專題4-5隔項(xiàng)等差與隔項(xiàng)等比以及和為等比

專題45隔項(xiàng)等差與隔項(xiàng)等比以及和為等比1、隔項(xiàng)等差數(shù)列（和為等差）已知數(shù)列，滿足，（k≠0）則；；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；2、隔項(xiàng)等比數(shù)列（積為等比）已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；3、和為等比數(shù)列（和為等比）已知數(shù)列，滿足，則，再通過累加法和錯(cuò)位相減求出的通項(xiàng)公式重點(diǎn)題型·歸類精講重點(diǎn)題型·歸類精講題型一隔項(xiàng)等差（和為等差）已知,求的通項(xiàng)公式．【答案】；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差，判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列解答過程由，可推出，兩式作差所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：無論為奇數(shù)還是偶數(shù)：.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【詳解】（1）解：由，當(dāng)時(shí)，，∴，又，，∴。當(dāng)時(shí)，，∴為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴為偶數(shù)時(shí)，∴已知數(shù)列中，對(duì)任意的,都有，，求的通項(xiàng)公式．【答案】由條件，可得：兩式相減得： ……7分因?yàn)?，所以，?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列； ……8分偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1公差為4的等差數(shù)列． ……9分綜上： ……10分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由得，兩式相減可得數(shù)列的規(guī)律，由此可求的通項(xiàng)公式，從而求出其前n項(xiàng)和，根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，采用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果．【詳解】∵，(*)，∴，解得．，∴，兩式相減，得，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均為公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，∴根據(jù)上式和(*)知，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，易知是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故，，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)【答案】無論為奇數(shù)還是偶數(shù)：【解析】根據(jù)題意：，可推出，兩式作差，判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列由，可推出，及兩式作差∵，∴.所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：無論為奇數(shù)還是偶數(shù)：.數(shù)列滿足，，求.【答案】為奇數(shù)，為偶數(shù)【詳解】由，得，兩式作差得，即又∴數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列.則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.∴.為奇數(shù)，為偶數(shù)（多選）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．是的前項(xiàng)和，則C．當(dāng)為偶數(shù)時(shí) D．的通項(xiàng)公式是【答案】AD【詳解】數(shù)列滿足，，因?yàn)?，，所以，，B錯(cuò)；由題意，①，②，由②①得，，由，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，綜上所述，對(duì)任意的，，C錯(cuò)D對(duì)；，A對(duì).題型二隔項(xiàng)等比（積為等比）已知正項(xiàng)等比數(shù)列對(duì)任意的均滿足，，求的通項(xiàng)公式；【答案】思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作商，判斷為隔項(xiàng)等比數(shù)列解答過程：由，可推出，兩式作商所以是隔項(xiàng)等比數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：.山東省濟(jì)南市二模（多選）已知數(shù)列中，，，，則下列說法正確的是（

）A． B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定的遞推公式，探討數(shù)列的特性，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】，，，即，則，A正確；顯然有，于是得，因此數(shù)列，分別是以1，2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，B正確；于是得，，則，，C正確，D不正確.2023·廣東深圳二模已知數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明:數(shù)列中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列.【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)由得,分奇偶項(xiàng)分別求通項(xiàng)，最后寫出通項(xiàng)公式；(2)假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)數(shù)列(其中）成等差數(shù)列，應(yīng)用反證法得出矛盾證明即可.【詳解】（1）由，得以上兩式相比，得,由，得,所以，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比4為的等比數(shù)列，,數(shù)列是首項(xiàng)為6，公比為4的等比數(shù)列，,綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)數(shù)列(其中）成等差數(shù)列，則.由（1）得，即,兩邊同時(shí)除以，得(*)(*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)(*）等式不成立，假設(shè)不成立.所以，數(shù)列中得任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等差數(shù)列題型三和為等比已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前n和.【答案】思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差變換下標(biāo)，寫成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通項(xiàng)所以數(shù)列的前n和為求和（2023·重慶巴南·一模）在數(shù)列中，已知，，求的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】通過湊配法證得是等比數(shù)列.【詳解】（由，得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列..已知數(shù)列滿足，，．(1)求的通項(xiàng)公式．(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）將兩邊同時(shí)加，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明可得，再構(gòu)造數(shù)列，求解首項(xiàng)分析即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)公式可得，參變分離可得，再根據(jù)的單調(diào)性求解最大值即可.【詳解】（1）由可得，且，故是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，所以，又，故，即.（2）由（1）為等比數(shù)列，故，故即恒成立，求的最大值即可.設(shè)，則，令有，故當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小.又，故為的最大值，為，所以，2023·浙江杭州·統(tǒng)二模設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)設(shè)出公差和首項(xiàng)，代入題中式子求解即可；（2）列出通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)求出的前n項(xiàng)和，再根據(jù)通項(xiàng)求出的前2n項(xiàng)和，兩式相減解得的通項(xiàng)公式，最后分組求和求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1），設(shè)公差為d，首項(xiàng)為，因?yàn)楣畈粸?，所以解得，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.（2）

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