3245287811、微專題：半角公式及其應(yīng)用-講義-2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊(cè)

【學(xué)生版】微專題：半角公式及其應(yīng)用半角公式半角公式正弦余弦正切；；；【注意】（1）重視得到結(jié)果的過程，從思考與之間的關(guān)系入手，理解角的倍、半的相對(duì)性，思考與之間的關(guān)系；（2）使用公式時(shí)要深刻體會(huì)與的含義，如與，與等都可看成倍半關(guān)系.（3）半角公式根號(hào)前符號(hào)的確定①當(dāng)給出的角是某一象限的角時(shí)，可根據(jù)下表確定半角的函數(shù)值的符號(hào)第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限②當(dāng)給出角的范圍(即某一區(qū)間)時(shí)，可先求的范圍，再根據(jù)的范圍來確定各函數(shù)值的符號(hào)；③若沒有給出確定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前保留正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)；【典例】題型1、利用半角公式求值例1、已知cosα＝eq\f(\r(3),3)，α為第四象限的角，求：taneq\f(α,2)的值；【提示】；【答案】；【解析】解法1、解法2、解法3、【說明】題型2：利用半角公式化簡例2、設(shè)α∈(eq\f(3π,2)，2π)，化簡：eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).【提示】；【答案】【解析】【說明】題型3、利用半角公式證明例3、求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α；題型4、利用半角求值，注意角的范圍例4、已知角為鈍角,為銳角,且,,求與的值【歸納】1、半角公式：；；；2、半角公式的推導(dǎo)3、對(duì)半角公式的理解①；②；③；④；⑤；【即時(shí)練習(xí)】1、設(shè)α∈(π，2π)，則eq\r(\f(1－cos（π＋α）,2))等于()A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2)D．－coseq\f(α,2)2、化簡4cos2α÷(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))的結(jié)果為()A．－eq\f(1,2)cosαsinαB．sin2αC．－sin2αD．2sin2α3、已知sin2θ＝eq\f(12,13)，θ∈(0，eq\f(π,4))，則tanθ等于4、已知taneq\f(α,2)＝3，則cosα為5、化簡：eq\f(sin2x,2cosx)(1＋tanxtaneq\f(x,2))=．6、在△ABC中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)，則taneq\f(A,2)＝7、在△ABC中，若cosA＝eq\f(1,3)，則sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A的值為________．8、已知sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(5),5)，若450°<α<540°，則taneq\f(α,2)＝________．9、已知sinα＝－eq\f(4,5)，180°<α<270°，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)的值．10、求證：sin2eq\f(α,4)－1＝－eq\f(cos\f(α,2)＋1,2).【教師版】微專題：半角公式及其應(yīng)用半角公式半角公式正弦余弦正切；；；【注意】（1）重視得到結(jié)果的過程，從思考與之間的關(guān)系入手，理解角的倍、半的相對(duì)性，思考與之間的關(guān)系；（2）使用公式時(shí)要深刻體會(huì)與的含義，如與，與等都可看成倍半關(guān)系.（3）半角公式根號(hào)前符號(hào)的確定①當(dāng)給出的角是某一象限的角時(shí)，可根據(jù)下表確定半角的函數(shù)值的符號(hào)第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限②當(dāng)給出角的范圍(即某一區(qū)間)時(shí)，可先求的范圍，再根據(jù)的范圍來確定各函數(shù)值的符號(hào)；③若沒有給出確定符號(hào)的條件，則在根號(hào)前保留正、負(fù)兩個(gè)符號(hào)；【典例】題型1、利用半角公式求值例1、已知cosα＝eq\f(\r(3),3)，α為第四象限的角，求：taneq\f(α,2)的值；【提示】注意：角“eq\f(α,2)”、“α”呈二倍關(guān)系；注意：二倍角、半角公式的特征；【答案】eq\f(\r(2)－\r(6),2)；【解析】解法1、(用taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))來處理)．因?yàn)?，α為第四象限的角，所以，eq\f(α,2)是第二或第四象限的角，所以，taneq\f(α,2)<0.則，根據(jù)公式taneq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－eq\r(\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3)))＝－eq\r(2－\r(3))＝－eq\f(1,2)eq\r(8－4\r(3))＝－eq\f(1,2)eq\r(（\r(6)－\r(2)）2)＝eq\f(\r(2)－\r(6),2).解法2、(用taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)來處理)因?yàn)?，α為第四象限的角，所以，sinα<0，所以，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,3))＝－eq\f(\r(6),3)；則，taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)＝eq\f(1－\f(\r(3),3),－\f(\r(6),3))＝eq\f(\r(2)－\r(6),2).解法3、(用taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)來處理)因?yàn)?，α為第四象限的角，所以，sinα<0，所以，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(1,3))＝－eq\f(\r(6),3)；則taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(－\f(\r(6),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq\f(－\r(6),3＋\r(3))＝eq\f(\r(2)－\r(6),2)；【說明】本題根據(jù)“eq\f(α,2)”與“α”成二倍關(guān)系；結(jié)合公式特點(diǎn)，用了3種解法；在求半角的正切taneq\f(α,2)時(shí)，用taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))來處理，要由α所在的象限確定eq\f(α,2)所在的象限，再用三角函數(shù)值的符號(hào)取舍根號(hào)前的雙重符號(hào)；而用taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)或taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)來處理，可以避免這些問題．尤其是taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)，分母是單項(xiàng)式，容易計(jì)算．因此常用taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)求半角的正切值；請(qǐng)同學(xué)們?cè)诒容^中尋找適合自己的解法；題型2：利用半角公式化簡例2、設(shè)α∈(eq\f(3π,2)，2π)，化簡：eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos2α)).【提示】注意：根據(jù)題設(shè)，在保證有意義前提下，出現(xiàn)“平方再開方”形式；【答案】coseq\f(α,2)；【解析】因?yàn)?，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，所以，cosα>0，coseq\f(α,2)<0.故原式＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))＝eq\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cosα)＝eq\r(cos2\f(α,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2)；【說明】利用半角公式進(jìn)行化簡時(shí)，應(yīng)正確選用升、降冪公式：當(dāng)待化簡式中含有根式時(shí)，應(yīng)選用升冪公式(cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1)去根號(hào)；當(dāng)待化簡式中含有高次式時(shí)，應(yīng)選用降冪公式(sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2))降低次數(shù)以減少運(yùn)算量，注意隱含條件中角的范圍；題型3、利用半角公式證明例3、求證：eq\f(cos2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq\f(1,4)sin2α；【提示】注意：二倍角公式、半角公式在“升冪、降冪”中的作用；【證明】左邊＝eq\f(cos2α,\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2αsin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq\f(\f(1,2)cos2αsinα,cosα)＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α＝右邊；所以，等式成立；【說明】證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證；常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法；證明條件三角恒等式，首先應(yīng)觀察條件與結(jié)論之間的差異(三角函數(shù)名及結(jié)構(gòu))，從解決某一差異入手，采用條件轉(zhuǎn)化法或條件代入法；題型4、利用半角求值，注意角的范圍例4、已知角為鈍角,為銳角,且,,求與的值【提示】注意：已知角與所求角之間的關(guān)系；【解析】因?yàn)榻菫殁g角,為銳角,且,,所以,.所以.又因?yàn)?且,所以,即.所以；方法1、由,得，所以；方法2、由，得.所以【說明】對(duì)于含有半角的求值問題，一定要判斷角的取值范圍，以免產(chǎn)生增根；【歸納】1、半角公式：；；；2、半角公式的推導(dǎo)（1）；（2）；（3）.3、對(duì)半角公式的理解①半角公式中的正弦、余弦公式實(shí)際上是由二倍角的余弦公式變形得到的；②半角公式給出了求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切的另一種方式，即只需知道cosα的值及相應(yīng)的α的條件，sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)便可求出；③對(duì)“半角”的理解應(yīng)是廣義的，不能僅限于eq\f(α,2)是α的一半，其他如α是2α的一半，eq\f(α,4)是eq\f(α,2)的一半，eq\f(3α,2)是3α的一半等，這里面蘊(yùn)含著換元思想，半角是相對(duì)而言的，描述的是兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系；④由taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)的推導(dǎo)過程可知，taneq\f(α,2)的符號(hào)與sinα的符號(hào)相同，且由于該式中不含被開方數(shù)，故不涉及符號(hào)問題，所以求解題目時(shí)，使用相對(duì)方便，但要注意該公式成立的條件，由1＋cosα≠0?α≠(2k＋1)π，k∈Z，由sinα≠0?α≠kπ，k∈Z.⑤解答涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關(guān)系的題目時(shí)，常用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)；【即時(shí)練習(xí)】1、設(shè)α∈(π，2π)，則eq\r(\f(1－cos（π＋α）,2))等于()A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2)D．－coseq\f(α,2)【答案】D；【解析】因?yàn)?，α?π，2π)，所以，eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π，所以，coseq\f(α,2)<0，所以，原式＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2).2、化簡4cos2α÷(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))的結(jié)果為()A．－eq\f(1,2)cosαsinαB．sin2αC．－sin2αD．2sin2α【答案】B；【解析】原式＝4cos2αeq\f(tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝2cos2αtanα＝2cos2αeq\f(sinα,cosα)＝2sinαcosα＝sin2α.3、已知sin2θ＝eq\f(12,13)，θ∈(0，eq\f(π,4))，則tanθ等于【答案】eq\f(2,3)；【解析】因?yàn)椋?<θ<eq\f(π,4)，0<2θ<eq\f(π,2)，所以，cos2θ＝eq\r(1－sin22θ)＝eq\r(1－（\f(12,13)）2)＝eq\f(5,13).則tanθ＝eq\f(1－cos2θ,sin2θ)＝eq\f(1－\f(5,13),\f(12,13))＝eq\f(2,3).4、已知taneq\f(α,2)＝3，則cosα為【答案】－eq\f(4,5)；【解析】方法1、cosα＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(1－9,1＋9)＝－eq\f(4,5).方法2、因?yàn)?，taneq\f(α,2)＝3，所以，eq\f(1－cosα,1＋cosα)＝9，即1－cosα＝9＋9cosα，解得cosα＝－eq\f(4,5).5、化簡：eq\f(sin2x,2cosx)(1＋tanxtaneq\f(x,2))=．【答案】tanx；【解析】原式＝eq\f(2sinxcosx,2cosx)(1＋eq\f(sinx,cosx)·eq\f(1－cosx,sinx))＝sinx(1＋eq\f(1－cosx,cosx))＝sinxeq\f(1,cosx)＝tanx；6、在△ABC中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)，則taneq\f(A,2)＝【答案】2－eq\r(3)；【解析】因?yàn)樵凇鰽BC中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,2)))＝eq\f(\r(3),2)，所以cosA＝eq\f(\r(3),2)，且A為銳角，所以taneq\f(A,2)＝eq\r(\f(1－cosA,1＋cosA))＝2－eq\r(3)；7、在△ABC中，若cosA＝eq\f(1,3)，則sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A的值為________．【答案】－eq\f(1,9)【解析】因?yàn)?，cosA＝eq\f(1,3)，所以，原式＝cos2eq\f(A,2)＋cos2A＝eq\f(1＋cosA,2)＋2cos2A－1＝eq\f(1＋\f(1,3),2)＋2×(eq\f(1,3))2－1＝－eq\f(1,9).8、已知sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)＝－eq\f(\r(5),5)，若450°<α<540°，則taneq\f(α,2)＝________．【答案】2；【解析】由條件知1－2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(1,5)，所以，2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(4,5)，即sinα