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北京西城44中2024屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合;②雙曲線E與過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.2.雙曲線的左右焦點(diǎn)為,一條漸近線方程為,過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.23.空間點(diǎn)到平面的距離定義如下:過(guò)空間一點(diǎn)作平面的垂線,這個(gè)點(diǎn)和垂足之間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點(diǎn),點(diǎn)到,的距離都是3,點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn),滿足到的距離與到點(diǎn)的距離相等,則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.4.用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形5.盒中有6個(gè)小球,其中4個(gè)白球,2個(gè)黑球,從中任取個(gè)球,在取出的球中,黑球放回,白球則涂黑后放回,此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù),則()A., B.,C., D.,6.用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動(dòng)生成一個(gè)實(shí)數(shù),且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù),則這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于的概率為()A. B. C. D.7.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.8.已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn),直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若,則的面積為()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,其中為虛部單位,則實(shí)數(shù)()A.3 B. C. D.10.自2019年12月以來(lái),在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強(qiáng)的傳染性各級(jí)政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級(jí)要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個(gè)不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個(gè)住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種11.如果實(shí)數(shù)滿足條件,那么的最大值為()A. B. C. D.12.若,則“”是“的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某高校開(kāi)展安全教育活動(dòng),安排6名老師到4個(gè)班進(jìn)行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個(gè)班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當(dāng)時(shí),,則的值為_(kāi)__________________.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.16.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.18.(12分)已知拋物線:()的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,點(diǎn)、分別在第一和第二象限內(nèi),求的面積.19.(12分)如圖所示,在四棱錐中,∥,,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)證明:∥面;(2)若,且,面面,求二面角的余弦值.20.(12分)底面為菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若,.(1)求證:;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和為,證明:.22.(10分)如圖,過(guò)點(diǎn)且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D,直線AC、BD分別交直線于點(diǎn)E、F,求證:是定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點(diǎn)為,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn);,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,難度一般.2、A【解析】
設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因?yàn)?,所以為線段的中點(diǎn),所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點(diǎn)的距離得到點(diǎn)軌跡方程,得到,進(jìn)而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價(jià)于在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,求點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡(jiǎn)得:,則,解得:,即點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值是.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中點(diǎn)面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,進(jìn)而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.4、C【解析】試題分析:畫出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點(diǎn):平面的基本性質(zhì)及推論.5、C【解析】
根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望,由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球,所以.表示取出一個(gè)黑球,,所以.表示取出兩個(gè)球,其中一黑一白,,表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?,,表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?,,所?所以,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,屬于中檔題.6、C【解析】
由幾何概型的概率計(jì)算,知每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為,結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.【詳解】∵每次生成一個(gè)實(shí)數(shù)小于1的概率為.∴這3個(gè)實(shí)數(shù)都小于1的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查學(xué)生基本的計(jì)算能力,是一道容易題.7、D【解析】
先求出集合N的補(bǔ)集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,設(shè),得,求出的值,即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為,連接,由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設(shè),則,又.故,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、B【解析】
利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.10、C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個(gè)不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是排列組合知識(shí),解此類題時(shí)一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
解:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),最大,故選B12、B【解析】
求得的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令時(shí),可得項(xiàng)的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,即,則項(xiàng)的系數(shù)為,充分性成立;當(dāng)?shù)恼归_(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識(shí),考查考生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級(jí)的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個(gè)班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個(gè)班,共有種,所以種.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,難度一般.對(duì)于分組的問(wèn)題,首先確定每組的數(shù)量,對(duì)于其中特殊元素,可通過(guò)“正難則反”的思想進(jìn)行分析.14、【解析】
由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比;代入表達(dá)式,結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知,所以,解得或(舍),所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法,對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算,屬于中檔題.16、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,,即故答案為三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程,把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo);(2)把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=1,設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镻的極坐標(biāo)為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因?yàn)椤鳎?102﹣4×41×25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù),且t1+t2,依題意,點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,所以|PM|=||.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,屬中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)?,可得,即可求得答案;?)分別設(shè)、的斜率為和,切點(diǎn),,可得過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為:,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,得到關(guān)于一元二次方程,根據(jù),求得,,進(jìn)而求得切點(diǎn),坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到切線的距離,進(jìn)而求得的面積.【詳解】(1),,解得,拋物線的方程為.(2)由題意可知,、的斜率都存在,分別設(shè)為和,切點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線:,由,消掉,可得,,即,解得,,又由,得,,,同理可得,,,,,切線的方程為,點(diǎn)到切線的距離為,,即的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過(guò)韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題意,連接交于,連接,利用三角形全等得,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求得平面的法向量,進(jìn)而可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接交于,連接,,≌,且,面面,面,(2)取中點(diǎn),連,.由,面面面,又由,以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,為面的一個(gè)法向量,設(shè)面的法向量為,依題意,即,令,解得,所以,平面的法向量,,又因二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意中位線和向量法的合理運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)先由線面垂直的判定定理證明平面,再證明線線垂直即可;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量,再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】(1)證明:連接,由平行且相等,可知四邊形為平行四邊形,所以.由題意易知,,所以,,因?yàn)?,所以平面,又平面,所?(2)設(shè),,由已知可得:平面平面,所以,同理可得:,所以四邊形為平行四邊形,所以為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),所以平行且相等,從而平面,又,所以,,兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,,,由平面幾何知識(shí),得.則,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由,可得,令,則,,所以.同理,平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面所成角為,則,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法,重點(diǎn)考查了空
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