一道高考題的探索歷程

一道高考題的探索歷程一道高考題的探索歷程：探究數(shù)學(xué)題目的解法引言：高考作為全國范圍內(nèi)的一項(xiàng)重要考試，對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求。因此，考試中的試題往往需要運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)方法和思路來解答。本文將以一道高考數(shù)學(xué)題為例，探討其解題思路和解法，旨在幫助考生深入理解數(shù)學(xué)，提高解題技巧。一、題目背景和分析題目：已知函數(shù)f(x)=2x^3-9x^2+12x-7，若方程f(x)=k有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.(-∞,-7)B.(-7,-3)C.(-3,4)D.(4,8)首先，我們了解到題目涉及函數(shù)的根，即方程的解。再進(jìn)一步分析題目中給出的函數(shù)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，其次方項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，這意味著它的圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，而三次函數(shù)一般會(huì)有一個(gè)或者三個(gè)實(shí)數(shù)根。因此，我們猜測答案應(yīng)該是A.(-∞,-7)或D.(4,8)。二、解題思路的拓展針對(duì)此題，我們可以嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解答。首先，我們需要確定函數(shù)f(x)和實(shí)數(shù)k之間的關(guān)系。由于函數(shù)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的方程f(x)=k也是一個(gè)三次方程。因此，我們可以考慮找到k對(duì)應(yīng)的三次方程的判別式，并據(jù)此判斷k的取值范圍。三、解題過程的展開步驟1：求出方程f(x)=k的判別式首先，我們需要將函數(shù)f(x)與實(shí)數(shù)k相等，得到方程f(x)=k。根據(jù)已知條件，我們有2x^3-9x^2+12x-7=k，可將其整理為2x^3-9x^2+12x-(k+7)=0。此時(shí)，我們的目標(biāo)是確定三次方程的判別式。根據(jù)判別式公式，對(duì)于一元三次方程Ax^3+Bx^2+Cx+D=0，判別式為Δ=B^2C^2-4AC^3-4B^3D-27A^2D^2+18ABCD。根據(jù)這個(gè)公式，我們可以得到方程2x^3-9x^2+12x-(k+7)=0的判別式為Δ=(-9)^2(12)^2-4(2)(12)^3-4(-9)^3(k+7)-27(2)^2(k+7)^2+18(-9)(2)(k+7)(k+7)。步驟2：通過判別式確定實(shí)數(shù)k的取值范圍根據(jù)步驟1中得到的判別式Δ=(-9)^2(12)^2-4(2)(12)^3-4(-9)^3(k+7)-27(2)^2(k+7)^2+18(-9)(2)(k+7)(k+7)，我們可以將判別式化簡為Δ=81(144)-4(2)(12)^3-4(-9)^3(k+7)-27(2)^2(k+7)^2+18(-9)(2)(k+7)(k+7)。進(jìn)一步化簡，得到Δ=11664-4608(12)^2-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2+36(-9)(k+7)(k+7)。繼續(xù)化簡，得到Δ=11664-4608(12)^2-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)。根據(jù)判別式Δ的表達(dá)式，我們可以嘗試從中推導(dǎo)出實(shí)數(shù)k的取值范圍。具體來說，我們需要找到Δ的不等式條件，以確定k的取值范圍。第一步，我們觀察Δ=11664-4608(12)^2-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)的各項(xiàng)。我們發(fā)現(xiàn)，其中第二項(xiàng)4608(12)^2非常大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他項(xiàng)，因此我們可以將其略去。第二步，我們需要確定剩下項(xiàng)的符號(hào)?？紤]到方程f(x)=k的六個(gè)實(shí)數(shù)根，我們可以將其表示為三對(duì)相異因子的乘積，即(x-a)(x-b)(x-c)=0。根據(jù)二次根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以推導(dǎo)出三次根與系數(shù)的關(guān)系。具體來說，若方程Ax^3+Bx^2+Cx+D=0的根為a、b、c，則a+b+c=-B/A，ab+ac+bc=C/A，abc=-D/A。綜上所述，我們可以將函數(shù)f(x)=2x^3-9x^2+12x-7的三次根與系數(shù)的關(guān)系表示為-(-9)/2=a+b+c，-(12)/2=ab+ac+bc，-(7)/2=abc。進(jìn)一步化簡，得到9/2=a+b+c，-6=ab+ac+bc，-7/2=abc。那么，我們可以將(k+7)/2替換abc的位置，得到的是三個(gè)關(guān)于a、b、c和k的關(guān)系式為9/2=a+b+c，-6=ab+ac+bc，(k+7)/2=abc。第三步，我們將這些關(guān)系式代入判別式Δ=11664-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)中。進(jìn)一步化簡，我們可以得到Δ=11664+5832(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)=11664+5832k+40824-432(k+7)^2-36(k+7)^2=5832k+52512-592k^2-252k-1764-36k^2-252k-1764。對(duì)Δ進(jìn)行整理，得到Δ=-628k^2+13152k-4056。我們可以將Δ寫為關(guān)于k的標(biāo)準(zhǔn)形式，即Δ=-628k^2+13152k-4056>0。考慮到三次根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以得到關(guān)系a+b+c=9/2，ab+ac+bc=-6和abc=(k+7)/2。對(duì)這些關(guān)系式進(jìn)行整理，我們可以得到a^2+b^2+c^2=(9/2)^2-2(-6)=81/4+12=(117/2)^2，(a+b+c)^2=(9/2)^2=(81/4)。將這些關(guān)系式代入ab+ac+bc=-6，得到-(a+b+c)^2+3(a^2+b^2+c^2)=-(81/4)+3*(117/4)=108/4=27。根據(jù)以上推理，我們可以得出結(jié)論，即當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。而根據(jù)Δ=-628k^2+13152k-4056>0可得k的取值范圍。我們將Δ的標(biāo)準(zhǔn)形式轉(zhuǎn)化為二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，即-628k^2+13152k-4056>0，在數(shù)學(xué)上以圖像法解決這個(gè)不等式問題。這是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)于k的開口向下的拋物線，可以通過求解二次方程的判別式和計(jì)算開口方向來判斷k的取值范圍。四、結(jié)論與啟示通過以上的推導(dǎo)與計(jì)算，我們可以得出如下結(jié)論：當(dāng)-628k^2+13152k-4056>0時(shí)，方程f(x)=k有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。而，-628k^2+13152k-4056的解為33<k<72/157，對(duì)應(yīng)于D.(4,8)。因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是(4,8)。