新編人教A高中數(shù)學(xué)選修2-1全冊導(dǎo)學(xué)案

人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1

全冊導(dǎo)學(xué)案

S徵酎

目錄

1.1.1命題及其關(guān)系

1.1.2四種命題的關(guān)系

1.2.1充分條件

1.2.2充要條件

1.3.1邏輯聯(lián)結(jié)詞1

1.3.2簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞2

1.4全稱量詞與存在量詞

2.1.1曲線與方程(1)學(xué)案

2.1.2曲線與方程(2)學(xué)案

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1)學(xué)案

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)學(xué)案

2.2.2橢圓及其簡單幾何性質(zhì)(1)學(xué)案

2.2.2橢圓及其簡單幾何性質(zhì)(2)學(xué)案

2.3.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)學(xué)案

2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(2)學(xué)案

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(1)

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)(2)

2.5曲線與與方程學(xué)案

第二章圓錐曲線與方程復(fù)習(xí)學(xué)案

3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算

3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示

3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

3.1空間向量及其運(yùn)算

3.2立體幾何中的向量方法一

3.2立體幾何中的向量方法二一利用向量方法求距離

3.2立體幾何中的向量方法三一利用向量方法求角

3.2立體幾何中的向量方法一一平行與垂直關(guān)系的向量證法

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§1.1.1命題及四種命題

一.自主學(xué)習(xí)

預(yù)習(xí)課本2—6頁完成下列問題

1、命題：；

2、真命題：假命題：一_____________________________。

3、命題的數(shù)學(xué)形式。：c

4、四種命題：o

(1)互逆命題：o(2)互否命題：O

(3)互為逆否命題：?

注意：數(shù)學(xué)上有些命題表面上雖然不是“若p,則q”的形式，但可以將它的表述作適

當(dāng)?shù)母淖儯瑢懗伞叭魀,則q”的形式，從而得到該命題的條件和結(jié)論。

二、自主探究：

R例13判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題？.

(1)空集是任何集合的子集；(2)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)；

(3)2小于或等于2；(4)對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？

(5)2x<15；(6)平面內(nèi)不相交的兩條直線一定平行；

(7)明天下雨；(8)3>12

K例21將下列命題改寫成“若p,則q”的形式。

(1),兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)對(duì)頂角相等；(3)全等的兩個(gè)三角形面積

也相等；(4)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。

K例32把下列命題改寫成“若p則￡”的.形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否

命題：

(1)兩直線平行，同位角相等；(2)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(3)四邊相等的四邊形是正

方形。

課堂小結(jié)

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三、鞏固練習(xí)：

1、下列語句中是命題的是（）

A、周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？B.sin45°=1

C.X2+2X-1>0D、梯形是不是平面圖形呢？

2、在命題“若拋物線y=加+6%+。的開口向下，則,皿2+Z?x+c<0}H?！钡哪婷?/p>

題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（）

A、都真B、都假C、否命題真D、逆否命題真

3、設(shè)",N是兩個(gè)集合，則下列命題是真命題的是（）

A、如果M=那么McN=MB、如果M=那么McN=M

C、如果MqN,那么=MI）、如果A/DN=M,那么M=N

4、下列命題中為真命題的是

A、命題“若x>y,則x>|y|"的逆命題B、命題“若％〉1,則/>1”的逆命題

C、命題“若x=l,則/+%-2=0”的否命題

D、命題“若f>0,則x〉l”的逆否命題

5、命題：“若不為零，則a功都不為零”的逆否命題

是。

6、命題“分2一2改一3不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是。

7、原命題：已知函數(shù)“X）為R上的增函數(shù)，a力均為實(shí)數(shù)，若a+b20,則

，+f-%

（1）判斷原命題的真假，并證明；（2）寫出它的逆命題，判斷其真假，并證明。

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§1.1.2四種命題間的相互關(guān)系

一、自主學(xué)習(xí)

預(yù)習(xí)課本6-8頁完成下列問題

1、四種命題間的相互關(guān)系：

2、反證.法證題的步驟:

3、常見的反設(shè):

詞語大于(＞)是都是所有的…任意一個(gè)…至少一個(gè)???

否定不大于(W)不是不都是至—?^?彳、???某個(gè)不…一個(gè)也沒有???

二、自主探究：

K例原命題：“若x=y，則62=y2”寫出它的逆命題、否命題、逆否命題，并判

斷它們的真假。

K例2也判斷下列命題的真假：

(1)命題“當(dāng)機(jī)＜1時(shí)，拋物線丁=爐+2%+機(jī)與無軸存在交點(diǎn)”的逆否命題。

(2)若xwy且xr-y,則/。丁。

K例33：若x,y都為正實(shí)數(shù)，且x+y＞2。求證：匕二＜2和史上＜2中至少有一個(gè)

yX

成立。

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課堂小結(jié)

三、羽固練習(xí)：

1、命題力都是r奇數(shù)，.則4+人是偶數(shù)”的逆否命題是（）

A、都不是奇數(shù)，則5是偶數(shù)B、。+人是偶數(shù).，都是奇數(shù)

C、a+匕不是偶數(shù),。力都不是奇數(shù)D、不是偶數(shù)，不都是奇數(shù)

2、用反證法證明命題："a,bwN,。"能被5整除，那么。力中至少有一個(gè)能被5整除”

時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容是（）

A、都能.被5整除B、a,b都不能被5整除

C、a/不都能被5整除D、a不能被5整除，或b不能被5整除

3、若命題p的逆命題是4,命題r是命題q的否命題，則p是r的（）

A、逆命題B、否命題C、逆否命題D、以上都不正確

4、設(shè)原命題：若a+bN2,則。力中至少有一個(gè)不小于1。則原命題與其逆命題的真假情

況是（）

A、原命題真，逆命題假B、原命題假，逆命題真

C、原命題與逆命題均為真命題D、原命題與逆命題均為假命題

5"AABC中，若NC=90°,則ZA,ZB都是銳角

為:

6、"若「=卜|兇<1},則OeP”的等價(jià)命題

是:

7、分別寫出命題“若幺+丁=（）,則x,y全為0”的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷

真假。

8、已知下列三個(gè)方程：爐+4以一4<7+3=0,%2+（。-l）x+t?=（）62+2公一2。=0至少

有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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§1.2.1充分條件與必要條件

自主學(xué)習(xí)

預(yù)習(xí)課本9-10頁，完成下列問題

1.一般地，“若p,則q"為真命題，是指由p通過推理可以得出q.我們就說，由p推出小

記作pnq，并且說P是q的條件，q是0的條件。

注意：所謂的“充分”，即要使q成立，有p成立就足夠了；所謂的必“要"，即q是p成立

的必不可少的條件，缺其不可。

2.若p=>q,但夕Np,則稱p是,q的條件，q是p的條件。

注意：判斷充分、必要條件的關(guān)鍵是分清誰是條件，誰是結(jié)論，若由條件p推出結(jié)論q成立,

則條件p是結(jié)論q的充分條件;若由結(jié)論q推出條件p成立,則條件p是結(jié)論q的充分條件。

思考:如何從集合的角度去理解充分條件、必要條件概念？

自主探究：

K例下列''若尸，則q”的形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；

(2)若x>5,則x>10

k例2》下列“若〃，則形式的命題中哪些命題中的q是p必要條件？

(1)若尤=y，則Y=y2；

(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形面積相等；

(3)若a>b,則“c>be

k例3』不等式(a+x)(l+x)〈0成立的一個(gè)充分不必要條件是-2〈x〈T,則a的取值范圍是()

A.a<-2B.a>2C.a<-2D.a>2

變式：設(shè)非空集合A^{x\2a+\<x<3a-5},8=卜卜=J(3—x)(x—22)}則AqB的

一個(gè)充分不必要條件是()

A.l<a<9B.6<a<9C.a<9D.6<a<9

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課堂小結(jié):

鞏固練習(xí)：

1.在平面內(nèi)，下列哪個(gè)是“四邊形是矩形”的充分條件？().

A.平行四邊形對(duì)角線相等B.四邊形兩組對(duì)邊相等

C.四邊形的對(duì)角線互相平分D.四邊形的對(duì)角線垂直

2.x,yeR,下列各式中哪個(gè)是''肛H0"的必要條件？().

A.x+y=0B.x2+y2>0C.x-y=0D.x3+y30

3.平面a〃平面夕的一個(gè)充分條件是().

A.存在一條直線a,a〃a,a〃夕B.存在一條直線a,aua,a〃力

C.存在兩條平行直線ua,Aup,all/3,bHa

D.存在兩條異面直線a,6,aua,6u?,a〃f3,blla

4.p:x-2=0,q：(x-2)(x-3)=0,p是q的條件.

5.p-.兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形全等，p是q的條件.

6.判斷下列命題的真假

(1)ua>bn是"/>〃,,的充分條件；

(2)u\^b"是"/>/"的必要條件.

7.已知A={x|x滿足條件p},7={》|%滿足條件4}.

(1)如果A=8,那么p是《的什么條件？

⑵如果BqA,那么p是4的什么條件？

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§1.2.2充要條件

自主學(xué)習(xí)：

預(yù)習(xí)課本11-12頁，完成下列問題

1.一般地，如果既有p=>4，又有g(shù)np,就記作：pog,這時(shí)P既是q的充分條

件，又是q的必要條件，則p是q的條件，簡稱條件。其中O

叫做等價(jià)符號(hào)。p<=>q表示p=<7且q=p

2.傳遞性：若pOq,q=>r,則。

思考：判斷充耍條件關(guān)系的主要方法有哪些？

自主探究：

【題型一】充要條件的判斷

例1下列各題中，哪些p是q的充要條件？

(1)P：方=0，4：函數(shù)/(工)=辦2+/ZT+C是偶函數(shù)；

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0

(3)p:a>b,q:a+c>b^c

變式：下列各題中，哪些〃是q的充要條件？

(I)在aABC中，p：NA>NB,q:BC>AC；

(2)p:a+b<0,且ab>0,q:a<0,b<0；

【題型二】充要條件的證明

已知A,B是直線L上任意兩點(diǎn)，O是L外一點(diǎn)。

求證：點(diǎn)在直線上的充要條件是=+其中且x+y=l。

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課堂小結(jié):

鞏固練習(xí):

1.下列命題為真命題的是().

A.a>6是a2>b2的充分條件8.|0>|加是巳>從的充要條件

C./=1是x=1的充分條件D.a=/7是tana=tan￡的充要條件

2.ux&MN”是“xeM汽”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)/?：b2-4ac>0(a0),q：關(guān)于x的方程of+bx+c=0(a=0)有實(shí)根，則p是q的

().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.2%2-5x-3<0的一個(gè)必要不充分條件是().

A.—<x<3B.—<x<0C.—3<x<—D.—1<x<6

222

5.用充分條件、必要條件、充要條件填空.

(l).x>3是x>5的

(2).x=3是f-2x_3=0的

(3).兩個(gè)三角形全等是兩個(gè)三角形相似的

6.求證：\ABC是等邊三角形的充要條件是a?+b2+c2=ab+ac+bc,這里”,b,c是A/ABC的

三邊.

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§1.3.1簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

自主學(xué)習(xí)

預(yù)習(xí)課本14-18頁，完成下列問題

I“且,，或”“非”邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義：

1.一般地,用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題g聯(lián)結(jié)起來就得到一個(gè)新命題，記作

“"，讀作““

2.一般地,用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來就得到一個(gè)新命題，記作

“”,讀作“”.

3.一般地，對(duì)一個(gè)命題的全盤否定就得到一個(gè)新命題，記作“”,讀作“”

或“”.

注意(1)不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫復(fù)合命題。

(2)命題夕Ag、pvq、力與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算聯(lián)系密切，可以借助集合的關(guān)

系理解他們的含義。

II命題p\/q、—jp的真假判斷：

pqpr\qq-p

真真

真假

假真

假假

思考數(shù)學(xué)中的聯(lián)結(jié)詞或、且、非與日常生活中的或、且、非有哪些區(qū)別？

自主探究

【題型一】用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題

例1.分別寫出有下列各組命題構(gòu)成的〃Aq、pvq、力形式的復(fù)合命題:

(1)p:正是無理數(shù)q:、歷大于1(2)p:NqZq:OwN

(3)p:X2+1>x-4:X24-1<x-4

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【題型二】判斷復(fù)合命題的構(gòu)成

例2.指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題：

（1）方程3=0沒有有理根；

（2）兩個(gè)角是45度的三角形是等腰直角三角形；

（3）如果xy<0,則點(diǎn)（x,y）的位置在第二、四象限。

課堂小結(jié)

鞏固練習(xí)

1.“p或q為真命題”是“p且q為真命題”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.命題尸：在AA8C中，/（7>/8是$訪。>$布8的充要條件；命題q：。>6是的

充分不必要條件，則（）.

A.p真q假B.p假q假C."p或?yàn)榧貲."p且q”為真

3.命題：（1）平行四邊形對(duì)角線相等；（2）三角形兩邊的和大于或等于第三邊；（3）三角

形中最小角不大于60。；（4）對(duì)角線相等的菱形為正方形.其中真命題有（）.

A.lB.2C.3D.4

4.命題p：0不是自然數(shù)，命題q：乃是無理數(shù)，在命題“?；騫”“〃且“非p”“非q”

中假命題是,真命題是.

5.已知p：|x2-x|>6,q：、€2,/7人4，-14者|5是假命題，則x的值組成的集合為

6.寫出下列命題，并判斷他們的真假：

（1）p7q,這里p：4e{2,3},q：2e{2,3}；（2）p/\q,這里p：4e{2,3},q：2w{2,3}；

（3）pvq,這里p：2是偶數(shù)，q：3不是素?cái)?shù)

（4）pAq,這里p：2是偶數(shù)，q：3不是素?cái)?shù).

7.判斷下列命題的真假：

（1）5>2且7>3（2）7>8（3）3>4或3<4

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§1.3.2簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

自主學(xué)習(xí)

預(yù)習(xí)課本14-18頁，完成下列問題

1.若pA4為真，則p,q必為;若p/\q為假，則p,q必有一個(gè)為

2.若pvq為真,則p,q必有一個(gè)為；若pvq為假，則p,q必為

3.力形式的命題與命題p的真假.

思考：力形式的命題叫命題的否定，注意將其與否命題進(jìn)行區(qū)別

自主探究

【題型一】由復(fù)合命題的真假判定簡單命題的真假

例1.若pvq為假命題，貝IJ()

A.命題「p與「4的真值不同B.命題「p與「q至少有一個(gè)假命題

C.命題「〃與的真值相同D.命題「〃與「夕都是真命題

【題型二】兩命題之間的關(guān)系

14

例2.設(shè)p：/(%)=2r+/nx+l在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m則-1〃是-1夕的()

A.充分不必要Bo必要不充分Co充分必要Do既不充的分也不必要

【題型三】利用命題的真假求參數(shù)的取值范圍

例3.已知命題p:-2WxW10,q:x2-2x+l-a2>0(a>0),若「p是q充分不必要條

件，求a的取值范圍.

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鞏固練習(xí)

1.如果為真，—ip為假命題，那么()

A.p真q假B。p真q真C°p假q真D。p真q可真可假

2.已知條件〃：-3<x<2,條件4：5%—6>尤2,則p是「4的()

A.充分不必要B。必要不充分Co充分必要D。既不充分也不必要

3.設(shè)p,q是兩個(gè)命題，則復(fù)合命題pvq為真，pA夕為假的充要條件是()

A.p,q中至少有一個(gè)真B.p,q中至少有一個(gè)假

C.p,q中有且只有一個(gè)是真D.p真，q假

4.若命p,q中至少有一個(gè)真題一i(pvq)為假命題，則()

A.p,q均為真B.p,q均為假

C.p,q中至少有一個(gè)真Dp,q中至多有一個(gè)真.

5.如果p是q的充分不必要條件，I?是q的必要不充分條件；那么().

A.rB.-'/JCZ_1r

rD.por

6.命題p：方程x2+膽+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根,命題q：方程+4(m+2)x+1=()

無實(shí)數(shù)根，若〃vq為真命題，求m的取值范圍.

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§1.4全稱量詞與存在量詞

自主學(xué)習(xí)

預(yù)習(xí)課本21-25頁，完成下列問題

1.短語“”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符

“表示，含有的命題，叫做全稱命題.其基本形式為：

VxeM,p(x),讀作：

2.短語“”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用

“表示，含有的命題，叫做特稱稱命題.

其基本形式叫€",p(Xo),讀作：

3.一般地，對(duì)于一個(gè)含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定有下面的結(jié)論：

全稱命題p:Vx€p,p(x),它的否定-p:

4.一般地，對(duì)于一個(gè)含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定有下面的結(jié)論：

特稱命題p：toWM,p*。)，它的否定力：。

思考：如何對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定？

自主探究

【題型一】全稱命題、特稱命題的判斷

例1.判斷下列命題是不是全稱命題或者存在命題

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)(2)有一個(gè)實(shí)數(shù)%,使用2+2%+3=0

(3)任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1,仍等于這個(gè)實(shí)數(shù)；

(4)存在兩個(gè)相交垂直于同一條直線

變式：判斷下列命題的真假：

(1)Vxe(5,8),/(x)=x2-4x-2>0(2)3aeZ,a2=3?-2

【題型二】全稱命題、特稱命題的否定及真假判斷

例2.寫出下列全稱命題、特稱命題的否定，并判斷真假

(1)p：Vxe/?,x2-x+—>0(2)p：所有的正方形都是矩形

4

(3)p-.3xeR,x2+2x+2<0；(4)p■.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使丁+1=0

【題型三】利用命題的真假性解決問題

例3.若r(x):sinx+cosx>/s(x)+znr+l>0,如果對(duì)于IteR,r(x)為假命題,

且VxeR,s(x)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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課堂小結(jié)

鞏固練習(xí)

1.下列命題為特稱命題的是（）.

A.偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱B.正四棱柱都是平行六面體

C.不相交的兩條直線都是平行線D.存在實(shí)數(shù)大于等于3

2.下列命題中假命題的個(gè)數(shù)（）.

（l）Vxe/?,x2+l>l；（2）3xe/?,2x+l=3；

（3）IreZ,x能被2和3整除；（4）Hxe+2x+3=0

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)

3.命題“對(duì)任意的xeR,V-d+ivo”的否定是（）.

A.不存在xeR,/一爐+140B.存在xe-Y+140

C.存在工€凡/_/+1>0D,對(duì)任意的工€凡/一+1>0

4.下列命題中

（1）有的質(zhì)數(shù)是偶數(shù)；（2）與同一個(gè)平面所成的角相等的兩條直線平行；（3）有的三角形

三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列；（4）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線，其中全稱命題是一

特稱命題是.

5.用符號(hào)“V”與“三”表示下列含有量詞的命題.

（1）實(shí)數(shù)的平方大于等于0：（2）存在一對(duì)實(shí)數(shù)使2x+3y+3<0成立：

6.平行四邊形對(duì)邊相等的否定是

7.命題“存在一個(gè)三角形沒有外接圓”的否定是。

8.把下列命題寫成含有量詞的命題：

（1）余弦定理；（2）正弦定理.

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§2.1.1曲線與方程(1)

2學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解曲線的方程、方程的曲線；

2.求曲線的方程.

2學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材理P34~心6,找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1：畫出函數(shù)y=2f(-14x42)的圖象.

復(fù)習(xí)2：畫出兩坐標(biāo)軸所成的角在第一、三象限的平分線，并寫出其方程.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

探究任務(wù)一：

到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的集合是什么？寫出它的方程.

問題：能否寫成)，=兇，為什么？

新知：曲線與方程的關(guān)系：一般地，在坐標(biāo)平面內(nèi)的一條曲線C與一個(gè)二元方程F(x,>)=0

之間，

如果具有以下兩個(gè)關(guān)系：

1.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)，都是的解；

2.以方程尸(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，都是

的點(diǎn)，

那么，方程"x,>)=0叫做這條曲線C的方程；

曲線C叫做這個(gè)方程F(x,y)=0的曲線.

注意：1。如果……，那么……；

2°"點(diǎn)”與“解”的兩個(gè)關(guān)系，缺一不可；

3。曲線的方程和方程的曲線是同一個(gè)概念，相對(duì)不同角度的兩種說法;

4°曲線與方程的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，是通過坐標(biāo)平面建立的.

試試：

1.點(diǎn)尸(1,。)在曲線/+2.-5y=0上，則.=.

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2.曲線丁+2孫-勿=0上有點(diǎn)Q(l,2),則匕=.

新知：根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程.

派典型例題

例I證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)?k>0)的點(diǎn)的軌跡方程式是孫=±入

變式：到X軸距離等于5的點(diǎn)所組成的曲線的方程是y-5=0嗎?

例2設(shè)A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-1,-1),(3,7),求線段的垂直平分線的方程.

變式：已知等腰三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,3),8(-2,0),C(2,0).中線A。(。為

原點(diǎn))所在直線的方程是x=0嗎？為什么？

反思：BC邊的中線的方程是x=0嗎？

小結(jié)：求曲線的方程的步驟：

①建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用M(x,y)表示曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo);

②寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合尸={M|p(M)}；

③用坐標(biāo)表示條件P,列出方程/(x,y)=0;

④將方程f(x,y)=0化為最簡形式；

⑤說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.

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X動(dòng)手試試

練1.下列方程的曲線分別是什么？

2

x—2

(1)y=—(2)⑶y=

X

練2.離原點(diǎn)距離為2的點(diǎn)的軌跡是什么？它的方程是什么？為什么？

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.曲線的方程、方程的曲線；

2.求曲線的方程的步驟：

①建系，設(shè)點(diǎn)；

②寫出點(diǎn)的集合；

③列出方程；

④化簡方程；

⑤驗(yàn)證.

派知識(shí)拓展

求軌跡方程的常用方法有：直接法，定義法，待定系數(shù)法，參數(shù)法，相關(guān)點(diǎn)法（代入法）,

交軌法等.

派自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.與曲線y=x相同的曲線方程是（）.

A.y=—B.y=\[^

x

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C.y=般D.y=2夠*

2.直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A(3,l),5(-1,3).若點(diǎn)C滿足OC=e0A+夕08,其中a,

/?￡/?.a+p=\,則點(diǎn)C的軌跡為().

A.射線B.直線C.圓D.線段

3.A(l,0),2(0,1),線段AB的方程是().

A.x-y+l=0B.x-y+l=0(0<x<l)

C.x+y-l=0D.x-y+l=0(0<x<l)

4.已知方程依2+勿2=2的曲線經(jīng)過點(diǎn)4(0,6和點(diǎn)則。=,b=.

PA1

5.已知兩定點(diǎn)A(-l,0),8(2,0),動(dòng)點(diǎn)°滿足。=L,則點(diǎn)p的軌跡方程

PB2

是.

課后作業(yè)

1.點(diǎn)A(l,-2),5(2,-3),C(3,10)是否在方程

xy+2y+l=0表示的曲線上？為什么？

2求和點(diǎn)。(0,0),A(c,0)距離的平方差為常數(shù)c的點(diǎn)的軌跡方程.

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§2.1.2曲線與方程(2)

士空刈國冠

1.求曲線的方程；

2.通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).

2學(xué)習(xí)過程

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材理pi6~P37,找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1：己知曲線C的方程為y=2x2,曲線C上有點(diǎn)A(l,2),A的坐標(biāo)是不是y=2V的

解？點(diǎn)(0.5,。在曲線C上，則片.

復(fù)習(xí)2：曲線(包括直線)與其所對(duì)應(yīng)的方程/(x,y)=O之間有哪些關(guān)系?

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

引入：

圓心C的坐標(biāo)為(6,0),半徑為/*=4,求此圓的方程.

問題：此圓有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程.

探究：若|AB|=4,如何建立坐標(biāo)系求Afl的垂直平分線的方程.

派典型例題

例1有一曲線，曲線上的每一點(diǎn)到x軸的距離等于這點(diǎn)到A(0,3)的距離的2倍，試求曲線的

方程.

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變式：現(xiàn)有一曲線在x軸的下方，曲線上的每一點(diǎn)到x軸的距離減去這點(diǎn)到點(diǎn)40,2),的距

離的差是2,求曲線的方程.

小結(jié)：點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離是；

點(diǎn)尸(。/)到y(tǒng)軸的距離是；

點(diǎn)P(l,b)到直線x+y-1=0的距離是

例2己知一條直線/和它上方的一個(gè)點(diǎn)尸，點(diǎn)尸至心的距離是2,一條曲線也在/的上方，它

上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到/的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方

程.

派動(dòng)手試試

練1.有一曲線，曲線上的每一點(diǎn)到x軸的距離等于這點(diǎn)到直線x+y-l=0的距離的2倍,

試求曲線的方程.

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練2.曲線上的任意一點(diǎn)到4-3,0),8(3,0)兩點(diǎn)距離的平方和為常數(shù)26，求曲線的方程.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.求曲線的方程；

2.通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).

X知識(shí)拓展

圓錐曲線的統(tǒng)一定義：

到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線.

0<e<l：橢圓；

e=l：拋物線；

e>i：雙曲線.

2學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

及自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

派當(dāng)堂檢測(時(shí)量：5分鐘滿分：10分)計(jì)分：

57

1.方程(3x-4y-12)[log2(x+2y)-3]=0的曲線經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3),8(0,4),C(4,0),

中的().

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A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2.已知4(1,0),8(-1,0),動(dòng)點(diǎn)滿足

|必-四可=2,則點(diǎn)用的軌跡方程是().

A.y=0(-l<x<l)B.y=0(x>l)C.y=0(x<-l)D.^=0(|^>l)

3.曲線y=與曲線y+W=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)一定是().

A.0個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

4.若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)2。，歷滿足^^^①二%則點(diǎn)2的軌跡方程是

5.由方程+=l確定的曲線所圍成的圖形的面積是.

,課后作業(yè)?

1.以。為圓心，2為半徑，上半圓弧的方程是什么？在第二象限的圓弧的方程是什么？

2.已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,2),過點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C且與直線CA垂直

的直線CB與y軸交于點(diǎn)8.設(shè)點(diǎn)〃是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)”的軌跡方程.

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§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程⑴

i.從具體情境中抽象出橢圓的模型;

2.掌握橢圓的定義；

3.掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

一、課前準(zhǔn)備

(預(yù)習(xí)教材理心8~匕0,文心2~心4找出疑惑之處)

復(fù)習(xí)1：過兩點(diǎn)(0,1),(2,0)的直線方程.

復(fù)習(xí)2：方程(x-3>+(>+1)2=4表示以—為圓心,為半徑的.

二、新課導(dǎo)學(xué)

X學(xué)習(xí)探究

取一條定長的細(xì)繩，

把它的兩端都固定在圖板的同一個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫

出的軌跡是一個(gè).

如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩個(gè)點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子,

移動(dòng)筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？

思考：移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么？

\FlF2)

經(jīng)過觀察后思考：在移動(dòng)筆尖的過程中，細(xì)繩的保持不

變，即筆尖等于常數(shù).

新知1:我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)斗心的距離之和等于常數(shù)(大于忸瑪I)的點(diǎn)的軌跡叫

做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

反思：若將常數(shù)記為24,為什么勿>忻國？

當(dāng)2〃=內(nèi)閭時(shí)，其軌跡為；

當(dāng)2a用時(shí)，其軌跡為.

試試：

己知耳(-4,0),瑪(4,0),到耳，巴兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是

小結(jié)：應(yīng)用橢圓的定義注意兩點(diǎn)：

①分清動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)；

②看是否滿足常數(shù)2a>|耳埒.

新知2：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

二十斗?=l(4>Z?>0)其中從=a2-c2

ah"

若焦點(diǎn)在y軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案

X典型例題

例1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

⑴。=4,6=1,焦點(diǎn)在X軸上；

⑵”=4,c=而，焦點(diǎn)在y軸上；

(3)a+6=10,c=2后.

變式：方程二+上=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的范圍_______________

4m

222

小結(jié)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中：a=b+c;a>b.

例2已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點(diǎn)(3,_|],求它的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

變式：橢圓過點(diǎn)(-2,0),(2,0),(0,3),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案

小結(jié)：由橢圓的定義出發(fā)，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

X動(dòng)手試試

練1.已知MBC的頂點(diǎn)8、C在橢圓/+丫2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的

3'

另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則&4BC的周長是（）.

A.2>/3B.6C.4>/3D.12

練2.方程上-2=［表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

9m

三、總結(jié)提升

X學(xué)習(xí)小結(jié)

1.橢圓的定義：小彗星

2,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：?太陽

派知識(shí)拓展

1997年初，中國科學(xué)院紫金山天文臺(tái)發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起，海爾?波

普彗星將逐漸接近地球，過4月以后，又將漸漸離去,并預(yù)測3000年后，它還將光臨地球上空.

1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現(xiàn)象.天文學(xué)家是如何計(jì)算出彗星出現(xiàn)的準(zhǔn)確時(shí)

間呢？原來，海爾?波普彗星運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，通過觀察它運(yùn)行中的一些有關(guān)數(shù)據(jù)，

可以推算出它的運(yùn)行軌道的方程，從而算出它運(yùn)行周期及軌道的的周長.

「中學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自莪評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：

1.平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)冗、鳥距離之和為常數(shù)2”，則點(diǎn)M的軌跡為（）.

A.橢圓B.圓

C.無軌跡D.橢圓或線段或無軌跡

2.如果方程=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)*的取值范圍是（）.

A.（0,+oo）B.（0,2）

C.（l,+oo）D.（0,1）

3.如果橢圓工+二=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)8的距離等于6,那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)心的距

10036

離是（）.

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案

A.4B.14C.12D.8

4.橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為16,且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于9和15,則橢圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程

是,____________________

5.如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式Jx2+(y+3)2+4￡+(y一3)2=10,點(diǎn)M的

軌跡是，它的方程是.

課后作業(yè)

1.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于4,并且經(jīng)過點(diǎn)?卜,-2#)；

⑵焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(O,T),(0,4),。=5；

(3)。。=10,。-c=4.

2.橢圓工+上=1的焦距為2,求w的值.

4n

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案

§2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程⑵

1.掌握點(diǎn)的軌跡的求法；

2.進(jìn)一步掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.

一、課前準(zhǔn)備

（預(yù)習(xí)教材理尸…尸42,文尸3尸236找出疑惑之處）

22

復(fù)習(xí)1：橢圓上與+5=1一點(diǎn)尸到橢圓的左焦點(diǎn)耳的距離為3,則P到橢圓右焦點(diǎn)鳥的距

離

是.

復(fù)習(xí)2：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,。=6*=后，則橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

二、新課導(dǎo)學(xué)

派學(xué)習(xí)探究

問題：圓f+y?+6x+5=0的圓心和半徑分別是什么?

問題：圓上的所有點(diǎn)到________［圓心）的距離都等于L半徑）；

反之，到點(diǎn)（-3,0）的距離等于2的所有點(diǎn)都在

圓上.

X典型例題

例1在圓x?+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作x軸的垂線段9，O為垂足.當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，線段燈）的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

變式：若點(diǎn)M在加的延長線上‘且黑=|,則點(diǎn)〃的軌跡又是什么？

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案

小結(jié)：橢圓與圓的關(guān)系：圓上每一點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)不變，而縱（橫）坐標(biāo)伸長或縮短就可

得到橢圓.

例2設(shè)點(diǎn)4B的坐標(biāo)分別為（-5,0）,（5,0）,.直線相交于點(diǎn)"，且它們的斜率之積

是一士，求點(diǎn)”的軌跡方程.

9

變式：點(diǎn)A,8的坐標(biāo)是（-1,0）,（1,0）,直線AM,8M相交于點(diǎn)且直線AM的斜率與直線

8M的斜率的商是2,點(diǎn)M的軌跡是什么？

派動(dòng)手試試

練1.求到定點(diǎn)A（2,0）與到定直線x=8的距離之比為等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案

練2.一動(dòng)圓與圓x2+V+6x+5=0外切，同時(shí)與圓f+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心

的軌跡方程式，并說明它是什么曲線.

三、總結(jié)提升

派學(xué)習(xí)小結(jié)

1.①注意求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡，設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出含有點(diǎn)相關(guān)等式；

②相關(guān)點(diǎn)法：尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)與中間%,%的關(guān)系，然后消去題,為,得到點(diǎn)〃的軌跡

方程.

X知識(shí)拓展

橢圓的第二定義：

到定點(diǎn)廠與到定直線/的距離的比是常數(shù)e(0<e<l)的點(diǎn)的軌跡.

定點(diǎn)/是橢圓的焦點(diǎn)；

定直線/是橢圓的準(zhǔn)線；

常數(shù)e是橢圓的離心率.

學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)

派自莪評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較