2B．-2C．2D．4【答案】(1)(2)m≠4(3)B類型三、等式的性質(zhì)4．下列各式中，變形正確的是（）A．若a=b，則a+c=b+c B．若2x=a，則x=a﹣2C．若6a=2b，則a=3b D．若a=b+2，則3a=3b+2【思路點撥】根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項進行進行逐一判斷即可．【答案】A.【解析】解：A、正確，符合等式的基本性質(zhì)（1）；B、錯誤，若2x=a，則x=；C、錯誤，若6a=2b，則a=b；D、錯誤，若a=b+2，則3a=3b+6．故選A．【總結(jié)升華】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．（1）等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；（2）等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．舉一反三：【變式】已知x=y≠﹣，且xy≠0，下列各式：①x﹣3=y﹣3；②=；③=；④2x+2y=0，其中一定正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B解：①③正正確；類型四、等式或方程的應(yīng)用5．觀察下面的點陣圖形(如圖所示)和與之相對應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：(1)請你在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應(yīng)的等式．……(2)通過猜想，寫出與第n個圖形相對應(yīng)的等式．【答案與解析】解：通過觀察圖像可得：圖形呈放射狀，四條線上每變化一次各增加一個點，第n個圖形每條線上應(yīng)該是n個點；再觀察對應(yīng)的等式：等式的左右兩邊都是表示對應(yīng)圖形中點的個數(shù)，等式的左邊是從1個點開始的，第2個圖形增加4個點表示為4×1+1，第3個圖形又增加4個點，表示為4×2+1，…，第n個圖形共增加(n-1)個4個點，表示為4(n-1)+1;等式的右邊，把第一個圖形看作4點重合為一個點，表示為4×1-3，第2個圖形增加4個點，表示為4×2-3，第3個圖形又增加4個點，表示為4×3-3，…，第n個圖形看作n個4個點少3個點，表示為4n-3，所以有4(n-1)+1＝4n-3．(1)④4×3+1＝4×4-3⑤4×4+1＝4×5-3(2)4(n-1)+1＝4n-3【總結(jié)升華】設(shè)出未知量并用此未知量表示出題中的數(shù)量關(guān)系．舉一反三：【變式】某商品原售價289元,經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元,設(shè)平均每次降價的百分率為x,則下面所列方程中正確的是()A.B.C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289【答案】A.一元一次方程的解法（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟悉解一元一次方程的一般步驟，理解每步變形的依據(jù)；掌握一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想；進一步熟練掌握在列方程時確定等量關(guān)系的方法.【要點梳理】要點一、解一元一次方程的一般步驟變形名稱具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)(1)不要漏乘不含分母的項(2)分子是一個整體的，去分母后應(yīng)加上括號去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號(1)不要漏乘括號里的項(2)不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)(1)移項要變號(2)不要丟項合并同類項把方程化成ax＝b(a≠0)的形式字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解．不要把分子、分母寫顛倒要點詮釋：（1）解方程時，表中有些變形步驟可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的順序，有些步驟可以合并簡化．(2)去括號一般按由內(nèi)向外的順序進行，也可以根據(jù)方程的特點按由外向內(nèi)的順序進行.（3）當(dāng)方程中含有小數(shù)或分?jǐn)?shù)形式的分母時，一般先利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)將分母變?yōu)檎麛?shù)后再去分母，注意去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)，而分母化整的依據(jù)是分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，兩者不要混淆．要點二、解特殊的一元一次方程1.含絕對值的一元一次方程解此類方程關(guān)鍵要把絕對值化去，使之成為一般的一元一次方程，化去絕對值的依據(jù)是絕對值的意義．要點詮釋：此類問題一般先把方程化為的形式，再分類討論：(1)當(dāng)時，無解；（2）當(dāng)時，原方程化為：；（3）當(dāng)時，原方程可化為：或.2.含字母的一元一次方程此類方程一般先化為最簡形式ax＝b，再分三種情況分類討論：（1）當(dāng)a≠0時，；（2）當(dāng)a＝0，b＝0時，x為任意有理數(shù)；（3）當(dāng)a＝0，b≠0時，方程無解．【典型例題】類型一、解較簡單的一元一次方程1．解方程：5x=3（x﹣4）【答案與解析】解：方程去括號得：5x=3x﹣12，移項合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．【總結(jié)升華】方法規(guī)律：解較簡單的一元一次方程的一般步驟：(1)移項：即通過移項把含有未知數(shù)的項放在等式的左邊，把不含未知數(shù)的項(常數(shù)項)放在等式的右邊．(2)合并：即通過合并將方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(3)系數(shù)化為1：即根據(jù)等式性質(zhì)2：方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，即得方程的解．舉一反三：【變式】下列方程變形正確的是()．A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3B．由x+3＝2-4x，得5x＝5C．由，得x＝-1D．由3＝x-2，得-x＝-2-3【答案】D類型二、去括號解一元一次方程2．解方程：【思路點撥】方程中含有括號，應(yīng)先去括號再移項、合并、系數(shù)化為1，從而解出方程．【答案與解析】（1）去括號得：移項合并得：解得：（2）去括號得：移項合并得：解得：【總結(jié)升華】去括號時，要注意括號前面的符號，括號前面是“+”號，不變號；括號前面是“-”，各項均變號．舉一反三：【變式】解方程：5(x-5)+2x＝-4．【答案】解：去括號得：5x-25+2x＝-4．移項合并得：7x＝21．解得：x＝3．類型三、解含分母的一元一次方程3．解方程﹣2=．【思路點撥】方程按照去分母，去括號，移項合并同類項，把x系數(shù)化為1的步驟，即可求出解．【答案與解析】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣12=3（3x+2），去括號得：4x﹣2﹣12=9x+6，移項合并得：5x=﹣20，解得：x=﹣4．【總結(jié)升華】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：