2022-2023學(xué)年江蘇省南京市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校等四校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校等四校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1．若集合，，則（）A． B．C． D．2．若，則的實(shí)部為（）A．1 B．2 C．3 D．103．打羽毛球是一項(xiàng)全民喜愛(ài)的體育活動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，測(cè)得每根羽毛在球托之外的長(zhǎng)為7cm，球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，測(cè)得頂端所圍成的直徑是，底部所圍成圓的直徑是，據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面積大約為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)在恰好存在兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)Q在圓，其中c為橢圓C的半焦距，若的最大值恰好等于橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．6．在△ABC中，若向量在上的投影向量為，則的最大值為（）A． B． C． D．7．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．8．四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面△PAD為正三角形，則其外接球體積最小值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）9．在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，，則（）A． B．向量，夾角的最小值為C．內(nèi)角A的最大值為 D．△ABC面積的最小值為10．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，則（）A． B．BE與所成的角為C．四面體的體積為 D．與平面所成的角為11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且△AOB的面積為，則（）A．B．AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為3C．點(diǎn)滿(mǎn)足D．過(guò)點(diǎn)作C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為M，N，則O與直線(xiàn)MN距離的最小值為112．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)，．若是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A．B．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的傾斜角為C．是周期函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)）D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．若非零向量與滿(mǎn)足：，且，，則的最大值為_(kāi)_____．14．德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題的一般描述是：已知點(diǎn)A，B是∠MON的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是OM邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，∠ACB最大？問(wèn)題的結(jié)論是：當(dāng)且僅當(dāng)△ABC的外接圓與OM相切于點(diǎn)C時(shí)，∠ACB最大．人們稱(chēng)這一命題為米勒定理．已知，，，則∠ACB最大時(shí)，______．15．已知函數(shù)的定義域R，，，且．若數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，則______．16．已知函數(shù)，，若與的圖象上有且僅有2對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．18．隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來(lái)的人們健康意識(shí)日益提升，越來(lái)越多的人走向公園、場(chǎng)館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線(xiàn)．某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取300人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時(shí)間少于5小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于5小時(shí)合計(jì)50歲以下12010022050歲以上（含50）305080合計(jì)150150300（1）運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法判斷：是否有99%以上的把握認(rèn)為，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)？并說(shuō)明理由．（2）現(xiàn)從20歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于5小時(shí)，用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)行一步訪談，最后再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取3人填寫(xiě)調(diào)查問(wèn)卷．記抽取3人中周平均鍛煉時(shí)間是不少于5小時(shí)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．記銳角△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求角A的大??；（2）若，求BC邊上的高的取值范圍．20．如圖1，梯形ABCD中，，，，將△ABC沿對(duì)角線(xiàn)AC翻折，使點(diǎn)B至點(diǎn)P，且使平面PAC⊥平面ACD，如圖2．（1）求證：PA⊥CD；（2）連接PD，當(dāng)四面體PACD體積最大時(shí)，求二面角C－PA－D的大?。?1．已知函數(shù)在是減函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記，當(dāng)時(shí)，①求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)（記為）；②求證：．22．已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)，，三個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C上．（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)C于y軸右側(cè)兩個(gè)不同點(diǎn)的E，F(xiàn)，連接DE，DF分別交直線(xiàn)AB于點(diǎn)G，H．若直線(xiàn)DE與直線(xiàn)DF的斜率互為相反數(shù)，證明：為定值．參考答案一、單項(xiàng)選擇題1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C二、多項(xiàng)選擇題9．【答案】AC10．【答案】ACD11．【答案】BC12．【答案】BCD三、填空題13．【答案】14．【答案】15．【答案】102316．【答案】四、解答題17．【解析】（1）由題意，時(shí)，，令有所以，時(shí)有，兩式相減得：，時(shí)，因?yàn)?，所以，即是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以；（2）由（1）得，所以18．【解析】（1）答：有99%以上的把握認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)；（2）由題意得8人樣本中有3人周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于5小時(shí)，有5人周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于5小時(shí)．X的可能取值為0，1，2，3，則，，，X的分布列為X0123P所以19．【解析】（1）因?yàn)椋裕?）設(shè)BC邊上高為h，垂足為H，設(shè)，則，所以，，由（1）得，所以，因?yàn)?，所以，即，所?0．【解析】（1）設(shè)AC中點(diǎn)為M，因?yàn)?，所以PM⊥AC，因?yàn)镻M⊥AC，面PAC⊥面ACD，面PAC，面面，所以PM⊥面ACD，又因?yàn)槊鍭CD，所以PM⊥CD；（2）由（1）可得CD⊥面PAC，設(shè)AD中點(diǎn)為N，以M為原點(diǎn)，MC所在直線(xiàn)為x軸，MN所在直線(xiàn)為y軸，MP所在直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，由已知，，設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)體積最大，此時(shí)，，，，面PAC的一個(gè)法向量為，設(shè)面PDA的法向量為，則，令，由所以，即二面角C－PA－D的大小為．21．【解析】（1）由題意得時(shí)，恒成立，且導(dǎo)函數(shù)無(wú)連續(xù)零點(diǎn)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以要滿(mǎn)足題意則，即；（2）①時(shí)因?yàn)椋?，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又有所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)樗源嬖跐M(mǎn)足，即題意得證；②要證：，即證：，即證，即證，即證，即證因?yàn)?，所以，，即成立，所以得證．22．【解析】（1）由題意A，B不可能同時(shí)在雙曲線(xiàn)上，若A，D在雙曲線(xiàn)上，則，解得雙曲線(xiàn)方程為：；若