2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測思想03 數(shù)形結(jié)合思想（講）（解析）

思想03數(shù)形結(jié)合思想

釬布考

1.（2016?全國高考真題（文））函數(shù)尸"-e3在［-2,2］的圖像大致為（）

【解析】

函數(shù)￡々）=2*2-6岡在［_2,2］上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，因?yàn)?'（2）=8—1,0<8—/<1，所

以排除4B選項(xiàng)；當(dāng)xe［0,2］時(shí),y，=4x-e”有零點(diǎn)，設(shè)為小，當(dāng)％c（0/。）時(shí),“乃為減函數(shù)，當(dāng)xe（x0,2）

時(shí)，f（x）為增函數(shù).故選D

2.（2017?全國高考真題（理））在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD

相切的圓上.若AP=/1AB+〃AD，則；1+〃的最大值為（）

A.3B.272C.75D.2

【答案】A

【解析】

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（0,l）,B（0,0）,C（2,0）,r>（2,l）,P（x,y）.

2

易得圓的半徑r=7不，即圓C的方程是（x—2）一+丁

uuuUUUUUU1

AP=（x,y-l）,AB=（0-l）,A￡>=（2,0）,若滿足AP=/L43+〃A￡>，

x=2uxx

則《，〃=一,4=1-y,所以4+/z=—y+1,

y-\=-A22

設(shè)2=1—丁+1,即:y+l-z=O,點(diǎn)P（x,y）在圓（》一2），;/=1

|2-z|2

x-L<

所以圓心（2,0）到直線一一丁+1—2=0的距離1〈廠，即n一—忑,解得lWz43,

2J-+1-+1

4

所以Z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故選A.

x+2y-4<0

3.（2014?浙江高考真題（理））當(dāng)實(shí)數(shù)滿足｛x-y—1W0時(shí),l〈or+y?4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取

x>l

值范圍是.

'3

【答案】

【解析】

作出不等式組表示的區(qū)域如下圖所示的陰影部分區(qū)域,

由圖可知：不等式l4ax+y44在陰影部分區(qū)域恒成立，令2=女+^可知。20，因?yàn)楫?dāng)。之0,且

當(dāng)x=l,y=O時(shí)，z=ax+y=a+O=a<（）不能使得1<ar+y<4恒成立；由aNO得z=ax+y在點(diǎn)

（1,0）處取得最小值，即Zmm=ox+y=a,在點(diǎn)（2,1）處取得最大值，即=or+y=2。+1,所以有

3

｛篇“解得1。、.

4.（2017?全國高考真題（文））四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC^-AD,ABAD=NABC=90°.

2

（1）證明：直線8C//平面PAD;

（2）若△PC。面積為2療，求四棱錐P-ABC。的體積.

【答案】（I）見解析（II）

【解析】

（1）在平面48CO內(nèi)，因?yàn)镹B/O=N/8C=90°，所以8c〃4D

又BC<2平面PAD、ADu平面PAD,故BCH平面PAD.

（2）取4。的中點(diǎn)仍，連接

由48=BC=???力。及8C〃N48C=90”,

2

得四邊形48CM為正方形，則CA/J.力￡）..

因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面/8CO，平面P/OCI平面ABCD=AD，

所以PM1尸MJ■底面ABCD.

因?yàn)镃A/u底面488，所以PMJ.CA/,

設(shè)8C=x，則CA/=x,CO=&x,PA/=JIx,PC=P￡>=2x，取C。的中點(diǎn)N，連接PN，貝U

PN上CD,所以PN=5&X，

2

因?yàn)锳PCQ的面積為2J7，所以L五xx史~=2出，

22

解得x=—2(舍去)，x=2.

于是AB=BC=2,AD=4,PM=26.

所以四棱錐P力6co的體積/=￡x2(2+4)x2^=4^

32

5.(2013?浙江高考真題(文))(2013?浙江)已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0),焦點(diǎn)F(0,1)

(I)求拋物線C的方程；

(II)過F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).若直線OA、OB分別交直線1：y=x-2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|

的最小值.

V

(2)當(dāng)t=-爭寸，|MN|的最小值是2普

【解析】

(I)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0)則賢1,解得p=2,故拋物線C的方程為x?=4y

(II)設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2).直線AB的方程為y=kx+l

fy=kx+l

由《9消去y,整理得x2-4kx-4=0

J4y

=42

所以X|+X2=4k,X|X2=-4,從而有|xi-(町+乂2)2-4X[X2Vk+l

n2xi

--X2Xi--~S=-^-

由，X[解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為XM=----

x.-y._±14-X]

y=x-2X14

同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為XN=J&-

qx2

|-8^心+]

所以|MN|二技M-XN|=A/^&---4--1=8費(fèi)-----

4X4x-4(x+x)+1614k-3|

12XjX2t2

令4k-3=t,i不為0,則k=±3

4

一、考向分析:

二、考向解讀

考向一、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍

典例1.（福建省福州市2019屆高三上學(xué)期抽測）如圖，函數(shù)〃》）的圖像為兩條射線C4CB組成的折

線，如果不等式/?（為2/一》一￡1的解集中有且僅有1個(gè)整數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)

A.{a|-2<a<-1]B.{a|-2<a<-1}

C.{a|-2<a<2}D.[a\a>-2}

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可知"4=一，

J+2,x>0

不等式f(x)-x-a等價(jià)于a^x-f(x),

令g(x)=x-x-f^x)

_(x2-3x-2,x<0

Ix2-2zx>0

又g(0)=-2,g(l)=-l,g(-l)=2,

?,?要使不等式的解集中有且僅有1個(gè)整數(shù)，

則-2WK1,

即a取值范圍是{a|-2WHV1}.

故選：B.

典例2.(2019?寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高三月考(理))已知當(dāng)0<xW2時(shí)，不等式勁上<2a+l-,以恒

x2

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（)

A.（In2+l,+oo）B.（In2-1,+oo）c.（—,+00）D.（In2-1,0）

2

【答案】B

【解析】

不等式生/<2。+1一；蘇，可看作函數(shù)〃力=為竺，g（x）=_ga（x_4）+i,在區(qū)間（0,2］上,

/（%）的圖像在g（%）圖像下方.f（x）=2（1—?”）,所以"》）在（0同上遞增，在（e,+8）上遞減，所以

“X）在x=e時(shí)取得極大值也即是最大值，且x>l時(shí)，〃x）>0.g（x）圖像過點(diǎn)

（4,1）,/（2）=In2J（2）=上詈，所以過8（2,匕詈）的〃x）的切線方程為

y-ln2=上臂（X-2）,點(diǎn)A（4,1）在切線上,g（x）也過點(diǎn)A（4,l）.畫出/（x）,g（x）在區(qū)間（0,2］上的

圖像如下圖所示，由圖可知，一<。<&8=上詈，解得a>ln2—1.

考向二、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍

ln（x+l）,x>0

典例3.（2018?山東高考模擬（文））已知函數(shù)/（X）='1，若m<〃，且/（/〃）=/（〃）,

-x+l,x<0

12

則〃一機(jī)的取值范圍為（）

A.[3-21n2,2)B,[3-21n2,2]C.[f-1,2)D.[e-1,2]

【答案】A

【解析】

作出函數(shù)/(x)的圖象，如圖所示，若加<〃，且外加)=/(〃)，

則當(dāng)ln(x+l)=l時(shí)，得x+l=e,即x=e—1,

則滿足。<〃<e-l,-2<m<0,

JJiJln(n+l)=—m+1,即m=ln(〃+l)-2,則〃一加=〃+2—21ri(〃+l),

2

9n_i

設(shè)/z(/z)=〃+2-21n(〃+l),0v力We-l,則”(〃)=1+----=---

當(dāng)〃(九)>0,解得當(dāng)解得0v〃vl,

當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)力(〃)取得最小值"⑴=l+2—21n(l+l)=3—21n2,

當(dāng)〃=0時(shí)，〃(0)=2—21nl=2；

當(dāng)72=e-l時(shí)，=l+2-21n(e-l+l)=e—1<2,

所以3-2如2〈人〃)<2,即〃—〃7的取值范圍是[3—21n2,2),故選A.

{cr—ab,aWb,

典例4.對于實(shí)數(shù)。和協(xié)定義運(yùn)算：〃坨=「設(shè)氏0=(21-1)*(工一1),且關(guān)于x的

[b—ab,a>b.

方程yU)=m(〃7￡R)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根為，X2,X3,則為12尤3的取值范圍是.

【答案】―心，0

X-x,x<0,

【解析】由定義可知，Ax)=、作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.

[―x—x,%>0.

由圖可知，當(dāng)0〈水;時(shí)，f(x)=w(0dR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根小，xz,的

11X-

不妨設(shè)汨<X2〈X3,易知上2>0,且*2+X3=2X]=l,，起水].令，4

、求0,

解得X」沙或k(舍去).?/g〈x】<0,〈丁丁丁<0.,答案0

4’24m41J6Pk16

考向三、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系

典例5.函數(shù)/(x)=/^乂的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()

(x+c)~

(A)々>0,b>0,c<0(B)。<0,Z?>0,c>0

(C)Q<0,b>0,c<0(D)a<0,b<0,c<0

【答案】C

【解析】由/(x)='W、及圖象可知，XX-C,-c>0,則c<0；當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=4>0,

(x+c)c

b

所以/?>0；當(dāng)y=0,ax+b-0.所以x=——>0,所以。<0.故a<0,b>0,c<0,選C.

a

考向四、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式

典例6.(上海市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期檢測)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同同一事物從不同

角度看，我們會(huì)有不同的認(rèn)識(shí).請解決以下問題：設(shè)函數(shù)f(x)=ajc2+(2b+\)x-a-2(a,Z?eR,aW0)在[3,4]

至少有一個(gè)零點(diǎn)，則標(biāo)+從的最小值為

【答案】上

100

【解析】

把等式看成關(guān)于a,b的直線方程：(/-1)。+2功+『2=0,

由于直線上一點(diǎn)(a，b)到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離,

lx-2l

即2

1)2+(2x)2

所以"2+/N(常1

+4)2，

x-2

'：x-2+----在［3,4］是減函數(shù)，

x-2

55

.*?2H—(］―2H-----<1+5；

2x—2

95

即一金-2+----<6；

2x—2

____i____>_L

故(*-2+，+4)2一10°；

x-2

23

當(dāng)x=3,a-----,b—----時(shí)取等號(hào),

2550

故cr+b1的最小值為---.

100

故答案為：---

100

典例7.(湖北省黃岡市2019屆高三元月調(diào)研)關(guān)于*的實(shí)系數(shù)方程必+ax+b0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi),

另一個(gè)根在(1,2)內(nèi)，則a+2b—3的值域?yàn)椤?/p>

【答案】(-5,-2)

【解析】

令f(x)=x2+ax+

由方程必+。*+%=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，

另一個(gè)根在(L2)內(nèi)，

'f(0)=b>0

則有(〃1)=l+a+b<0,畫出(a,b)的區(qū)域,

/(2)=4+2a+6>0

如圖所示，△ABC的區(qū)域(不含邊界).

其中，4(-1,0)、8(—2,0)、C(-3,2)，

令z=a+2b-3，

平移z=a+2b-3，

當(dāng)a=-2,b=0時(shí)，Z=(-2)-3=-5>取得最小值，

當(dāng)Q=-3,b=2時(shí)，Z=(-3)+2x2-3=-2.取得最大值；

故Q+26-3的值域?yàn)?一5,—2)；

故答案為(一5,-2).

考向五、構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題

典例8.(2019?北京高三月考(理))如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,E,尸分別是邊AB,CO的

中點(diǎn)，現(xiàn)將AABC沿著對角線AC翻折，則直線EF與平面ACD所成角的正切值最大值為()

B

A.72B.—C.—D.—

332

【答案】D

【解析】

如圖，

以AC的中點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角B-AC-O為6,可證NBQD=6，設(shè)

棱形的邊長為4,則A（0,—2,0）,5（273cos^,0,273sin0）,E（V3cos^,-1,73sin,C（0,2,0）,

O（260,0）,F（^,l,0）

.1,EE=（Gcose-6,-2,￡sin6）

易知平面ACO的法向量”=（0,0,1）

設(shè)直線石廠與平面ACO所成角為a,則

（\n-FE\}3sin2^3sin2^3（l-cos2^）

MMq3（cos^-l）2+4+3sin2010-6cos62（5—3cos6）

i_x2/、

令X€（-U）

3X2—10X+3(3x-l)(x-3)

(3x-5『(3x-5)2

則/'(x)>0時(shí)一1<x<；即/(x)在(一1,上單調(diào)遞增；

/'(x)<0時(shí)g<x<l即/(x)在匕單調(diào)遞減:

sin2a_1

tan2a]

/maxcos2a2

V2

.?.(tana)

2

故選：D

典例9.(福建省泉州市2019屆高三1月質(zhì)檢)類比圓的內(nèi)接四邊形的概念，可得球的內(nèi)接四面體的概

念.已知球。的一個(gè)內(nèi)接四面體4BCD中，4BJ.BC，BD過球心0,若該四面體的體積為1，且4B+BC=2,

則球0的表面積的最小值為.

【答案】387r

【解析】

設(shè)他結(jié)合體積為時(shí),昨申=故”島所以

=X,BC=2-X.B0=R1%(2-01,

00'=i/i=^―,所以BO'=^x2+(2-x)2,結(jié)合

8。,2+。。，2=5。2,建立方程,得到4#=品6+2Tzi+4,令

/i(x)=2T2-4x+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知以?在(0,1)遞減,(1,2)遞增

令r(x)=，，4n)=必(2-的2,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,以力在(0,1)遞增,在(1,2)遞減,而r(x)

始終遞減，故4R2在(0,1)遞減,在(1,2)遞增，故當(dāng)竄=1,4R2取到最小值為38

所以面積最小值為387r

考向六、構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題

典例10.(2018屆云南省昆明市第一中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)=3X+CO5GX)-11,若兩個(gè)正數(shù)

a，b滿足f(2a+b)<1,則震的取值范圍是()

A.(0$B.仔+8)C.(谷)D.(-oo,i)u(1,+oo)

【答案】C

【解析】由/1(X)=3x+cos(；；x)-11可得，f'(x)=3--5in(-x)，

即廣(x)>0對xeR恒成立，所以〃戈)在實(shí)數(shù)R上單調(diào)遞增.

因?yàn)?'(4)=3x4+85二—11=1，由f(2a+b)<1可得/'(2a+b)<f(4),

2

(2a+&<4

由題意可得Q>0，畫出Q、b的可行域，

b>0

則震可看作區(qū)域內(nèi)點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)P(—2,—1)的斜率.

4-(-1)_5

直線2a+b=4與橫軸交于點(diǎn)A(2,0)，與縱軸交于點(diǎn)8(0,4),又因?yàn)橐?=學(xué)”=三，kAC

2-(-2)40-(-2)-2

所以以？e(；,：),

故選C.

典例11.(上海市2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期檢測)如圖，已知四面體ABC。中，DA=DBDC=3五

且。A=O8=OC兩兩互相垂直，點(diǎn)。是AABC的中心.

(1)過。作OEL4),求AOEO繞直線。。旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；

(2)將△ZXO繞直線CO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線D4與直線BC所成角記為8,求cos。的

取值范圍.

【答案】(1)逑乃：(2)0<cos^<—,

93

【解析】

(I)過E作經(jīng)計(jì)算得。0=指，04=26，OE=2,由此得后”=氈，

3

所以ADEO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積V=；萬(竽)-V6=坐■兀.

(2)過。作OGAC交AB于G，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。尸為x軸，0G為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,。痣),y=f(^-x),c(百3,0),

設(shè)A(x,y,0),則BC=(373,-3,0),AD=(-x,-y,6)，所以cos0=由罩,

6V2

在xOy平面上，點(diǎn)A的軌跡方程為x2+y2=U,

令t=6x+丫,將/=Gr+y看作直線y=一Gx+t,

則直線廣一Jix+t與圓x2+y2=12有公共點(diǎn),

則。=也23

2

所以于是

3

考向七、構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)

典例12.(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2019屆高三上期末)已知函數(shù)

f(X)=S3X3~x2~3x+2x~5,則函數(shù)y=/6?)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

(-log3(x+4),x>5

A.6B.7C.9D.10

【答案】B

【解析】

當(dāng)T<5時(shí)，f'(x)=x2-2x-3=(x+l)(x-3)，

據(jù)此可得函數(shù)在區(qū)間(一8,-1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(—1,3)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3,5)上單調(diào)遞增,

由函數(shù)的解析式易知函數(shù)在區(qū)間(5,+8)上單調(diào)遞減，

繪制函數(shù)圖像如圖所示，

注意到f(-3)<0,/(-2)>0/(0)>0/(1)<0,/(4)<0/(5)>0.

故方程r(t)=0的解：“e(-3,-2),t2e(0,l),t3e(4,5)，

則原問題轉(zhuǎn)化為求方程rCr)=ti(i=1,2,3)時(shí)解的個(gè)數(shù)之和,

由函數(shù)圖像易知滿足題意的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7個(gè).

本題選擇8選項(xiàng).

考向八、研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等

典例13.(浙江省2019屆高考模擬卷(二))函數(shù)y=(cos2x)?ln|x|的圖像可能是()

【答案】A

【解析】

由題意得函數(shù)f(x)=(cos2x)?ln|x|的定義域?yàn)?-8,0)u(0,+co),

x)=[cos(-2x)]?ln|-x|=(cos2x)?ln|x|=f(x)?

函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，

???函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C,D.

又當(dāng)X6(0,1)時(shí)，/(X)<0.

因此可排除B.

故選A.

點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域,

判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱

性.(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

典例14.如圖，長方形43C。的邊A5=2,3C=1,。是A3的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC,CD與D4

運(yùn)動(dòng)，記NBOP=x.將動(dòng)產(chǎn)到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則y=/(x)的圖像大致為

()

【答案】B

【解析】由已知得，當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即OKxW工時(shí)，PA+PB=Vtan2x+4+tanx；當(dāng)

4

點(diǎn)尸在CD邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即工包,X。巳時(shí)，PA+PB=,(——―1)2+1+.(―+1)2+1,當(dāng)

442\tanxVtanx

龍=工時(shí)，PA+PB=20；當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即至萬時(shí)，PA+PB=y/tan2x+4-tanx,

24

從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程可以看出，軌跡關(guān)于直線％=生對稱，且/(?)>/(]),且軌跡非線型，故選B.

考向九、數(shù)形結(jié)合，根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)或解不等式

3

典例15.(2019?河南省魯山縣第一高級中學(xué)高一月考)若關(guān)于x的不等式4"—在

上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.Ri]氏N，；[C.g]D.

L4JI4」|_4JI4」

【答案】A

【解析】

由題意得4'--Wlog,x在xG(0,1上恒成立，

2I2」

(113

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)丫=4'-5的圖象不在y=log.x圖象的上方，

31

由圖知：當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)y=4"—5(0<%?5)的圖象在y=log.x圖象的上方;

111

當(dāng)OVaVl時(shí)，log2>-,解得一.

6a24

故選：A.

典例16.(2019?敦煌中學(xué)高考模擬(文))已知奇函數(shù)/(x)在xNO時(shí)的圖象如圖所示，則不等式

4(x)<0的解集為()

A.(1,2)B.(-2,-1)u(l,2)c.(-2,-1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】

Vxf(x)V0則：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0,結(jié)合函數(shù)的圖象可得，l<x<2,當(dāng)xVO時(shí)，f(x)>0,

根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，-2VxVT,.?.不等式xf(x)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).故

答案為(-2,-1)U(1,2).

1.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:

一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象

來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)：二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，

形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí);要遵循三個(gè)原則：

（1）等價(jià)性原則.在數(shù)形結(jié).合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.有

時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要

注意其帶來的負(fù)面效應(yīng).

（2）雙方性原則.既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分

析容易出錯(cuò).

（3）簡單性原則.不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值

范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線.

3.數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下六個(gè)?？键c(diǎn)

（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；

（2）函數(shù)及其圖象；

（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；

（5）對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；

（6）對于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)

鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用.

4.數(shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式（或向量的模、復(fù)數(shù)

的模）；點(diǎn)到直線的距離公式等.

5.數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇

特功效，這就要求我們在平時(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.具體操作時(shí)，應(yīng)注意以

下幾點(diǎn)：

（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；

（2）用圖象法討.論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首

先.要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)

函數(shù)的圖象，由圖求解；

（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理

論證.

典例17.（2019.夏津第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)/（x）是定義在［T,0）D（0,4］上的奇函數(shù)，當(dāng)

xe(O,4]時(shí)，的圖象如圖所示，那么滿足不等式/(x)N3'—1的x的取值范圍是().

A.[-1,-2][2,1]B.[-A-2][0,1]

C.[T-2][2,4]D.[-1,0)[2,4]

【答案】B

【解析】

Q

/(X)為[T,0)u(0,4]上的奇函數(shù)，所以如圖，畫出/(X)在[-4,0)的圖象，得點(diǎn)(一2,-1)、點(diǎn)(1.2)

在，(x)上，

畫出y=3'-l的圖象，得到其漸近線為丁=-1,且在第一象限與的圖象交點(diǎn)為(L2),要解不等

式則結(jié)合圖象，需f(x)的圖象在y=3,-1圖象的上方，從而解得:XG[-4,-2]U[0,1].

故選：B.

典例18.(2019?甘肅高考模擬(文))定義在R上的偶函數(shù)Ax)滿足/(x-D=/(x+l),且當(dāng)

xef-1,0］時(shí)，/(x)=%2,函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=lgx,則函數(shù)

〃(x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

由于/(x—l)=/(x+l),所以，函數(shù)y=/(x)的周期為2,且函數(shù)y=/(無)為偶函數(shù)，

由〃(力=0,得出/(x)=g(x),問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),作出

函數(shù)y=與函數(shù)N=g(x)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，00(x)Wl,當(dāng)％>10時(shí),g(x)=lgx>l,

則函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)在(10,+oo)上沒有交點(diǎn)，

結(jié)合圖像可知，函數(shù)，=/(")與函數(shù)，=8(力圖象共有11個(gè)交點(diǎn)，故選：C.

m

典例19.(2019?全國高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)/(x)=xe'—/nr+5(e為自然對數(shù)的底數(shù))在

(0,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是()

A.(0,e)B.(0,2e)C.(e,+oo)D.(2e,+oo)

【答案】D

【解析】

jrimI

由/(%)=xex-=0得xe"=mx---=m(x——),

222

當(dāng)X=L時(shí)，方程不成立，即XX4，

22

xex

則機(jī)=-T,

h(x)=----/八口1、

設(shè)1(%>0且不。不),

x——2

—cx(x-1)(2尤+1)

???x>0且xw,，...由〃(x)=0得X=l,

2

當(dāng)x>l時(shí)，A'(x)>0,函數(shù)為增函數(shù)，

當(dāng)0<x<l且xwg時(shí)，A'(x)<0,函數(shù)為減函數(shù)，

則當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得極小值，極小值為//(D=2e,

當(dāng)0<x<，時(shí)，〃(x)<0,且單調(diào)遞減，作出函數(shù)〃(x)的圖象如圖:

2

要使機(jī)=-T有兩個(gè)不同的根,

X——

則〃?>2e即可,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2e,T8),

=mx--=m(x--),

22

設(shè)g(尤)=xe',/i(x)=m(x--),

g'(x)=ex+xex=(x+l)ex,當(dāng)尤>0時(shí)，g'(x)>0,則g(x)為增函數(shù)，

設(shè)=-與g(x)=xe",相切時(shí)的切點(diǎn)為(a,ae"),切線斜率&=(。+l)e",

則切線方程為y-aea=(a+l)ea(x-a),

當(dāng)切線過(L,0)時(shí)，-aea=(a+1)ea(--a),

22

IlIJ—a=—ciH---—a，即2a2—a—1=0，得a=l或a=—(舍)，則切線斜率攵=(l+l)e=2e,

222

要使g(x)與h{x)在(0,+oo)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則機(jī)＞2e,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2e,+R).

典例20.(2018屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高三2月聯(lián)考)

2x+y>2

尸(乂))滿足｛%-丁一140,則/+尸的最小值為.

x+2y<4

4

【答案】-

5

X2+y2的表示可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，其最小值顯然是原點(diǎn)到直線AC距離的平方:

0+0-2?4

,4+1J5

4

故答案為