期末復習-圓(教師版)

期末復習三圓一、主要知識結構〔一〕圓的定義及有關概念1、圓的定義：2、有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。例P為⊙O內一點，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，那么經過P點的最短弦長為________；最長弦長為_______．解題思路：圓內最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦〔二〕平面內點和圓的位置關系平面內點和圓的位置關系有三種：點在圓外、點在圓上、點在圓內當點在圓外時，d＞r；反過來，當d＞r時，點在圓外。當點在圓上時，d＝r；反過來，當d＝r時，點在圓上。當點在圓內時，d＜r；反過來，當d＜r時，點在圓內。例如圖，在中，直角邊，，點，分別是，的中點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，那么點在圓A的_________，點在圓A的_________．解題思路：利用點與圓的位置關系，答案：外部，內部練習：在直角坐標平面內，圓的半徑為5，圓心的坐標為．試判斷點與圓的位置關系．答案：點在圓O上．知識點三、圓的根本性質1圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉對稱性，特別的圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角定理推論２：直徑所對的圓周角是直角；９０°的圓周角所對的弦是直徑。例1如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，那么弦AB的長是〔〕A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm解題思路：在一個圓中，假設知圓的半徑為R，弦長為a，圓心到此弦的距離為d，根據(jù)垂徑定理，有R2=d2+〔〕2，所以三個量知道兩個，就可求出第三個．答案C例2、如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點，∠BAC=30°，那么∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解題思路：運用圓周角與圓心角的關系定理，答案：A例3、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，∠APM=∠CPM．〔1〕由以上條件，你認為AB和CD大小關系是什么，請說明理由．〔2〕假設交點P在⊙O的外部，上述結論是否成立？假設成立，加以證明；假設不成立，請說明理由．(1)(2)解題思路：〔1〕要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：〔1〕AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD〔2〕作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系？為什么？解題思路：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24－30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD知識點四、圓與三角形的關系1、不在同一條直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓：經過三角形三個頂點的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內心：三角形三條角平分線的交點，即三角形內切圓的圓心。例1如圖，通過防治“非典”，人們增強了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24－49所示，A、B、C為市內的三個住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個小區(qū)都相等的某處，請問如果你是工程師，你將如何選址．解題思路：連結AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點即為垃圾回收站所在的位置．例2如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心，假設∠BAC=80°，那么∠BOC=〔〕A．130°B．100°C．50°D．65°解題思路：此題解題的關鍵是弄清三角形內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點，答案A例3如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心與頂點C的距離為〔〕．A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點，答案B知識點五、直線和圓的位置關系：相交、相切、相離當直線和圓相交時，d＜r；反過來，當d＜r時，直線和圓相交。當直線和圓相切時，d＝r；反過來，當d＝r時，直線和圓相切。當直線和圓相離時，d＞r；反過來，當d＞r時，直線和圓相離。切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的直徑切線的判定定理：經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點到切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這點的連線平分兩條切線的夾角。例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當半徑r多長時所作的⊙A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°

∴在中，∠C=45°∴CD=AD

∵BC=6cm

∴∴∴當時，⊙A與BC相切；當時，⊙A與BC相交；當時，⊙A與BC相離。例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．〔1〕CD與⊙O相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由．〔2〕假設CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．解題思路：〔1〕要說明CD是否是⊙O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因為C點已在圓上．由易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：〔1〕CD與⊙O相切理由：①C點在⊙O上〔〕②∵AB是直徑∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°綜上：CD是⊙O的切線．〔2〕在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：〔1〕CD是⊙O的切線，〔2〕⊙O的半徑是10．知識點六、圓與圓的位置關系重點：兩個圓的五種位置關系中的等價條件及它們的運用．難點：探索兩個圓之間的五種關系的等價條件及應用它們解題．外離：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的外部相離：內含：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的內部相切：外切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的外部內切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的內部相交：兩圓只有兩個公共點。設兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距〔兩圓圓心的距離〕為d，那么有兩圓的位置關系，d與r1和r2之間的關系．外離d>r1+r2外切d=r1+r2相交│r1－r2│<d<r1+r2內切d=│r1－r2│內含0≤d<│r1－r2│〔其中d=0，兩圓同心〕例1．兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示〔點O，O′是圓心〕，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小．〔1〕(2)解題思路：要求∠TPN，其實就是求∠OPO′的角度，很明顯，∠POO′是正三角形，如圖2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一個等邊三角形∴∠OPO′=60°又∵TP與NP分別為兩圓的切線，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°例2．如圖1所示，⊙O的半徑為7cm，點A為⊙O外一點，OA=15cm，求：〔1〕作⊙A與⊙O外切，并求⊙A的半徑是多少？(1)(2)(2〕作⊙A與⊙O相內切，并求出此時⊙A的半徑．解題思路：〔1〕作⊙A和⊙O外切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rO+rA；〔2〕作OA與⊙O相內切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rA－rO．解：如圖2所示，〔1〕作法：以A為圓心，rA=15－7=8為半徑作圓，那么⊙A的半徑為8cm〔2〕作法：以A點為圓心，rA′=15+7=22為半徑作圓，那么⊙A的半徑為22cm例3．如下圖，點A坐標為〔0，3〕，OA半徑為1，點B在x軸上．〔1〕假設點B坐標為〔4，0〕，⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關系；_A_y_A_y_x_O〔1〕AB=5>1+3，外離．〔2〕設B〔x，0〕x≠－2，那么AB=，⊙B半徑為│x+2│，①設⊙B與⊙A外切，那么=│x+2│+1，當x>－2時，=x+3，平方化簡得：x=0符題意，∴B〔0，0〕，當x<－2時，=－x－1，化簡得x=4>－2〔舍〕，②設⊙B與⊙A內切，那么=│x+2│－1，當x>－2時，=x+1，得x=4>－2，∴B〔4，0〕，當x<－2時，=－x－3，得x=0，知識點七、正多邊形和圓重點：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系．難點：使學生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系．正多邊形的中心：所有對稱軸的交點；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應的邊心距分成兩個全等的直角三角形。例1．如圖，正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA，過O點作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．解：如下圖，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．因此，所求的正六邊形的周長為6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得邊心距OM==a∴所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a2例2．在直徑為AB的半圓內，劃出一塊三角形區(qū)域，如下圖，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個內接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24－94的設計方案是使AC=8，BC=6．〔1〕求△ABC的邊AB上的高h．〔2〕設DN=x，且，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？〔3〕實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學的知識，應用配方法求最值．〔3〕的設計要有新意，應用圓的對稱性就能圓滿解決此題．解：〔1〕由AB·CG=AC·BC得h==4.8〔2〕∵h=且DN=x∴NF=那么S四邊形DEFN=x·〔4.8－x〕=－x2+10x=－〔x2－x〕=－[〔x－〕2－]=－〔x－2.4〕2+12∵－〔x－2.4〕2≤0∴－〔x－2.4〕2+12≤12且當x=2.4時，取等號∴當x=2.4時，SDEFN最大．〔3〕當SDEFN最大時，x=2.4，此時，F(xiàn)為BC中點，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．∴BE==1.8∵BM=1.85，∴BM>EB，即大樹必位于欲修建的水池邊上，應重新設計方案．∵當x=2.4時，DE=5∴AD=3.2，由圓的對稱性知滿足條件的另一設計方案，如下圖:此時，AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，這樣設計既滿足條件，又避開大樹．知識點八、弧長和扇形、圓錐側面積面積重點：n°的圓心角所對的弧長L=，扇形面積S扇=、圓錐側面積面積及其它們的應用．難點：公式的應用．1．n°的圓心角所對的弧長L=2．圓心角為n°的扇形面積是S扇形=3.全面積是由側面積和底面圓的面積組成的，所以全面積=rL+r2．例1．操作與證明：如下圖，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點旋轉，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值a．解題思路：如下圖，不妨設扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD分別交于點M、N，連結OA、OD．∵四邊形ABCD是正方形∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，又∠MON=90°，∠AOM=∠DON∴△AMO≌△DNO∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a特別地，當點M與點A〔點B〕重合時，點N必與點D〔點A〕重合，此時AM+AN仍為定值a．故總有正方形的邊被紙板覆蓋局部的總長度為定值a．例2．扇形的圓心角為120°，面積為300cm2〔1〕求扇形的弧長；〔2〕假設將此扇形卷成一個圓錐，那么這個圓錐的軸截面面積為多少？解題思路：〔1〕由S扇形=求出R，再代入L=求得．〔2〕假設將此扇形卷成一個圓錐，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，圓錐母線為腰的等腰三角形．解：〔1〕如下圖：∵300=∴R=30∴弧長L==20〔cm〕〔2〕如下圖：∵20=20r∴r=10，R=30AD==20∴S軸截面=×BC×AD=×2×10×20=200〔cm2〕因此，扇形的弧長是20cm卷成圓錐的軸截面是200cm經典練習〔一〕選擇題1．假設P為半徑長是6cm的⊙O內一點，OP＝2cm，那么過P點的最短的弦長為()．A．12cmB．C．D．2．四邊形ABCD內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，假設∠ADC＝120°，那么∠ACB等于()．A．30° B．40° C．60° D．80°3．假設⊙O的半徑長是4cm，圓外一點A與⊙O上各點的最遠距離是12cm，那么自A點所引⊙O的切線長為()．A．16cmB．C．D．4．⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD．假設AB＝12cm，CD＝16cm，那么AB和CD的距離為()．A．2cmB．14cmC．2cm或14cm D．2cm或5．⊙O中，∠AOB＝100°，假設C是上一點，那么∠ACB等于()．A．80° B．100° C．120° D．130°6．三角形的外心是()．A.三條中線的交點B.三個內角的角平分線的交C.三條邊的垂直平分線的交點D.三條高的交點7．如圖，A是半徑為2的⊙O外的一點，OA＝4，AB是⊙O的切線，點B是切點，弦BC∥OA，那么的長為()．A． B．C．π D．8．如圖，圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同的速度從A點到B點，甲蟲沿，，，路線爬行，乙蟲沿路線爬行，那么以下結論正確的選項是()．A．甲先到B點B．乙先到B點C．甲、乙同時到B點D．無法確定9．如圖，同心圓半徑分別為2和1，∠AOB＝120°，那么陰影局部的面積為()．A．π B．C．2π D．4π10．某工件形狀如下圖，圓弧的度數(shù)為60°，AB＝6cm，點B到點C的距離等于AB，∠BAC＝30°，那么工件的面積等于()．A．4π B．6πC．8π D．10π11．如右圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影局部的面積為()．A．36πcm2B．12πcm2C．8πcm27題圖8題圖9題圖10題圖〔二〕填空題12．如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，那么∠B＝______．13．如圖，邊長為1的菱形ABCD繞點A旋轉，當B，C兩點恰好落在扇形AEF的弧上時，的長度等于______．14．如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，那么折痕AB的長為________．15．假設圓錐的底面半徑是2cm，母線長是4cm，那么圓錐的側面積是________cm2．16．如圖，在△ABC中，AB＝2，以A為圓心，1為半徑的圓與邊BC相切，那么∠BAC的度數(shù)是______．12題圖13題圖