備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)考試易錯模型01 全等模型（八大易錯分析+變式訓(xùn)練+易錯題通關(guān)）（原卷版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages2727頁易錯模型01全等模型易錯模型一：角平分線模型角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點”，這個點不是一個點，實際上是指角平分線上的任意一點，或者說是角平分線上的所有點都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個互逆定理，是兩個互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上理解它們的區(qū)別和聯(lián)系。點在角平分線上點到這個叫的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點是否在角平分線上的問題?！疽族e點】發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)鍵字：角平分線，學(xué)會用角平分線的性質(zhì)添加輔助線——過角平分線上的點向兩邊作垂線；例1．如圖，在中，，和的平分線、相交于點，交于點，交于點，若已知周長為，，，則長為（

）A． B． C． D．4例2．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點D，點M，N分別是和上的動點，則的最小值是．

變式1．如圖，在中，平分，點D是的中點，且，連接，，則的度數(shù)為．用含的式子表示）

變式2．如圖中，，分別作的兩個內(nèi)角平分線和，、相交于點，連接，有以下結(jié)論：①；②平分；③；④，其中正確的結(jié)論有．變式3．已知，是的平分線．三角板的直角頂點在射線上移動，(1)在圖1中，三角板的兩直角邊分別與，交于，，求證：；(2)在圖2中，三角板的一條直角邊與交于點，另一條直角邊與的反向延長線交于點，猜想此時（1）中的結(jié)論是否成立，畫出圖形，并說明理由．1．如圖，為的角平分線，且，為延長線上的一點，，過作，為垂足．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④2．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=36°，則∠CAP=．3．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．4．如圖，在中，，的角平分線、相交于點O，求證：．

易錯模型二：垂直模型【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】【易錯點】善于發(fā)現(xiàn)兩個有關(guān)聯(lián)的直角，利用直角三角形的兩個銳角互余的特征來做；例3．如圖，直線上有三個正方形，若，的面積分別為5和11，則的面積為（

）A．13 B．16 C．36 D．55例4．如圖，為等腰直角三角形，若，，則點的坐標(biāo)為．變式1．如圖，在中，，，分別過點，作經(jīng)過點的直線的垂線段，，若，，則的長為．變式2．如圖，是等腰直角三角形，直角頂點與坐標(biāo)原點重合，若點B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點A的反比例函數(shù)表達式為．變式3．綜合與實踐：如圖1，已知中，，，、分別與過點的直線垂直，且垂足分別為，．(1)猜想線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點的直線繞點旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請說明理由；1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm2．如圖，正方形的邊長為5，點A的坐標(biāo)為，點B在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象過點C，則k的值為．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，B為y軸正半軸上一點，D在第四象限，且，平分，．(1)直接寫出B點坐標(biāo)；(2)求證：；(3)求四邊形的面積．4．已知，射線于點A，，等腰直角的頂點D，E分別在射線和上，，，過點作于點，延長交射線于點．

(1)如圖，點，在線段，上．①若，，求的度數(shù)；②證明：；(2)若，，請直接寫出線段BE的長．易錯模型三：半角模型【模型分析】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【易錯點】當(dāng)出現(xiàn)45°角和60°角時，要聯(lián)系到半角模型；例5．如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22例6．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點，且∠EDF＝45°，則DE的長為．變式1如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長為．變式2．在中，，點在邊上，．若，則的長為．變式3．（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常常會想到：把ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類比探究如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，請直接寫出線段BD的長．

1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④2．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為．3．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△AC，連接E．(1)當(dāng)∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時，求證：DE＝E；(2)當(dāng)DE＝E時，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出，并說明理由．(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△EC是等腰直角三角形？（直接寫出結(jié)論，不必證明）4．如圖，四邊形是正方形，E是邊的中點，，且交正方形外角的平分線于點F．(1)求證：；(2)連接，則的值為__________；(3)連接，設(shè)與交于點H，連接，探究之間的關(guān)系．易錯模型四：一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】例7．如圖，點P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．例8．小李用7塊長為，寬為的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板點在上，點和分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為．變式1．如圖，在四邊形中，，，點是上一點，連接、，若，，則的長為．

變式2．如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點A，過點B作于點E，過點C作于點F．若，則．

變式3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于、兩點，若是等腰直角三角形，求點的坐標(biāo)．

1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，且點C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長為．3．如圖1，在中，，,直線經(jīng)過邊．將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，過點A作于點D，過點B作于點E．

(1)當(dāng)繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，①求證：；②求證：；(2)當(dāng)繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，（1）中的結(jié)論②還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．4．在中，，，直線經(jīng)過點，且于，于．

(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1位置時，求證：；(2)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試問：、、有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，、、之間的等量關(guān)系是___（直接寫出答案，不需證明）．易錯模型五：手拉手模型【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”．對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）例9．如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠BAC=，D為線段BC邊上的動點，以BD為邊向上作等邊BED，連接CE、AD，則AD+CE的最小值為（

）

A．4 B．2+6 C．+3 D．6例10．如圖，C為線段上一動點（不與點A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點O，與交于點P，與交于點Q，連接．以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有．（把你認為正確的序號都填上）變式1．如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點A在的斜邊DE上，連接BD，有下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（填序號）變式2．已知：如圖，正方形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，E、F分別是邊AD、CD上的點，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，連接EF，則EF的長為．變式3．如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點重合在點處，，，連接、，點恰好在線段上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想與的位置關(guān)系，并說明理由．1．如圖，點C是線段AE上一動點（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，有以下5個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，，均是等邊三角形，點A，C，B在同一條直線上，且，分別與，交于點M，N，連結(jié)．則下列結(jié)論：（1）；（2）為等邊三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正確的有（

）3．如圖，已知四邊形是正方形，對角線相交于O，設(shè)E、F分別是上的點，若，，求四邊形的面積．4．如圖，已知是等邊三角形，過點作（），且，連接、．

(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)點在腰上，連接交于點，若，求證：．易錯模型六：旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】例11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結(jié)CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連結(jié)DE交BC于點F，連接BE．當(dāng)AD＝BF時，∠BEF的度數(shù)是（）

A．45° B．60° C．62.5° D．67.5°例12．如圖，等邊中，，則以線段為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為．變式1．如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=4，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF，則線段OF長的最小值為變式2．如圖，在四邊形中，于，則的長為變式3．如圖1，等邊中，分別交、于點D、E．(1)求證：是等邊三角形；(2)將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點F．①如圖2，當(dāng)時，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當(dāng)B，D，E三點共線時，求的長．1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，如果AP=3cm，那么PP′的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則度．3．等腰中，，．

(1)如圖1，，是等腰斜邊上兩動點，且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．①求證：．②當(dāng)，時，求的長；(2)如圖2，點是等腰斜邊所在直線上的一動點，連接，以點為直角頂點作等腰，當(dāng)，時，則的長__________．（直接給出答案）．4．已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點F．

(1)如圖1，可得___________；若，則___________．(2)如圖2，若，則___________．（用含a的式子表示）(3)設(shè)，將圖2中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在中的一條線段上），如圖3．試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并予以說明．易錯模型七：倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。【常見模型及證法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.例13．在中，，中線，則邊的取值范圍是（）A． B． C． D．例14、如圖，在中，為邊的中線，E為上一點，連接并延長交于點F，若，，，則的長為．變式1．如圖，在，點是上的一點，連接，平分，交于中點，連接，若，則．

變式2．如圖，中，點D在上，，點E是的中點，連接，則．變式3．（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點D是的中點，，交于點E，交于點F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點F，點E是的中點，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．1．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．32．如圖，在中，，，求邊上中線的范圍為．3．如圖，為中線，點在上，交于點，．求證：．4．已知中，(1)如圖1，點E為的中點，連接并延長到點F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是．(2)如圖2，若，點E為邊上一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．(3)如圖3，點D在內(nèi)部，且滿足，點M在的延長線上，連接交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．易錯模型八：截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適