86曲面與空間曲線-qumianjikognjianquxian市公開課特等獎市賽課微課一等獎

§6曲面與空間曲線例1：求與A(2,3,1)和B(4,5,6)等距離點運動規(guī)跡。解：設(shè)M(x,y,z)為動點坐標，動點應(yīng)滿足條件是|AM|=|BM|由距離公式得一.曲面及其方程：1.曲面方程普通概念：而滿足此方程點都在曲面上，則稱此方程為該曲面方程，而曲面稱為此方程‘圖形’。定義：若曲面上點坐標(x,y,z)都滿足方程F(x,y,z)=0，山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第1頁整理得此即所求點規(guī)跡方程，為一平面方程。2.坐標面及與坐標面平行平面方程：①坐標平面xOy方程：z=0②過點（a,b,c)且與xOy面平行平面方程：z=c③坐標面yOz、坐標面zOx以及過（a,b,c)點且分別與之平行平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第2頁3.球面方程：①球面標準方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑球面方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此為一個球心在（-1,1,0)，半徑為2球。球面方程特點：平方項系數(shù)相同；沒有交叉項。②球面普通方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第3頁普通我們將動直線l沿定曲線c平行移動所形成軌跡稱為柱面。其中直線l稱為柱面母線，定曲線c稱為柱面準線。本章中我們只研究母線平行于坐標軸柱面方程。此時有以下結(jié)論：分析：母線平行于坐標軸柱面特點為：平行于某軸，則在其方程中無此坐標項。其幾何意義為：不論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上。若柱面母線平行于z軸，準線c是xOy面上一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面方程為F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸柱面。4.母線平行于坐標軸柱面方程：山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第4頁圓柱面；橢圓柱面；雙曲柱面；拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸情況，其它情況類似。幾個常見柱面：x+y=a平面；山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第5頁4.旋轉(zhuǎn)曲面：普通情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)定直線l旋轉(zhuǎn)一周所成曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線，l稱為其軸。本章中我們只研究繞坐標軸放置曲面。此時有以下結(jié)論：設(shè)yOz平面上有一已知曲線c其方程為f(y,z)=0，將c繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到以z軸為軸放置曲面方程為：山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第6頁同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：同理,以xOy面上曲線f(x,y)=0為母線繞x軸得曲面繞y軸為以xOz面上曲線f(x,z)=0為母線繞x軸得曲面繞z軸得曲面例3求頂點在原點，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為a圓錐面方程。解：將yOz面上直線z=yctg

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面整理后得：其中a=ctg

山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第7頁二.空間曲線及其方程：1.空間曲線普通方程：空間曲線普通可看作兩個曲面交線，若兩個曲面方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則易知其交線c方程為稱此方程組為曲線c普通方程。例4：方程組表示怎樣曲線？解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心單位圓。山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第8頁表示母線平行于Z軸，準線在xoy面上半徑為1上半球面例方程表示怎樣曲線解：

表示中心在原點，半徑為1圓柱面它們交線是xoy面上一個圓，其圓心在，半徑為山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第9頁2.空間曲線參數(shù)方程：方程組稱為空間中曲線參數(shù)方程。設(shè)空間曲線方程假如選定一個適當函數(shù)x=x（x）代入上述方程組并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例假如空間一點M在圓柱面x2+y2=a2上以等角速度繞z周旋轉(zhuǎn)，同時，以等速度v沿平行于Z軸正方向移動，則點M運動軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第10頁螺旋線有一個主要性質(zhì)，當從變到時，Z由變到這說明當轉(zhuǎn)過角時，點沿螺旋線升了高度，即上升高度與轉(zhuǎn)過角度成正比。山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第11頁三.空間曲線在坐標面上投影：在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為一個經(jīng)過曲線L母線平行于z軸柱面，稱為曲線c關(guān)于xOy面投影柱面。此投影柱面與xOy平面交線即為c在xOy平面上投影曲線，簡稱投影，其方程為同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程為和山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第12頁解消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程為3x2+2y2=1例求曲線L：在三個坐標面上投影曲線投影曲線方程投影曲線方程消去x得Z=1-y2投影曲線方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程為3x2-2Z-1=0投影柱面方程為Z=1-y2山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第13頁交線是一條空間曲線例兩個柱面和山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第14頁

例5：求曲線在xOy面上投影方程。

解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程為從而曲線在xOy面上投影方程為山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第15頁四二次曲面經(jīng)過截痕法，了解二次曲面全貌1.橢球面與三個坐標面交線均為橢圓若a=b,則旋轉(zhuǎn)橢球面山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第16頁2單葉雙曲面Z=h截,截痕為一橢圓。山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第17頁x=h，或y=h截,截痕為一雙曲線。2）當時，截痕為一對直線1）當時，曲線為雙曲線，實軸平行與x軸，虛軸平行與z軸，當由零增大到b時，曲線兩半軸縮小至零。3）當時，曲線仍為雙曲線，但實軸平行于z軸，虛軸平行與x軸，當由b增大時，曲線兩半軸也增大。山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第18頁一樣用平行于yoz平面相截時截痕也是雙曲線，可用一樣方法討論。這是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。當a=b時，方程變?yōu)?雙葉雙曲面雙葉雙曲面對稱于坐標原點及三個坐標面Z=h截，截痕為山東水利職業(yè)學院數(shù)理化教研室應(yīng)用數(shù)學》精品課程——電子教案第19頁