例1設(shè)隨機變量X概率密度為市公開課特等獎市賽課微課一等獎?wù)n件

例1設(shè)隨機變量X概率密度為試求:(1)常數(shù)k;(2)

X分布函數(shù);(3)第1頁例2已知連續(xù)型隨機變量X分布函數(shù)為試求:(1)常數(shù)a,b;(3)X概率密度.第2頁例3

已知某型號電子管使用壽命X為連續(xù)型r.v.,其概率密度為(1)求常數(shù)c;

(3)已知一設(shè)備裝有3個這么電子管,每個電子管能否正常工作相互獨立,求在使用最初1500小時只有一個損壞概率.(2)計算第3頁1.均勻分布若隨機變量X含有概率密度函數(shù)則稱X在(a,b)上服從均勻分布，記作X~U(a,b).二、幾個慣用連續(xù)型隨機變量分布概率密度函數(shù)圖形第4頁X分布函數(shù)為

第5頁對任意長度為l子區(qū)間(c,c+l),a≤c<c+l≤b，都有若X~U(a,b),則X含有下述等可能性：X落在區(qū)間(a,b)中任意長度相同子區(qū)間里概率是相同.即X落在子區(qū)間里概率只依賴于子區(qū)間長度,而與子區(qū)間位置無關(guān).第6頁一維幾何概型.

r.v.X取值在區(qū)間(a,b)上,而且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)概率與這個小區(qū)間長度成正比,則X在(a,b)上服從均勻分布.如:一段時間內(nèi)乘客抵達車站時刻、四舍五入引發(fā)誤差等普通都服從均勻分布.例4

秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精度是取最近刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生隨機誤差X概率密度,并計算誤差絕對值不超出0.004秒概率.均勻分布實際背景第7頁例5

某公共汽車站從早晨7時起,每15分鐘來一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45時刻有汽車抵達此站,假如乘客在7:00到7:30之間任何時刻都有可能抵達此車站,試求他候車時間少于5分鐘概率.第8頁設(shè)隨機變量X含有概率密度其中λ>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ指數(shù)分布,記作X~E(λ)或e(λ).2.指數(shù)分布其分布函數(shù)為第9頁指數(shù)分布另一個表示形式

則稱X服從參數(shù)為

>0指數(shù)分布.其分布函數(shù)為第10頁1xF(x)0xf(x)0第11頁指數(shù)分布通慣用于描述對某一事件發(fā)生等候時間,比如:乘客在公共汽車站候車時間、一些元件或設(shè)備使用壽命(等候用壞時間)、電話交換臺收到兩次呼叫之間時間間隔等.應(yīng)用背景:例6電子元件壽命X(年)服從參數(shù)為3指數(shù)分布，即(1)求該電子元件壽命超出2年概率；(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年概率為多少？第12頁故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”分布.若X~E(λ),則指數(shù)分布“無記憶性”實際上,第13頁【注】指數(shù)分布通慣用于描述對某一事件發(fā)生等候時間,而在離散型分布中,幾何分布用于描述事件A發(fā)生(試驗成功)所進行試驗次數(shù),假如將每次試驗視為經(jīng)歷一個單位時間(離散時間),則直到試驗成功為止,試驗總次數(shù)相當于直到試驗成功所等候時間.在此意義上,指數(shù)分布可視為離散情形下幾何分布在連續(xù)情形下推廣.指數(shù)分布與幾何分布都含有“無記憶性”連續(xù)型離散型第14頁3.正態(tài)分布(亦稱高斯(Gauss)分布)記作X~N(,2).若X概率密度為則稱X服從參數(shù)為,2正態(tài)分布.

為實常數(shù),且

正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多分布之一，它在概率統(tǒng)計中占有尤其主要地位.第15頁正態(tài)概率密度合理性第16頁

正態(tài)分布密度曲線是一條關(guān)于對稱鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”,由此特點知正態(tài)分布描述隨機變量取值中間概率大,兩頭概率很小隨機現(xiàn)象.

正態(tài)分布圖形特點第17頁應(yīng)用背景(可用正態(tài)分布描述實例極多)各種測量誤差；人體生理特征；工廠產(chǎn)品尺寸；農(nóng)作物收獲量；海洋波浪高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生考試成績；若r.v.

X①受大量相互獨立隨機原因影響;②每一原因影響都是微小,無主導原因;③且這些正、負影響能夠疊加,則認為隨機變量X服從正態(tài)分布．第18頁另首先,有些分布(如二項分布、泊松分布)極限分布是正態(tài)分布.所以,不論在實踐中,還是在理論上,正態(tài)分布是概率論中最主要一個分布.二項分布向正態(tài)分布轉(zhuǎn)換第19頁正態(tài)概率密度函數(shù)幾何特征第20頁—位置參數(shù).思索

μ=-2第21頁

—形狀參數(shù).(

大小與曲線陡峭程度成反比)第22頁正態(tài)分布分布函數(shù)問題正態(tài)分布下概率計算問題怎樣處理?此時,原函數(shù)不是初等函數(shù)!第23頁標準正態(tài)分布概率密度表示為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布分布函數(shù)表示為【注】標準正態(tài)分布密度函數(shù)為偶函數(shù).第24頁標準正態(tài)分布圖形第25頁【幾個慣用結(jié)論】對于標準正態(tài)分布分布函數(shù)Φ(x)函數(shù)值，書后附有標準正態(tài)分布表(教材P439).表中只給出了x≥0函數(shù)值.當x<0時，可利用Φ(–x)=1–Φ(x)計算得到.證實第26頁經(jīng)過線性變換將普通正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.此引理處理了普通正態(tài)分布概率計算問題.第27頁證實第28頁第29頁例83原理設(shè)X~N(

,

2),求解【結(jié)論】一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(

-3

,

+3

)概率為0.9