專訓3-相似三角形與函數(shù)的綜合應用

階段方法技巧訓練（二）專訓3相似三角形與函數(shù)的綜合應用習題課解涉及相似三角形與函數(shù)的綜合題時，由于這類題的綜合性強，是中考壓軸題重點命題形式之一，因此解題時常結(jié)合方程思想、分類討論思想進行解答．相似三角形與一次函數(shù)類型1．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于A(3，0)，B(0，)兩點，點C為線段AB上的一動點，過點C作CD⊥x軸于點D.(1)求直線AB對應的函數(shù)解析式；(2)若S梯形OBCD＝，求點C的坐標；(3)在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以P，O，B為頂點

的三角形與△OBA相似．若存在，請求出所有符合條

件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．1解：(1)求直線AB對應的函數(shù)解析式；設直線AB對應的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將A(3，0)，B(0，)的坐標分別代入得

解得∴直線AB對應的函數(shù)解析式為y＝－解：(2)若S梯形OBCD＝，求點C的坐標；設點C的坐標為(x，－＋)，那么OD＝x，CD＝－

x＋3.∴S梯形OBCD＝＝由題意得解得x1＝2，x2＝4(舍去)．∴C(2，).(3)在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得以P，O，B為頂點

的三角形與△OBA相似．若存在，請求出所有符合條

件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：存在．當∠OBP＝90°時，如圖①.易知OB＝

，OA＝3.Ⅰ.若△BOP1∽△OBA，則∴BP1＝OA＝3，∴P1(3，

)．Ⅱ.若△BP2O∽△OBA，則∴BP2＝＝1，∴P2(1，)．當∠OPB＝90°時，Ⅲ.若△P3BO∽△OBA(如圖)，過點P3作P3M⊥OA于點M.則又易知∴∴P3A＝∵OP3?P3A＝P3M?OA，∴P3M＝∴OM＝∴P3(，).Ⅳ.若△P4OB∽△OBA(如圖)，則∴P4O＝又易得P4在P3M上，∴P4M＝∴P4(，).當∠BOP＝90°時，點P在x軸上，不符合要求．綜上得，符合條件的點有四個，分別是：P1(3，)，P2(1，)，P3(，)，P4(，).相似三角形與二次函數(shù)類型2．如圖，直線y＝－x＋3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A，B，C(1，0)三點．(1)求拋物線對應的函數(shù)解析式；(2)若點D的坐標為(－1，0)，在直線y＝－x＋3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標．2解：(1)求拋物線對應的函數(shù)解析式；由題意得A(3，0)，B(0，3)，∵拋物線經(jīng)過A，B，C三點，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三點的坐標分別代入

y＝ax2＋bx＋c，得方程組

解得∴拋物線對應的函數(shù)解析式為y＝x2－4x＋3.解：(2)若點D的坐標為(－1，0)，在直線y＝－x＋3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標．如圖，由題意可得△ABO為等腰直角三角形．若△ABO∽△AP1D，則∴DP1＝AD＝4，∴P1(－1，4)；

若△ABO∽△ADP2，過點P2作P2M

⊥x軸于M，∵△ABO為等腰直角三角形，∴△ADP2是等腰直角三角形，∴DM＝AM＝2＝P2M，即點M與點C重合，∴P2(1，2)，∴點P的坐標為(－1，4)或(1，2)．3．如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C處，過點B的拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線BC交于點D(3，－4)．(1)求直線BD和拋物線對應的函數(shù)解析式；(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點M，作MN

垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的三

角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)求直線BD和拋物線對應的函數(shù)解析式；易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．設直線BD對應的函數(shù)解析式為y＝kx＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐標分別代入y＝kx＋m，得

解得∴直線BD對應的函數(shù)解析式為y＝－2x＋2.∵拋物線對應的函數(shù)解析式為y＝－x2＋bx＋c，∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐標分別代入

y＝－x2＋bx＋c，得

解得∴拋物線對應的函數(shù)解析式為y＝－x2＋x＋2.解：(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點M，作MN

垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的

三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標；

若不存在，請說明理由．存在，①如圖①，當△MON∽△BCO時，即∴MN＝2ON.設ON＝a，則M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合題意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；②如圖②，當△MON∽△CBO時，即∴MN＝

ON.設ON＝n，則M(n，

n)，∴－n2＋n＋2＝解得n1＝(不合題意，舍去)，n2＝∴M(，)．∴點M的坐標為(1，2)或(，).相似三角形與反比例函數(shù)類型4．如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為(2，3)，雙曲線y＝(x＞0)經(jīng)過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE.(1)求k的值及點E的坐標；(2)若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB對應的函數(shù)解析式．3解：(1)求k的值及點E的坐標；在矩形OABC中，∵點B的坐標為(2，3)，∴BC邊的中點D的坐標為(1，3)．∵雙曲線y＝(x＞0)經(jīng)過點D(1，3)，∴3＝

，∴k＝3，∴雙曲線對應的函數(shù)解析式為y＝∵點E在AB上，∴點E的橫坐標為2.又∵雙曲線y＝

經(jīng)過點E，∴點E的縱坐標為y＝∴點E的坐標為(2，).解：(2)若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB對應的函數(shù)解析式．易得BD＝1，BE＝，CB＝2.∵△FBC∽△DEB，∴