高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1.1.2省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲

第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用1/532/53類型一組數(shù)問題【典例1】(1)(·衡水高二檢測)我們把個(gè)位數(shù)比十位數(shù)小兩位數(shù)稱為“友好兩位數(shù)”,則1,2,3,4四個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)中,“友好兩位數(shù)”有________個(gè).3/53(2)8張卡片上寫著0,1,2,…,7共8個(gè)數(shù)字,取其中三張卡片排放在一起,可組成多少個(gè)不一樣三位數(shù)?4/53【解題指南】(1)要組成一個(gè)“友好兩位數(shù)”可按個(gè)位數(shù)進(jìn)行分類,然后先排個(gè)位數(shù)再排十位數(shù).(2)百位數(shù)字不能為0,同時(shí)每位上數(shù)字不能重復(fù).5/53【解析】(1)當(dāng)個(gè)位數(shù)為1時(shí),十位數(shù)能夠是2,3,4任意一個(gè),有3種選法;當(dāng)個(gè)位數(shù)為2時(shí),十位數(shù)能夠是3,4任意一個(gè),有2種選法;當(dāng)個(gè)位數(shù)為3時(shí),十位數(shù)只能是4,有1種選法;由分類加法計(jì)數(shù)原理,滿足條件“友好兩位數(shù)”有3+2+1=6(個(gè)).答案:66/53(2)先排放百位從1,2,…,7共7個(gè)數(shù)中選一個(gè),有7種選法;再排十位,從除去百位數(shù)外,剩下7個(gè)數(shù)(包含0)中選一個(gè),有7種選法;最終排個(gè)位,從除前兩步選出數(shù)外,剩下6個(gè)數(shù)中選一個(gè),有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共能夠組成7×7×6=294(個(gè))不一樣三位數(shù).7/53【延伸探究】1.典例1(2)條件不變,問可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字三位密碼?【解題指南】明確“三位密碼”各個(gè)數(shù)位上數(shù)字能夠是0.8/53【解析】完成“組成無重復(fù)數(shù)字三位密碼”這件事,能夠分為三步:第一步,選取左邊第一個(gè)位置上數(shù)字,有8種方法;第二步,選取左邊第二個(gè)位置上數(shù)字,有7種方法;第三步,選取左邊第三個(gè)位置上數(shù)字,有6種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,能夠組成無重復(fù)數(shù)字三位密碼共有8×7×6=336(個(gè)).9/532.典例1(2)中將條件“8張卡片上寫著0,1,2,…,7共8個(gè)數(shù)字”,改為“4張卡片正、反面分別寫有0與1,2與3,4與5,6與7”.問可組成多少個(gè)不一樣三位數(shù)?10/53【解析】要組成三位數(shù),依據(jù)百位、十位、個(gè)位應(yīng)分三步:第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù);第二步:十位可放6個(gè)數(shù);第三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).故由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共可組成7×6×4=168(個(gè))不一樣三位數(shù).11/53【方法總結(jié)】數(shù)字問題處理方法及注意事項(xiàng)方法:對(duì)于組數(shù)問題,可從數(shù)位入手,逐位探究可能選取方法,再利用兩個(gè)原理計(jì)算.普通按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先策略分步完成;假如正面分類較多,可采取間接法求解.12/53注意事項(xiàng):處理組數(shù)問題,應(yīng)尤其注意其限制條件,有些條件是隱藏,要善于挖掘,排數(shù)時(shí)要注意特殊位置、特殊元素優(yōu)先標(biāo)準(zhǔn).13/53【賠償訓(xùn)練】用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字能夠組成多少個(gè)按以下要求無重復(fù)數(shù)字?(1)四位密碼.(2)四位數(shù).(3)四位奇數(shù).14/53【解析】(1)完成“組成無重復(fù)數(shù)字四位密碼”這件事,分為四個(gè)步驟:第一步,取左邊第一位上數(shù)字,有5種選取方法;第二步,取左邊第二位上數(shù)字,有4種選取方法;第三步,取左邊第三位上數(shù)字,有3種選取方法;第四步,取左邊第四位上數(shù)字,有2種選取方法.15/53由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,能夠組成不一樣四位密碼共有N=5×4×3×2=120(個(gè)).16/53(2)方法一:完成“組成無重復(fù)數(shù)字四位數(shù)”這件事分為四個(gè)步驟:第一步,從1,2,3,4中選取一個(gè)數(shù)字作千位數(shù)字,有4種選取方法;第二步、第三步、第四步與(1)類似,分別有4,3,2種選取方法.17/53由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,能夠組成不一樣四位數(shù)共有N=4×4×3×2=96(個(gè)).方法二:與第(1)問區(qū)分在于:四位密碼首位能夠是0,而四位數(shù)首位不能夠?yàn)?.所以,只需求首位為0四位密碼有多少個(gè),由(1)總數(shù)減去首位為0個(gè)數(shù)即為所求.18/53當(dāng)首位是0時(shí),第二位有4種選取方法,第三位有3種選取方法,第四位有2種選取方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,首位是0四位密碼共有1×4×3×2=24(個(gè)).故無重復(fù)數(shù)字四位數(shù)共有120-24=96(個(gè)).19/53(3)完成“組成無重復(fù)數(shù)字四位奇數(shù)”這件事,分兩類方案.第一類:這個(gè)四位奇數(shù)個(gè)位數(shù)字是1,分三個(gè)步驟要去完成.第一步,選取千位上數(shù)字,有3種(從2,3,4中選)不一樣選法;20/53第二步,選取百位上數(shù)字,有3種不一樣選法;第三步,選取十位上數(shù)字,有2種不一樣選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,該類中四位奇數(shù)共有1×3×3×2=18(個(gè)).第二類:這個(gè)四位奇數(shù)個(gè)位數(shù)字是3,也是分三個(gè)步驟去完成.21/53詳細(xì)求法與個(gè)位數(shù)字是1時(shí)完全一樣,因而這么奇數(shù)也是18個(gè),由分類加法計(jì)數(shù)原理知,共可組成無重復(fù)數(shù)字四位奇數(shù)18+18=36(個(gè)).22/53類型二涂色問題【典例2】(1)(·臨沂高二檢測)用五種不一樣顏色給圖中標(biāo)有(1),(2),(3),(4)各個(gè)部分涂色,每部分涂一個(gè)顏色,相鄰部分涂不一樣色,則涂色方法共有

(

)A.96種 B.320種C.180種 D.240種23/5324/53(2)如圖,一個(gè)地域分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不一樣著色方法共有__________種.(以數(shù)字作答)25/53【解題指南】(1)先涂區(qū)域(3),再涂其它3個(gè)區(qū)域.(2)以③⑤同色與不一樣色分類討論求解.26/53【解析】(1)選B.分4步:第1步先涂(3)有5種,其余部分都有4種涂法,故總共有N=5×4×4×4=320(種).(2)第1類:當(dāng)③與⑤同色時(shí)有4×3×2×2=48種不一樣涂色方法.27/53第2類:當(dāng)③與⑤不一樣色時(shí),有4×3×2×1×1=24種不一樣涂色方法.故共有48+24=72種不一樣涂色方法.答案:7228/53【方法總結(jié)】涂色問題三種求解方法(1)按區(qū)域不一樣以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),并用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適合用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題,用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.29/53【鞏固訓(xùn)練】如圖所表示4塊試驗(yàn)田,現(xiàn)有4種不一樣作物可供選擇種植,每塊試驗(yàn)田種植一個(gè)作物,相鄰試驗(yàn)田(有公共邊)不能種植同一個(gè)作物,則不一樣種植方法有________種.30/53【解題指南】可分類完成此事件:A,D種相同作物,A,D種不一樣作物兩類.31/53【解析】依題意,可分兩類第一類:若A,D種植同種作物,則A,D有4種不一樣種法,B有3種種植方法,C也有3種種植方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×3=36種種植方法.32/53第二類:若A,D種植不一樣作物,則A有4種種植方法,D有3種種植方法,B有2種種植方法,C有2種種植方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×2×2=48種種植方法.總而言之,由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有N=36+48=84種種植方法.答案:8433/53【賠償訓(xùn)練】如圖所表示,用5種不一樣顏料給4塊圖形(A,B,C,D)涂色,要求共邊兩塊顏色互異,求有多少種不一樣涂色方案.34/53【解析】方法一:按A,C顏色相同或不一樣進(jìn)行分類.若A,C顏色相同,則A有5種涂色方法,B有4種涂色方法,D有4種涂色方法,故共有5×4×4=80(種)涂法.若A,C顏色不一樣,則A有5種涂色方法,C有4種涂色方法,B有3種涂色方法,D有3種涂色方法,故共有5×4×3×3=180(種)涂法.35/53依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有80+180=260(種)不一樣涂色方案.方法二:按涂色種類進(jìn)行分類.第一類:涂4種顏色,分四步,A有5種涂法,B有4種涂法,C有3種涂法,D有2種涂法.故共有5×4×3×2=120(種)涂法.36/53第二類:涂3種顏色,則A,C顏色相同或B,D顏色相同.當(dāng)A,C顏色相同時(shí),A,C有5種涂法,B有4種涂法,D有3種涂法.故共有5×4×3=60(種)涂法.當(dāng)B,D顏色相同時(shí),同理也有60種不一樣涂法.故共有60+60=120(種)涂法.37/53第三類:涂2種顏色,則A,C顏色相同,B,D顏色相同,A,C有5種涂法,B,D有4種涂法.故共有5×4=20(種)涂法.依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有120+120+20=260(種)不一樣涂色方案.38/53類型三簡單選(抽)取問題【典例3】(1)(·鄭州高二檢測)某地政府召集5家企業(yè)責(zé)任人開會(huì),其中甲企業(yè)有2人到會(huì),其余4家企業(yè)各有1人到會(huì),會(huì)上有3人講話,則這3人來自3家不一樣企業(yè)可能情況種數(shù)為(

)A.14

B.16

C.20

D.4839/53(2)(·南昌高二檢測)現(xiàn)準(zhǔn)備將6臺(tái)型號(hào)相同電腦分配給5所小學(xué),其中A,B兩所希望小學(xué)每個(gè)學(xué)校最少2臺(tái),其它小學(xué)允許1臺(tái)也沒有,則不一樣分配方案共有多少種?40/53【解題指南】(1)能夠分成兩類,一類是甲企業(yè)有1人講話另兩個(gè)講話人出自其余4家企業(yè);一類是3人全來自4家企業(yè).(2)以A,B兩所希望小學(xué)所得電腦數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分類求解.41/53【解析】(1)選B.分兩類,第一類:甲企業(yè)有1人講話,有2種情況,另兩個(gè)講話人出自其余4家企業(yè),有6種情況,由分步乘法計(jì)數(shù)原理N1=2×6=12;第二類:3人全來自4家企業(yè),有4種情況.綜上可知,有N=N1+N2=12+4=16(種)情況.42/53(2)依據(jù)題意,①先給A,B兩所希望小學(xué)分配電腦,若每個(gè)學(xué)校2臺(tái),因?yàn)殡娔X型號(hào)相同,故只有1種情況,其次將剩下2臺(tái)電腦分給其它3所小學(xué),若一所小學(xué)2臺(tái),其它沒有,有3種情況,若2所小學(xué)各1臺(tái),其它一所小學(xué)沒有,有3種情況,共1×(3+3)=6種情況.43/53②若A,B兩所希望小學(xué)其中一所得3臺(tái),另一所2臺(tái),有2種情況,其次將剩下1臺(tái)電腦分給其它3所小學(xué),有3種情況,共3×2=6種情況,③若給A,B兩所希望小學(xué)各分配3臺(tái)電腦,有1種情況,④若A,B兩所希望小學(xué)其中一所得4臺(tái),另一所2臺(tái),有2種情況,綜上可得,共6+6+1+2=15種不一樣分配方案.44/53【方法總結(jié)】選(抽)取問題解答策略對(duì)于選(抽)取問題,普通帶有一些限制條件,其解答方法是:(1)當(dāng)數(shù)目不大時(shí),可用枚舉法.為確保不重不漏,可用樹形圖法、框圖法及表格法進(jìn)行枚舉.45/53(2)當(dāng)數(shù)目較大時(shí),符合條件情況較多時(shí),可用間接法計(jì)數(shù).但普通還是依據(jù)選(抽)次序分步,依據(jù)選(抽)元素特點(diǎn)分類,利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理進(jìn)行處理.46/53【鞏固訓(xùn)練】(1)設(shè)某班有男生25名,女生30名.現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽,共有多少種不一樣選法?(2)用三只口袋裝小球,一只裝有5個(gè)白色小球,一只裝有6個(gè)黑色小球,另一只裝有7個(gè)紅色小球,若每次從中取兩個(gè)不一樣顏色小球,共有多少種不一樣取法?47/53【解析】(1)第1步,從25名男生中選出1人,有25種不一樣選法;第2步,從30名女生中選出1人,有30種不一樣選法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有N=30×25=750種不一樣選法.48/53(2)第一類方法:取白球、黑球,共有N1=5×6=30種取法;第二類方法:取黑球、紅球,共有N2=6×7=42