2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第6講二項(xiàng)分布與超幾何分布

第六講二項(xiàng)分布與超幾何分布知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)分布1．n重伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)．將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．特征：①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2．二項(xiàng)分布：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)．若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).知識(shí)點(diǎn)二超幾何分布1．超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．可記為h(N，M，n)．X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)eq\f(N－n,N－1)，其中p＝eq\f(M,N).2．二項(xiàng)分布與超幾何分布的比較摸球方式X的分布列E(X)D(X)放回摸球二項(xiàng)分布B(n，p)npnp(1－p)不放回摸球超幾何分布H(N，M，n)npnp(1－p)eq\f(N－n,N－1)歸納拓展1．二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)(1)適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．(2)本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．2．超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)(1)適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)Y的概率分布．(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．(√)(2)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列，是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．(√)(3)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于(a＋b)n二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，其中a＝p，b＝1－p.(×)(4)小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是eq\f(1,3)，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰好第3次測(cè)試獲得通過(guò)的概率是P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3－1＝eq\f(4,9).(×)題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修3P76T1改編)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，X表示“正面向上”出現(xiàn)的次數(shù)，則P(X＝2)＝eq\f(3,8)，E(X)＝2.[解析]P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8)，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴E(X)＝2.3．(選擇性必修3P79T6改編)某小組有5名男生、3名女生，從中任選3名同學(xué)參加活動(dòng)，若X表示選出女生的人數(shù)，則P(X≥2)(C)A.eq\f(1,7) B．eq\f(15,56)C．eq\f(2,7) D．eq\f(5,7)[解析]P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3),C\o\al(3,8))＋eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(2,7).故選C.題組三走向高考4．(2018·課標(biāo)Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝(B)A．0.7 B．0.6C．0.4 D．0.3[解析]由題知X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)<P(X＝6)，即Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6<Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4?(1－p)2<p2?p>0.5，∴p＝0.6，故選B.5．(2021·天津高考)甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為eq\f(5,6)和eq\f(1,5)，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，每次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為eq\f(2,3)；3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為eq\f(20,27).[解析]由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為eq\f(5,6)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,3)；則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次