數(shù)學(xué)新課標(biāo)下：“從問(wèn)題到方程”教學(xué)設(shè)計(jì)詳案

數(shù)學(xué)新課標(biāo)下：“從問(wèn)題到方程”教學(xué)設(shè)計(jì)詳案一、教學(xué)背景《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》在課程實(shí)施意見(jiàn)中提出：培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。基于此，筆者以“從問(wèn)題到方程”為例，貫徹落實(shí)新課標(biāo)的要求?！皬膯?wèn)題到方程”這一課題中的“到”韻味深長(zhǎng)，筆者認(rèn)為，更多的要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探索實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，教給學(xué)生探究問(wèn)題的方式，并注重對(duì)學(xué)生抽象能力、應(yīng)用意識(shí)和建模能力的培養(yǎng)。二、教材分析“從問(wèn)題到方程”是蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第四章第一節(jié)的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)以及代數(shù)式之后探究的又一個(gè)重要內(nèi)容。這節(jié)課重在探索實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并用方程描述，再歸納總結(jié)出一元一次方程的概念，并使學(xué)生意識(shí)到方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，為后面解一元一次方程以及用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題做鋪墊，并且為后續(xù)二元一次方程、一元二次方程的學(xué)習(xí)提供了思路。三、學(xué)情分析學(xué)生在小學(xué)時(shí)期就學(xué)習(xí)過(guò)方程的概念，但他們對(duì)從生活問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型乃至方程較為陌生。到了初中階段，我們進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)方程的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了從生活中的實(shí)際問(wèn)題到建立方程的過(guò)程，使學(xué)生充分感受到方程的簡(jiǎn)明性和優(yōu)越性。四、教學(xué)目標(biāo)1.探索實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并用方程描述，通過(guò)對(duì)多種實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析，使學(xué)生初步感受方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。2.通過(guò)觀察，歸納一元一次方程的概念。3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提高抽象問(wèn)題的解決能力。五、教學(xué)重難點(diǎn)探索實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系以及歸納一元一次方程的概念。六、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課（出示購(gòu)買(mǎi)物品稱(chēng)重的圖片）師：在日常生活中，我們利用天平性質(zhì)來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量，那么，天平的原理是什么呢？生：等量！師：你能說(shuō)一說(shuō)其中的等量關(guān)系式嗎？生：兩邊重量相同。出示一個(gè)1g小球、2個(gè)同樣的大球與5g砝碼在天平上（如圖1）。師：如何精準(zhǔn)地知道雙方的等量關(guān)系呢？你們有什么方法？生：天平兩邊物體重量相等，可以用等式方法。出示笛卡爾對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解。師：著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家以及幾何的創(chuàng)始人笛卡爾認(rèn)為世間萬(wàn)物中的一些問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再將這些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，最后將代數(shù)問(wèn)題再簡(jiǎn)化成解方程。從他的話語(yǔ)中我們可以看出什么？生：我們可以知道世界萬(wàn)物都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這些數(shù)學(xué)問(wèn)題我們都可以運(yùn)用解方程的方法來(lái)解決。師：找到等量關(guān)系就可以根據(jù)等量關(guān)系式列出方程嗎？這個(gè)方程又是一個(gè)什么方程呢？我們又該如何解這個(gè)方程呢？生：2個(gè)相同大球的質(zhì)量加1個(gè)1g小球的質(zhì)量等于5g砝碼的質(zhì)量。師：方程可以看作是數(shù)學(xué)中描述相等關(guān)系的一架天平。今天我們共同學(xué)習(xí)“從問(wèn)題到方程”。（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)借助實(shí)例的方式，引導(dǎo)學(xué)生再次復(fù)習(xí)等式的性質(zhì)，同時(shí)，通過(guò)復(fù)習(xí)的方式，引出本次探究的問(wèn)題，再?gòu)摹疤炱健边@一實(shí)際問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出其中的等量關(guān)系，并嘗試建立方程，從而引出本課的課題。）（二）探究新知1.探索發(fā)現(xiàn)，了解天平與等式關(guān)系出示2x+1=5師：根據(jù)剛剛我們找出的等量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)通過(guò)方程描述這類(lèi)等量關(guān)系最為簡(jiǎn)明，因此，請(qǐng)大家根據(jù)等式的性質(zhì)嘗試列出方程。生：設(shè)一個(gè)大球的質(zhì)量為xg，就可以得到：2x+1=5。2.由天平看等式性質(zhì)師：你知道天平的特性是什么嗎？如何才能保持天平兩邊的平衡呢？生：兩邊質(zhì)量相同。師：沒(méi)錯(cuò)，天平的原理就是兩邊質(zhì)量相同，這樣才能保持平衡。那么，你還能運(yùn)用天平原理，也就是方程來(lái)描述等量關(guān)系嗎？問(wèn)題一：師：學(xué)校開(kāi)展籃球聯(lián)賽，規(guī)定：勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分。某籃球隊(duì)比賽了12場(chǎng)，共得20分。那么，你該如何去描述其中數(shù)量之間的等量關(guān)系？生：勝場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分=20分。師：如何建立方程呢？生：設(shè)勝了x場(chǎng)，可知負(fù)了（12-x）場(chǎng)。得到方程：2x+1（12-x）=20。問(wèn)題二：師：想一想：以繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺。繩長(zhǎng)、井深各幾何？這個(gè)問(wèn)題究竟問(wèn)的是什么，從中你發(fā)現(xiàn)哪些信息呢？師：同學(xué)們可以通過(guò)畫(huà)示意圖理解這個(gè)問(wèn)題的意思。（展示學(xué)生畫(huà)的圖，如圖2所示）生：用繩子量井深，把繩三折來(lái)量，井外余繩四尺；把繩四折來(lái)量，井外余繩一尺。繩長(zhǎng)、井深各幾尺？師：你能描述其中的等量關(guān)系嗎？生：3×（井深+4）=4（井深+1）。師：等號(hào)兩邊都表示的是什么量？生：繩長(zhǎng)。師：如果設(shè)井深為x尺，如何列出方程？生：設(shè)井深為x尺。可列出方程：3（x+4）=4（x+1）師：還有其他的等量關(guān)系嗎？還可以設(shè)繩長(zhǎng)為x尺來(lái)列方程組。列式略。師：實(shí)際問(wèn)題中已知量和未知量之間的相等關(guān)系，可以用多種不同的方式描述。通過(guò)比較可以看出，用方程描述這種等量關(guān)系最簡(jiǎn)明。（設(shè)計(jì)意圖：旨在培養(yǎng)學(xué)生的思維，同一個(gè)問(wèn)題，從不同的等量關(guān)系、不同的角度都能解決這個(gè)問(wèn)題。）3.數(shù)學(xué)運(yùn)用用方程描述下列問(wèn)題中數(shù)量之間的等量關(guān)系：某公園的門(mén)票價(jià)格為：成人票8元/張，兒童票3元/張。買(mǎi)門(mén)票共花了44元，共有8人去公園。師：你能找出其中的相等關(guān)系嗎？生：成人票的總價(jià)+兒童票的總價(jià)=44元。設(shè)成人x人，可知兒童為（8-x）人，可列方程：8x+3（8-x）=44。變式：某公園的門(mén)票價(jià)格為：成人票8元/張，兒童票3元/張。買(mǎi)門(mén)票共花了44元。你能找出其中的相等關(guān)系并列出方程嗎？生：成人票的總價(jià)+兒童票的總價(jià)=44元。設(shè)成人x人，兒童y人，可列方程：8x+3y=44。師：這兩個(gè)問(wèn)題之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？生：聯(lián)系是等量關(guān)系是一樣的，區(qū)別是第二個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)未知量，因此要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，而第一個(gè)問(wèn)題只有一個(gè)未知量，因此只要設(shè)一個(gè)未知數(shù)。師：總結(jié)得很到位?。ㄔO(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)情境中，等量關(guān)系不變，但未知數(shù)的設(shè)法不一樣了，讓學(xué)生能夠概括其中的聯(lián)系與區(qū)別，為后面一元一次方程概念的歸納與辨析做鋪墊。）甲、乙兩人加工同一種服裝，乙每天比甲多加工1件，乙加工服裝24件所用時(shí)間與甲加工服裝20件所用時(shí)間相同。師：如何用方程來(lái)描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？生：乙加工服裝24件所用時(shí)間=甲加工服裝20件所用時(shí)間。設(shè)甲每天加工x件，可知乙每天加工（x+1）件。則可列出方程：正方形桌面的面積是2m2，求它的邊長(zhǎng)。生：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，可列方程：x2=2。4.自主歸納，形成方法師：在剛剛我們描述的過(guò)程中，你們的思路是什么樣的？生：審題、尋找等量關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程。（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷“從問(wèn)題到方程”的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生自主歸納其一般步驟，從而培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力，以形成自己的知識(shí)體系，為后續(xù)用方程解決實(shí)際問(wèn)題做鋪墊。）（三）歸納一元一次方程的概念出示：①2x+1=5；②2x+1（12-x）=20；③3（x+4）=4（x+1）；④8x+3（8-x）=44；⑤8x+3y=44；⑥；⑦x2=2師：觀察上述問(wèn)題中的方程，你能將它們分類(lèi)嗎？（學(xué)生小組討論交流）生：⑤中含有兩個(gè)未知數(shù)，其他的方程都只含有一個(gè)未知數(shù)。生：⑥方程等號(hào)兩邊不是整式，其他方程的兩邊都是整式。生：⑦中未知數(shù)的次數(shù)是2次，①②③④⑥中未知數(shù)的次數(shù)都是1次。師：同學(xué)們歸納得真全面！我們把像①②③④這樣只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的方程叫做一元一次方程。你能再寫(xiě)幾個(gè)一元一次方程嗎？（展示學(xué)生的作品，讓其他同學(xué)進(jìn)行辨析）（四）練習(xí)鞏固1．下列式子中：①5x+3y=0；②6x2-5x；③3x＜5；④x2+1=3；⑤x+1=3是一元一次方程的有（

）。（設(shè)計(jì)意圖：本題考查了一元一次方程的概念，通過(guò)觀察、辨析，有助于學(xué)生深刻地理解一元一次方程的概念。）2．用方程描述下列問(wèn)題中數(shù)量之間的等量關(guān)系：（1）一頭半歲的藍(lán)鯨體重22t，90天后體重為30.1t。設(shè)藍(lán)鯨體重平均每天增加xt，可得方程

。（2）把50kg大米分裝在3個(gè)同樣大小的袋子里，裝滿后還剩余5kg，設(shè)每個(gè)袋子可裝大米xkg，可得方程

。（3）甲、乙兩城市間的鐵路經(jīng)過(guò)技術(shù)改造后，列車(chē)在兩城市間的運(yùn)行速度從100km/h提高到120km/h，運(yùn)行時(shí)間縮短了2h。設(shè)甲、乙兩城市間的路程為xkm，如何列方程？（設(shè)計(jì)意圖：本題讓學(xué)生再次經(jīng)歷用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，鞏固用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。）3.請(qǐng)你賦予2x+1=5其他的實(shí)際意義。（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生編題目，是為了讓學(xué)生更深刻地理解知識(shí)并應(yīng)用知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，讓學(xué)生在交流、討論中碰撞出思維的火花