第23課時矩形菱形正方形（版）（完整版）

第一部分夯實基礎提分多第五單元四邊形

第23課時矩形、菱形、正方形

1．性質基礎點1矩形的性質與判定性質字母表示邊兩組對邊分別平行AB//CDAD//①_______BC

基礎點巧練妙記性質字母表示兩組對邊分別相等AB=CD;AD=BC性質字母表示角四個角都是直角∠ABC=∠BCD=∠ABC=∠BCD=90°對角線對角線②__________AC=BD;OA=OB=OC=OD互相平分且相等性質字母表示對稱性既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸面積S=③______ab2.判定(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；(2)有三個角都是直角的四邊形是矩形；(3)對角線相等的平行四邊形是矩形．

練提分必1．下列關于矩形的說法，正確的是(

)A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直且平分D．矩形的對角線相等且互相平分D

練提分必2．如圖，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝2cm，則AB與CD之間的距離為________cm.第2題圖2

1．性質基礎點2菱形的性質與判定性質字母表示邊四邊形④_______AB=BC=CD=DA對邊平行AB//CD;AD//BC相等性質字母表示角對角相等∠DAB=∠BCD;∠ABC=∠ADC對角線對角線互相垂直且⑤______AC⊥⑥_____；AO=OC,DO=OB對角線平分一組對角AC平分∠DAB與∠BCD;BD平分∠ABC與∠ADC平分BD性質字母表示對稱性既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有兩條對稱軸面積S=⑦______（m、n分別表示兩條對角線的長）

2.判定(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都相等的平行四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

練提分必3．下列四邊形中不一定為菱形的是(

)A.對角線相等的平行四邊形B.每條對角線平分一組對角的四邊形C.對角線互相垂直的平行四邊形D.用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形A

練提分必4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ACB＝60°，則對角線AC的長為(

)A．12

B．9C．6

D．3第4題圖D

練提分必5．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，則四邊形CODE的周長是________．第5題圖8

練提分必6．一個平行四邊形的一條邊長為5，兩條對角線的長分別為6和8，則它的面積為________．24

1．性質基礎點3正方形的性質與判定性質字母表示邊四邊形都⑧_____AB=BC=CD=AD對邊平行AB//CD;AD//BC相等性質字母表示角四個角都是直角∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90°對角線互相⑨_______且相等AC⊥BD,OA=OB=OC=OD平分一組對角AC平分∠DAB與∠BCD;BD平分∠ABC與∠ADC垂直平分性質字母表示對稱性既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有4條對稱軸面積S=a2（a表示正方形邊長）2.判定(1)有一個角是直角的菱形是正方形；(2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(3)對角線相等且互相垂直平分的平行四邊形是正方形；(4)四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形是正方形．

練提分必7．如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，則四邊形EFGH的面積是(

)A．30

B．34C．36

D．40第7題圖B基礎點4特殊四邊形的關系(掌握)直角相等相等直角基礎點5命題命題：判斷一件事情的語句，叫做命題．命題分為題設和結論兩部分．真命題：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題．假命題：如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題．互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是另一個命題的結論，而第一個命題的結論是另一個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題．例1如圖，在?ABCD中，∠BAD的平分線交CD于點E，交BC的延長線于點F，連接BE，∠F＝45°.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；

重難點精講優(yōu)練類型1矩形的相關證明與計算例1題圖【思維教練】要證四邊形ABCD是矩形，根據(jù)已知條件?ABCD的性質推出∠F＝∠DAE，由AF是∠BAD的平分線易得∠DAB＝90°，結合矩形的判定方法，從而得證；例1題圖證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°，∵AF是∠BAD的平分線，∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形；例1題圖

(2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值．例1題圖解：如解圖，過點B作BH⊥AE于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°，∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6，在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°，∴AD＝DE＝8，∴BC＝8，例1題解圖

例1題解圖練習1

(2017咸寧)如圖，點O是矩形紙片ABCD的對稱中心，E是BC上一點，將紙片沿AE折疊后，點B恰好與點O重合，若BE＝3，則折痕AE的長為________．練習1題圖6【解析】由折疊可知，∠BAE＝∠OAE，∠EOA＝∠B＝90°，∵O是矩形ABCD的對稱中心，∴OA＝OC，∴EO是AC的垂直平分線，易證∠ECO＝∠EAO，在三角形ABC中，可利用三角形內角和為180°，求得∠BAE＝30°，練習1題圖在直角三角形ABE中，∠B＝90°，∠BAE＝30°，由30°所對的直角邊是斜邊的一半，可得到AE＝6.

導方法指1．矩形判定的一般思路：

（1）一個內角為90°

（2）對角線相等四邊形+有三個內角是直角平行四邊形+

練提分必2．應用矩形性質計算的一般思路：(1)根據(jù)矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，可用勾股定理或解直角三角形求線段的長；(2)又根據(jù)矩形對角形相等且互相平分，故可借助對角線的關系得到全等三角形；

練提分必(3)矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，在矩形性質相關的計算和證明中要注意這個結論的運用，建立能夠得到線段或角度的等量關系．類型2菱形的相關證明與計算例2

如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E，交CB的延長線于點F，連接AF，BE.(1)求證：△AGE≌△BGF；【思維教練】要證△AGE≌△BGF，根據(jù)平行四邊形ABCD的性質，結合全等三角形的判定方法AAS即可求證；例2題圖證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥CF，∴∠AEG＝∠BFG，∵AB的垂直平分線交AD于點E，∴AG＝BG，又∵∠AGE＝∠BGF，∴△AGE≌△BGF(AAS)；例2題圖(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由．【思維教練】要判斷四邊形AFBE的形狀，由(1)易得AE＝BF，AE∥BF，可推出四邊形AFBE為平行四邊形，結合EF垂直平分AB推出AE＝BE，從而得證．例2題圖解：四邊形AFBE為菱形．理由：由(1)得AE＝BF，AE∥BF,則四邊形AFBE為平行四邊形，又∵EF垂直平分AB，∴AE＝BE，∴四邊形AFBE為菱形．例2題圖練習2

(2017孝感)如圖，四邊形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于點H，則線段BH的長為________．練習2題圖

導方法指菱形判定的一般思路：(1)一組鄰邊相等(2)對角線互相垂直

四邊形+四邊相等平行四邊形+菱形

導方法指2．菱形的計算：(1)求角度時，應注意菱形的四條邊相等和對角相等、鄰角互補等，可利用等腰三角形的性質和平行線的相交性質，轉化要求的角，直到找到與已知的角存在的關系；

導方法指(2)求長度(線段或者周長)時，應注意使用等腰三角形的性質．若菱形中有一個角為60°，則連接另外兩點的對角線所分割的兩個三角形為等邊三角形，故在計算時，可借助等邊三角形的性質求線段長；(3)求面積時，可利用菱形的兩條對角線互相垂直，面積等于對角線之積的一半求解．類型3正方形的相關證明與計算例2

如圖，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．(1)求證：△ABE≌△DCE；【思維教練】要證△ABE≌△DCE，根據(jù)正方形ABCD和等邊△EBC的性質推出AB＝CD，∠ABE＝∠DCE，結合全等三角形的判定方法SAS即可求證；例2題圖證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，∵△EBC是等邊三角形，∴EB＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB＝30°，即∠ABE＝∠DCE＝30°，在△ABE和△DCE中，

AB=BC∠ABE=∠DCE=30°

EB=EC∴△ABE≌DCE(SAS).(2)求∠AED的度數(shù)．【思維教練】由已知條件推出△ABE、△CDE、△ADE都是等腰三角形，求得∠EAB＝∠CDE＝75°，根據(jù)三角形內角和即可