數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入公開課課件

門吉一、數(shù)的發(fā)展史被“數(shù)”出來的自然數(shù)遠(yuǎn)古的人類，為了統(tǒng)計(jì)捕獲的野獸和采集的野果，用劃痕、石子、結(jié)繩記個(gè)數(shù)，歷經(jīng)漫長的歲月，創(chuàng)造了自然數(shù)1、2、3、4、5、?自然數(shù)是現(xiàn)實(shí)世界最基本的數(shù)量，是全部數(shù)學(xué)的發(fā)源地．古代印度人最早使用了“0”.被“分”出來的分?jǐn)?shù)隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示整數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的.如果分配獵獲物時(shí)，2個(gè)人分1件東西，每個(gè)人應(yīng)該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了.分?jǐn)?shù)的引入,解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾.被“欠”出來的負(fù)數(shù)為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)法的需要，人類引進(jìn)了負(fù)數(shù)．負(fù)數(shù)概念最早產(chǎn)生于我國，東漢初期的“九章算術(shù)”中就有負(fù)數(shù)的說法．公元3世紀(jì)，劉徽在注解“九章算術(shù)”時(shí)，明確定義了正負(fù)數(shù)：“兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”．不僅如此，劉徽還給出了正負(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則．千年之后，負(fù)數(shù)概念才經(jīng)由阿拉伯傳人歐洲。負(fù)數(shù)的引入，解決了在數(shù)集中不夠減的矛盾.被“推”出來的無理數(shù)2500年古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為,世間任何數(shù)都可以用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示,并將此作為他們的一條信條.有一天,這個(gè)學(xué)派中的一個(gè)成員希伯斯突然發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對(duì)角線是個(gè)奇怪的數(shù),于是努力研究,終于證明出它不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示.但這打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條,引起了數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)，進(jìn)而建立了無理數(shù)，擴(kuò)大了數(shù)域，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。由于希伯斯堅(jiān)持真理，他被扔進(jìn)大海，為此獻(xiàn)出了年輕的生命。無理數(shù)的引入解決了開方開不盡的矛盾.自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)x

3

2在有理數(shù)集中方程x2

2

0

有解嗎?03

:47可以發(fā)現(xiàn)數(shù)系的每一次擴(kuò)充，解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能實(shí)施的矛盾，且原數(shù)集中的運(yùn)算規(guī)則在新數(shù)集中得到了保留減加實(shí)數(shù)除乘解方程x

2

1,x

？我們發(fā)現(xiàn)此方程在實(shí)數(shù)范圍類無解，說明現(xiàn)有的數(shù)集不能滿足我們的需求，那么我們必須把數(shù)集進(jìn)一步擴(kuò)充。03

:47問題解決:為了解決負(fù)數(shù)開平方問題，數(shù)學(xué)家大膽引入一個(gè)新數(shù)i

，把i叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：i

2

1

；實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算,在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立.03

:47a

bi動(dòng)動(dòng)手下列這些數(shù)與虛數(shù)單位i經(jīng)過了哪些運(yùn)算？2

i，

2i，(2

3)i，

2

3i，2

3, 2

303

:47定義：把形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)（a,b是實(shí)數(shù)）(a

R,

b

R)虛數(shù)單位復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)全體組成的集合叫復(fù)數(shù)集，記作：Cz

a

bi實(shí)部虛部03

:47自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)？負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)虛數(shù)03

:47實(shí)部

虛部其中i稱為虛數(shù)單位。討論觀察復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的分類？z

a

bi(a

R,

b

R)當(dāng)a=_

_0_且b=_

_0_

_時(shí)，則z=0當(dāng)b=_

_0_時(shí)，則z為實(shí)數(shù)當(dāng)b

_≠_0_時(shí)，則z為虛數(shù)當(dāng)a=_

_0_且b

_≠_0_時(shí)，則z為純虛數(shù)03

:47判斷1、若a=0,則z=a+bi(a∈R、b∈R)為純虛數(shù).（假）2、若z=a+bi

(a

∈

R、b

∈

R)為純虛數(shù),則a=0.

（真）故a=0是z=a+bi

(a

∈

R、b

∈

R)為純虛數(shù)的條件.必要不充分03

:47思

考03

:47復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間有什么關(guān)系？1、復(fù)數(shù)z=a+bi

實(shí)數(shù)(b

0)

純虛數(shù)(a

0，b

0)

虛數(shù)(b

0)

非純虛數(shù)(a

0，b

0)復(fù)數(shù)的分類純虛數(shù)集2.復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系虛數(shù)集復(fù)數(shù)集C實(shí)數(shù)集R03

:47想一想03

:47如果兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，那么它們應(yīng)滿足什么條件呢？如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即▲(a

,

b,

c,

d

R)a

bi

c

di

a

c

b

d

復(fù)數(shù)相等知新03

:47兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。思考03

:47

a

0若a

bi

0(a、b

R)

b

01.若2-3i=a-3i,求實(shí)數(shù)a的值；03

:47若8+5i=8+bi,求實(shí)數(shù)b的值；若4+bi=a-2i，求實(shí)數(shù)a,b的值。說一說例1:完成下列表格（分類一欄填實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)）2

3i01

4

i2

36ii

2實(shí)部201

420-1虛部-30360分類虛數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)實(shí)數(shù)03

:47例2:實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z

m

1(m

1)i是（1）實(shí)數(shù)？ （2）虛數(shù)？ （3）純虛數(shù)？解：（1）當(dāng)m

1

0

，即m

1

時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．當(dāng)m

1

0

，即m

1

時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．當(dāng)m

1

0

，且m

1

0

，m即

m1

m

1

0

10時(shí)0，復(fù) 數(shù)z是純虛數(shù)．03

:47變式訓(xùn)練:當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是

（1）實(shí)數(shù)

（2）虛數(shù)

（3）純虛數(shù)m

1或m

1m

1且m

1m

203

:47已知

(x

y)

x

2

y

i

(2x

5)

(3x

y)i

，其中x,y

R,求x與y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組

x

y

2

x

5

x

2

y

3x

y

y

2

x

3得例3:03

:47當(dāng)堂檢測(cè)A

-2+3iC

-3+3iB

3-3iD

3+3i為1.以3i-2的虛部為實(shí)部，以3i2+3i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（B）若復(fù)數(shù)(a

2-3a+2)+(a-1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為

2

。復(fù)數(shù)4-3a-a

2i與復(fù)數(shù)a

2+4ai相等，則實(shí)數(shù)a的值4_。若方程x2

(m2i)x(2

mi)0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍若方程至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍0