近世代數(shù)與尺規(guī)作圖世界名題

近世代數(shù)與尺規(guī)作圖世界名題近世代數(shù)與尺規(guī)作圖世界名題古代尺規(guī)作圖三大難題的故事

尺規(guī)作圖解析判別法

伽羅瓦(Galois)與近世代數(shù)

代數(shù)發(fā)展簡史

第2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事三分角問題

倍立方問題

圓化方問題

第3頁,共42頁，2024年2月25日，星期天一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事1、三分角問題

任意給定一個角，作圖工具僅限于直尺和圓規(guī)，問能否將這個角三等分

★這是歷史最為長久、流傳最為廣泛的一個幾何作圖問題，兩千多年來，不斷有人在這個題目上花費時間，甚至畢生精力。

第4頁,共42頁，2024年2月25日，星期天一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事2、倍立方問題

要求作一個立方體，使其體積等于己知立方體體積的兩倍

★倍立方問題又以“黛利亞神問題”相傳

第5頁,共42頁，2024年2月25日，星期天一、古代尺規(guī)作圖三大難題的故事3、圓化方問題

要求作一個正方形，使其面積等于一個己知圓的面積

★古希臘著名學(xué)者阿納克薩戈勒斯的監(jiān)獄囚室陽光聯(lián)想第6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法1、每一個平面作圖題，我們都可以放到坐標(biāo)平面上來考慮，事實上，我們只要在平面上引進(jìn)坐標(biāo)系就行了第7頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法2、因平面幾何作圖題總是要求人們?nèi)プ鞒鲆恍┚€段，或定出一些點的位置，因為點的位置都可以用坐標(biāo)來確定。所以，歸根結(jié)底，作圖題無非是要求人們?nèi)プ鞒鼍哂心撤N長度的線段，當(dāng)然，每兩個坐標(biāo)點聯(lián)結(jié)起來也就確定一條線段，因此可以說，幾何作圖歸結(jié)為要求定出某些坐標(biāo)點第8頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法3、在平面幾何作圖題里，總可以把一己知線段當(dāng)做“單位長度線段”，即長度為1，于是利用尺規(guī)作圖，很容易將該線段n等分，從而求得長為的線段，再將此線段m倍，又可得到長為的線段。總之，一切以有理數(shù)為長度的線段都可以作出來。我們把點的坐標(biāo)或線段長度都簡稱為幾何量第9頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法4、設(shè)r為任一正有理數(shù)，則以

為長度的線段也可以作出來。事實上，如圖，利用1+r為直徑作圓，從線段連接點P引垂線交圓于Q，則PQ=POrQ第10頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法5、反復(fù)利用上述手續(xù)，可見長度為的線段也都可以作出來?！镏灰怯捎欣頂?shù)經(jīng)過有限次“加、減、乘、除、開平方”五則運算得出的數(shù)量，都可以用尺規(guī)作出以這些數(shù)量為長度的線段，這些數(shù)量就可以叫做“可作圖幾何量”。

第11頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法尺規(guī)作圖題的解析判別法：

要判別一個平面幾何上的尺規(guī)作題是否可作，只要分析所要確定的幾何量是否為“可作圖幾何量”就行了

第12頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法三個尺規(guī)作圖難題的代數(shù)化

1、三分角問題

設(shè)己知角的三分之一為A，則已知角為3A，取余弦令得由于x并不能表示成可作圖幾何量，故三分角用尺規(guī)作圖不可能

第13頁,共42頁，2024年2月25日，星期天三個尺規(guī)作圖難題的代數(shù)化

2、倍立方問題

設(shè)原立方體的邊長為a，新立方體的邊長為x則倍立方問題表示為代數(shù)方程不妨設(shè)a=1，則問題變?yōu)槿畏匠痰那蠼鈫栴}，然而這也是不可能的

二、尺規(guī)作圖解析判別法第14頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、尺規(guī)作圖解析判別法三個尺規(guī)作圖難題的代數(shù)化

3、圓化方問題設(shè)正方形的邊長為x，己知圓的半徑為r，則圓化方問題即可表示為代數(shù)方程不妨設(shè)r=1，則圓化方問題轉(zhuǎn)化為用直尺和圓規(guī)作一條線段其長為，這也是做不到的。

第15頁,共42頁，2024年2月25日，星期天三、伽羅瓦(Galois)與近世代數(shù)古典代數(shù)、五次方程的根式求解、近世代數(shù)伽羅瓦與伽羅瓦理論三個尺規(guī)作圖難題的代數(shù)證明第16頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)古典代數(shù)的中心問題：解代數(shù)方程和方程組

有效工具：矩陣論和線性代數(shù)學(xué)

四次方程的一般求解公式：1545年

L.Ferrarri(Italian,1522-1565)

第17頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式

（1）從1545年以來近300年的努力與失敗（2）1830年才由天才的法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦完全解決（3）這中間應(yīng)特別提到Lagrange，

P.Ruffini(1765-1822)，

N.H.Abel(1802-1829)等人的名字。第18頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式Lagrange

1770年法國數(shù)學(xué)家拉格朗日才開始意識到一般五次方程這樣的求解公式可能是不存在的。他分析了己知的解方程的方法，并指出可用一個統(tǒng)一的方法去代替這些不同的解法，在討論中他引入置換、置換的乘法、置換群的概念。第19頁,共42頁，2024年2月25日，星期天約瑟夫·拉格朗日

約瑟夫·拉格朗日，全名約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。第20頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式P.Ruffini

Lagrange的學(xué)生意大利人P.Ruffini證明了一般n次方程當(dāng)時不能用根式解。然而他是在“方程的解的根式表達(dá)式中，每一根號下的式子都是方程的諸根以及單位根的有理函數(shù)”這一假設(shè)下證明的。第21頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式N.H.Abel

后來Abel證明了上面這一假設(shè)是成立的，并在1824年，22歲的挪威大學(xué)生阿貝爾再一次獨立地得到了Ruffini的證明，至此就完整地證明了一般n次方程當(dāng)時不能用根式解。不幸，阿貝爾于1829年4月6日早逝于結(jié)核病。第22頁,共42頁，2024年2月25日，星期天阿貝爾

翻開近代數(shù)學(xué)的教科書和專門著作，阿貝爾這個名字是屢見不鮮的：阿貝爾積分、阿貝爾函數(shù)、阿貝爾積分方程、阿貝爾群、阿貝爾級數(shù)、阿貝爾部分和公式、阿貝爾基本定理、阿貝爾極限定理、阿貝爾可和性，等等。只有很少幾個數(shù)學(xué)家能使自己的名字同近代數(shù)學(xué)中這么多的概念和定理聯(lián)系在一起。然而這位卓越的數(shù)學(xué)家卻是一個命途多舛的早夭者，只活了短短的27年。尤其可悲的是，在他生前，社會并沒有給他的才能和成果予以公正的認(rèn)可。第23頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)尋找五次方程的根式求解公式Galois

年青而有才華的數(shù)學(xué)家伽羅瓦深刻地闡明了用根式解代數(shù)方程的理論基礎(chǔ)。他的天才想法是研究方程根之間的置換，由此產(chǎn)生了群的概念，這使得他們工作的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了解代數(shù)方程的問題范圍，而成為群論以致于近世代數(shù)的開拓者。第24頁,共42頁，2024年2月25日，星期天（ÉvaristeGalois，公元1811年~公元1832年）是法國對函數(shù)論、方程式論和數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他的工作為群論（一個他引進(jìn)的名詞）奠定了基礎(chǔ)；在父親自殺后，他放棄投身于數(shù)學(xué)生涯，注冊擔(dān)任輔導(dǎo)教師，結(jié)果因撰寫反君主制的文章而被開除，且因信仰共和體制而兩次下獄。伽羅華死于一次決斗，可能是被?；逝苫蚓剿づ?，時年21歲。他被公認(rèn)為數(shù)學(xué)史上兩個最具浪漫主義色彩的人物之一。伽羅華第25頁,共42頁，2024年2月25日，星期天1、古典代數(shù)、五次程的根式求解、近世代數(shù)近世代數(shù)

研究各類代數(shù)系統(tǒng)（帶運算或關(guān)系的集合）的結(jié)構(gòu)

第26頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦(Galois)法國巴黎附近一座小鎮(zhèn)鎮(zhèn)長的兒子1828年，17歲時把論文“關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問題”提交法蘭西科學(xué)院(1828,柯西;1830,富里葉;1831,泊松)考入巴黎高等師范學(xué)校因參加政治活動而兩次入獄并被學(xué)校開除

第27頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦(Galois)1832年4月出獄后不久在與人決斗時負(fù)重傷，5月31日上午10時去世14年后，1846年法國數(shù)學(xué)家劉維爾(Liouville)從伽羅瓦的弟弟手中收集到一些尚未發(fā)表的手稿，陸續(xù)發(fā)表在自已創(chuàng)辦并主編的《理論數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》雜志上第28頁,共42頁，2024年2月25日，星期天法國數(shù)學(xué)家,（1809—1882），劉維爾在1836年1月創(chuàng)辦《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journaldematématiquespuresetappli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)。該雜志刊登純粹、應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域所有分支的論文，記錄了19世紀(jì)中期的40年里數(shù)學(xué)活動的一部分重要內(nèi)容，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liou－ville′sJournal)。

劉維爾(JosephLiouville)第29頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦(Galois)1852年起，有人首先讀懂了伽羅瓦的論文并弄清了他的思想1894年，狄德金(Dedekind,德國代數(shù)和數(shù)論專家)對伽羅瓦理論作了系統(tǒng)的闡述

1948年，阿丁(Artin)所寫的關(guān)于伽羅瓦理論的講義成為后人的樣版

19世紀(jì)后期，人們才認(rèn)識到伽羅瓦工作對于代數(shù)學(xué)劃時代的影響

第30頁,共42頁，2024年2月25日，星期天狄德金尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）又譯狄德金，最偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。據(jù)《辭?！?，戴德金還是格丁根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。第31頁,共42頁，2024年2月25日，星期天阿丁(Artin)Artin(1898～1962)奧地利數(shù)學(xué)家。阿丁前期工作主要是在類域論、實域理論、抽象代數(shù)等方面。在此期間，他和E.諾特以及他們的學(xué)派極大地推動了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展。后期工作主要是在環(huán)論、伽羅瓦理論、代數(shù)數(shù)論中的類數(shù)問題及拓?fù)鋵W(xué)的辮子理論方面。著作有《類域論》和《阿廷文集》。第32頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2、伽羅瓦與伽羅瓦理論伽羅瓦理論的基本思想關(guān)于域的問題可以轉(zhuǎn)化為域的自同構(gòu)形成的群的問題來進(jìn)行討論第33頁,共42頁，2024年2月25日，星期天3、三個尺規(guī)作圖難題的代數(shù)證明

因用到域論和Galois理論的較多知識，故略去

第34頁,共42頁，2024年2月25日，星期天四、代數(shù)發(fā)展簡史

1、二次方程★方程式：★求根公式：★發(fā)展階段：公元前20世紀(jì)------公元后12世紀(jì)第35頁,共42頁，2024年2月25日，星期天四、代數(shù)發(fā)展簡史

2、三次方程

★方程式：★求根公式：★

G.Cardano(Italian,1501-1576),N.Tartaglia(Italian,1499-1577)

，第36頁,共42頁，2024年2月25日，星期天Cardano（1501～1576）生于意大利Pavia，卒於羅馬，是意大利米蘭的學(xué)者。現(xiàn)在我們稱三次方程的求根公式叫作「Cardano公式」，這公式其實不是Cardano發(fā)現(xiàn)的，而是他在1539年從別人那里騙到的，把它寫入《ArsMagna》（大衍術(shù)）書中。他有多方面的才干，曾寫過一本機(jī)率對局的書，這是有關(guān)機(jī)率論最早的一本書。他性喜賭博，因而對機(jī)率產(chǎn)生了興趣卡丹Cardano

第37頁,共42頁，2024年2月25日，星期天四、代數(shù)發(fā)展簡史

3、四次方程

★方程式：★求根公式：略

★L(fēng).Ferrarri(Italian,1522-1565)

第38頁,共42頁，2024年2月25日，星期天四、代數(shù)發(fā)展簡史

4、五次及五次以上方程

★方程式：★N.Abel(Norwegian,1802-1829)

五次以上一般方程不能用根式求解★E.Galois(French,1811-1832)

一個方程可用根式求解的條件第39頁,共42頁，2024