常微分方程12-解的存在唯一性省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

§1.2解存在惟一性對(duì)于給定微分方程，它通解普通有沒(méi)有限多個(gè)，而給定初始條件后，其解有時(shí)惟一，有時(shí)不惟一.給定初始條件微分方程解存在惟一性?(一)它是數(shù)值解和定性分析前提;(二)若實(shí)際問(wèn)題中建立方程模型解不是存在且惟一，該模型就是一個(gè)壞模型.11/27例1:初值問(wèn)題有解:

.它存在區(qū)間為例2:初值問(wèn)題解為:存在區(qū)間為初值問(wèn)題解:

22/27例3:初始值問(wèn)題:有沒(méi)有窮多解,存在區(qū)間為:33/271.2.1例子和思緒例4:證實(shí)初值問(wèn)題解存在且惟一。證：若是初始值問(wèn)題解,兩端積分滿足反之，若一個(gè)連續(xù)函數(shù)滿足則它是解。44/27……取來(lái)證實(shí)結(jié)構(gòu)迭代序列有解．55/27因?yàn)槭諗?，且代入?yàn)證函數(shù)為初值問(wèn)題解,這就得到解存在性。惟一性證實(shí):設(shè)有兩個(gè)解則可微，且滿足這就證實(shí)了惟一性。66/271.2.2存在惟一性定理及其證實(shí)設(shè)在矩形區(qū)域上連續(xù)，假如有常數(shù)L>0,使得對(duì)于全部都有:考慮微分方程:Lipschitz條件:(1.2.3)77/27L稱為L(zhǎng)ipschitz常數(shù)。則稱在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件。注:若關(guān)于y偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件。88/27一解，其中上存在惟證實(shí)：定理1:在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足若（１）將初值問(wèn)題解存在惟一性化為積分方程解存在惟一性．思緒：在區(qū)間Lipschitz條件，則初值問(wèn)題(1.2.3)99/27（２）結(jié)構(gòu)積分方程迭代函數(shù)序列.（４）證實(shí)該序列極限是積分方程解．（５）證實(shí)惟一性．僅考慮上存在.詳細(xì)證實(shí)：(1)等價(jià)積分方程解等價(jià)。初值問(wèn)題與積分方程(1.2.3)（３）證實(shí)該迭代序列收斂．1010/27（2）結(jié)構(gòu)Picard迭代數(shù)列這么就得到一個(gè)連續(xù)函數(shù)列Picard迭代序列。它稱為1111/27（3)Picard序列收斂性引理1.1對(duì)于一切續(xù)且滿足連.則證實(shí):顯然對(duì)一切都有有定義且上滿足:設(shè)在區(qū)間連續(xù),1212/27證實(shí)：考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)預(yù)計(jì)級(jí)數(shù)通項(xiàng):于是一致收斂性與級(jí)數(shù)一致收斂性等價(jià)。引理1.2上一致收斂。函數(shù)列它前項(xiàng)部分和為:1313/27其中第二個(gè)不等式由Lipschitz條件能夠得到，設(shè)：對(duì)有1414/27于是，由數(shù)學(xué)歸納法得，對(duì)于全部自然數(shù)k，有級(jí)數(shù)在上一致收斂。因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂,由Weiestrass判別法知，設(shè):由連續(xù)性和一致收斂性可得:在上連續(xù).1515/27（4）Picard迭代數(shù)列極限函數(shù)就是積分方程連續(xù)解。引理1.3

是積分方程定義于上連續(xù)解。

證實(shí)：由Lipschitz條件以及在上一致收斂，得出函數(shù)序列在一致收斂于函數(shù).上1616/27因而對(duì)取極限，得即這表明是積分方程連續(xù)解。1717/27（5）解惟一性證實(shí)：則引理1.4上連續(xù)解，則必有是積分方程在設(shè)和令1818/271919/27注1:定理中幾何意義:故取.注2:函數(shù)連續(xù)性確保解存在性,Lipschitz條件確保解惟一性．注３:定理結(jié)論只是在局部范圍內(nèi)給出解存在惟一性．可重復(fù)使用該定理，使解范圍延拓到最大區(qū)間．在解有可能跑到之外．2020/27解證實(shí)：取在矩形區(qū)域：連續(xù)，且它關(guān)于y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例５證實(shí)初始值問(wèn)題：計(jì)算2121/27對(duì)等價(jià)積分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值問(wèn)題內(nèi)存在唯一。當(dāng)然也在內(nèi)存在唯一，解2222/27內(nèi)連續(xù)，且對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．因任意．先取使最大．對(duì)于任意正數(shù)函數(shù)在解：解存在唯一區(qū)間．例６討論初始值問(wèn)題2323/27顯然使得最大，且取則由定理得解存在惟一區(qū)間為：再使用依次存在惟一性定理：，以令為區(qū)域中心，討論新初始值問(wèn)題：2424/27當(dāng)時(shí)，取得最大值此時(shí)故取可得到解在