2020-2021學年北京市朝陽區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年北京市朝陽區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題5分，共50分）.

1.已知復(fù)數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（）

1

A.（1,1）B.（1,-1）C.（-1,1）D.（-1,-1）

2.如圖、在四棱錐中，底面A2CD為矩形，PDL^ABCD,若43=尸。=3,

AD=2,則該四棱錐的體積為（）

A.18B.12C.9D.6

3.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球，2個綠色球，從袋中不放

回地依次隨機摸出2個球，則兩個球顏色相同的概率是（）

1112

A.—B.—C.—D.—

4323

4.設(shè)a,0是兩個不同的平面，n是平面a內(nèi)的一條直線，則是“a，B”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.在△ABC中，%asinB=3bcosA,則/A=（）

6.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧.以袁隆平院士為首的

科學家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽為中國的“第五大發(fā)明”.育種技術(shù)

的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了

巨大貢獻.某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量（單

位：飯）如表：

品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（）

A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大

B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小

C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等

D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定

7.向量W，E，彳，石在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若:_石=入3+以1（入，pi&R）,

則瓦=（）

A.3B.—C.-3D.」

33

8.某中學舉辦知識競賽，共50人參加初試，成績?nèi)绫恚?/p>

成績959085807570656060以下

（分）

人數(shù)146546789

如果有40%的學生可以參加復(fù)試，則進入復(fù)試的分數(shù)線可以為（）

A.65B.70C.75D.80

9.在棱長為1的正方體ABCO-AiSCQi中，若點E是核A3的中點，點M是底面ABCD

內(nèi)的動點，且滿足AiMLGE,則線段AM的長的最小值為（）

A.逅B.C.1D.逅

552

10.已知不共線的平面向量二E，3兩兩的夾角相等，且國=1，國=2,曰=3,實數(shù)已,

入2,入3曰-1,1],則I入1a+入2b+入3cl的最大值為（）

A.炳B.2MC.V21D.5

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

H.已知平面向量；=（2,左），石=（3,2）,且之1,三，則實數(shù)％=.

12.若復(fù)數(shù)2=層+°-2+（a2-1）i為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為

13.某班有42名學生，其中選考物理的學生有21人，選考地理的學生有14人，選考物理

或地理的學生有28人，從該班任選一名學生，則該生既選考物理又選考地理的概率

為.

14.已知一組不全相等的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,現(xiàn)再加入一個新數(shù)10,則新

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),方差_（填“變大”，“變小"，“不變”）

15.已知等邊AABC的邊長為2,。為邊BC的中點，點M是AC邊上的動點，則記?前的

最大值為,最小值為.

16.已知△ABC的三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

①存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角等于另外兩個角的和;

②存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角大于另外兩個角的和;

③存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角等于最小角的2倍；

④存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角等于最小角的3倍.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或明過過程）

222

17.在AABC中，b+c_2^.bc=a.

（［）求cosA的值；

（II）若B=2A,b=V6>求。的值.

18.如圖，在正方體中，點E,尸分別是棱BBi,。。的中點.

（I）求證：平面AEF；

（II）求證：平面ACG4；

（III）判斷點Ci是否在平面AEF內(nèi)，并說明理由.

19.某心理教育測評研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機抽取了"位市民進行心理

健康問卷調(diào)查，將所得評分（百分制）按研究院制定的心理測評評價標準整理，得到頻

率分布直方圖.已知調(diào)查評分在［70,80)中的市民有200人.

心理測評評價標準

調(diào)查評分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等級EDCBA

(I)求w的值及頻率分布直方圖中t的值;

(II)在抽取的心理等級為。的市民中，按照調(diào)查評分的分組，分為2層，通過分層隨

機抽樣抽取3人進行心理疏導.據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)心理疏導后，調(diào)查評分在［40,50)

的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為調(diào)查評分在［50,60)的市民的心理等級轉(zhuǎn)為8的

概率為晟，假設(shè)經(jīng)心理疏導后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏

O

導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率；

(III)該心理教育測評研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均

值不低于0.75,則只需發(fā)放心理指導資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)

據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.(每組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評分+10。)

20.如圖，在銳角△ABC中，BC=V?-D,E分別是邊AB,AC上的點.且。E=2.再

從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并求，

(I)sinC的值；

(II)/BDE的大??；

(III)四邊形BCED的面積.

條件①：AB=3?；

條件②：cosB=W^；

14

條件③：￡C=3.

21.將平面直角坐標系中的一列點4(1,<7i),Ai(2,?2)，An(n,a?),…記為|A”|,

設(shè)/(〃)=AnA/，,其中j為與y軸方向相同的單位向量.若對任意的正整數(shù)〃，都

有f(“+D>/(?),則稱｛A”｝為r點列.

(I)判斷A[(l，1)，卜2(2,,A3(3,-1-)，…，An(n,—),…是否為T

點列，并說明理由；

(II)若｛4｝為T點列，且.任取其中連續(xù)三點4,4+1,4+2,證明△4/U+A+2

為鈍角三角形；

(III)若｛4｝為7點列，對于正整數(shù)鼠I,m(k<l<m),比較A】A/女?/與人mA/J

的大小，并說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出

符合題目要求的一項）

1.已知復(fù)數(shù)z二工（其中，是虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（）

1

A.（1,1）B.（1,-1）C.（-1,1）D.（-1,-1）

附??1+i（1+i）—_1

解：■z=~~:-----.2一］一］，

1-i

???Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是（1,-1）.

故選：B.

2.如圖、在四棱錐尸-ABCL（中，底面A3CD為矩形，尸￡＞，底面A3C。，若42=尸。=3,

AD=2,則該四棱錐的體積為（）

C.9D.6

解：四棱錐尸-ABC。中，底面矩形ABCD的面積為S矩形ABCO=A3?AD=3X2=6,

因為尸。,底面ABC。，所以四棱錐的高為尸。=3,

所以該四棱錐的體積為vHgfSP-ABCD=-^-5=6X3=6.

oO

故選：D.

3.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球，2個綠色球，從袋中不放

回地依次隨機摸出2個球，則兩個球顏色相同的概率是（）

解：從袋中不放回地依次隨機摸出2個球,

以C；X241

則兩個球顏色相同的概率p=

「攵1-12-3,

“3

故選：B.

4.設(shè)a,0是兩個不同的平面，〃是平面a內(nèi)的一條直線，則“〃，占'是“。，0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：nca,若幾_L0,由平面與平面垂直的判定可得a_L0,

反之，若〃ua,a±p,可得〃與0有三種位置關(guān)系，即〃U0或〃〃0或〃與0相交，相

交也不一定垂直，

???是“a，［T的充分不必要條件，

故選：A.

5.在△ABC中，V3asinB=3bcosA,則NA=（）

解：V3asinB=3bcosA,

工由正弦定理，pJWV3sinAsinB=3sinBcosA

■:Be(0,K),

：.sinB^O,tanA二行，

又?.?AE(0,it),

故選：c.

6.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧.以袁隆平院士為首的

科學家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽為中國的“第五大發(fā)明”.育種技術(shù)

的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了

巨大貢獻.某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量（單

位：kg）如表：

品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲900920900850910920

乙890960950850860890

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是()

A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大

B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小

C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等

D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定

解：選項4甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：900+920+900：850+910+920=900,

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：890+960+950：850+860+890=900,

即甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A錯誤，

選項8：甲種的水稻產(chǎn)量分別為：850,900,900,910,910,920,中位數(shù)為也等典=905,

乙種的水稻產(chǎn)量分別為：850,860,890,890,950,960,中位數(shù)為890V905,故B錯

誤，

選項C：甲種的水稻產(chǎn)量的極差為920-850=70,乙種的水稻產(chǎn)量的極差為960-850=

110>70,故C錯誤，

選項。：甲種的水稻產(chǎn)量的方差為：

9QoO1700

^[(850-900)+(910-900)+(920-900)+(920-900)]=智匕，

63

乙種的水稻產(chǎn)量的方差為：7-[(890-900)2+(960-900)2+(950-900)2+(850-900)

6

2+(860-900)2+(890-900)

33

因為甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，而甲種的水稻產(chǎn)量的方差小于乙，故甲種的水稻

產(chǎn)量穩(wěn)定，故。正確，

故選：D.

7.向量；，彳，e2在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若；-E=4e]+ue2(入，"CR),

A.3B.—C.-3D.」

33

解：由圖可知：a=-e?-4e2?b=-2e?-e

；?a-b=（-e04e2）-（-2ei-e2）=e1-3e2-

則入=],n=-3,所以

No

故選：D.

8.某中學舉辦知識競賽，共50人參加初試，成績?nèi)绫?

成績959085807570656060以下

（分）

人數(shù)146546789

如果有40%的學生可以參加復(fù)試，則進入復(fù)試的分數(shù)線可以為（）

A.65B.70C.75D.80

解：因為50X40%=20,且75?95分共有20人，所以進入復(fù)試的分數(shù)線可以定為75.

故選：C.

9.在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCQi中，若點E是核A3的中點，點M是底面A2CD

內(nèi)的動點，且滿足4ALLGE,則線段AM的長的最小值為（）

A.逅B.C.1D.逅

552

解：如圖所示，建立空間直角坐標系，設(shè)4（0,0,1）,Ci（1,1,1）,E0,0）,

M（x,y,0）,

所以不=（X,?-1）,C7E=（-，-1,-1）,

因為AiMLCiE,

所以一點-y+l=0,即點M的軌跡方程為x+2y-2=0,

赤

所以線段AM的最小值為2==^=2乂,

VK+25

故選：B.

a

'，￡，

A'-六----7t

4LZZ1<

10.已知不共線的平面向量』b，q兩兩的夾角相等,且|；|=1,鏟2,兀|=3,實數(shù)入1,

入2,入34-1,1],則仇1a+入2b+入3cl的最大值為（）

A.V3B.273C.V21D.5

解：?.?不共線的平面向量之，b-7兩兩的夾角相等，

平面向量；，E，3兩兩的夾角都為120°,

V|al=l,后|=2,用=3,

々ff3-*一

??a?b=-1'a?c二p，b?c=-3,

|入i4+入入QC|2=入彳+4人立9入g-2入1入了6入入「3入1入Q—

（入4-入Q）+（3入&-入9）2+2入，-3入1入Q,

VA1,入2,入30T,1],

**?當入1=1,入2=1,入3=-1時，|入1a+入？b+入3cl2取得最大值為21,

?**|Ai入2匕+入38的最大值為丁五.

故選：C.

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

11.已知平面向量彳=（2,左），己=（3，2）,且則實數(shù)仁-3.

解：:ab，

a?b=6+2k=0,解得％=-3?

故答案為：-3.

12.若復(fù)數(shù)Z=〃2+〃-2+（屏一1），為純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為-2.

解：:復(fù)數(shù)z=a2+a-2+（a2-1）i為純虛數(shù)，

.a2+a-2=0

??〈，解得a=~2.

、a-1卉0

故答案為：-2.

13.某班有42名學生，其中選考物理的學生有21人，選考地理的學生有14人，選考物理

或地理的學生有28人，從該班任選一名學生，則該生既選考物理又選考地理的概率為

1

%一，

解：設(shè)既選考物理又選考地理的學生有無人，

則只選物理的人數(shù)為21-x人，只選地理的人數(shù)為14-x人,

所以選考物理或地理的學生人數(shù)為21-x+14-x+x=28,解得x=7,

故所求事件的概率為

426

故答案為：

6

14.已知一組不全相等的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,方差為2,現(xiàn)再加入一個新數(shù)10,則新

樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，方差變小.（填“變大”，“變小”,“不變”）

解：設(shè)原來的一組數(shù)據(jù)有〃個，分別為處，％2,???,工〃，

則有X1+X2+,??+xn=1On,

22

方差s2=--[（X1-10）+（冗2-10）+???+Cxn-10）2],

n

222

所以（即-10）+（%2-10）2+???+（xn-10）—ns,

加入一個新數(shù)10后，

平均數(shù)為士（xi+x2+---+x?+10）=lUn+lU.=io,

n+in+1

故平均數(shù)不變；

新的方差s2'=——[（X1-10）2+（X2-10）2+***+（X,1-10）2+（10-10）2]

n+1

故方差變小.

故答案為：不變；變小.

15.已知等邊3c的邊長為2,￡＞為邊2C的中點，點M是AC邊上的動點，則而?證的

最大值為3,最小值為—.

解：以AC所在的直線為x軸，AC的中點為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系,

?.?等邊△ABC的邊長為2,。為邊BC的中點，

AA(-1,0),8(0,立)，C(1,0),零)，

設(shè)點M的坐標為0),TWxWl,

?'-MC=(l-x,0)，MD=(y-x,零),

?'-MD?MC=(1-x)(y~x)=x2-yx-t-j->

設(shè)/(x)=x2TWxWl,

?.?函數(shù)/(x)的對稱軸為x=4，

4

：.f(x)在區(qū)間［-1,單調(diào)遞減，在區(qū)間31］單調(diào)遞增,

當X=T時，f(x)max=f(-1)=3,

當x=t時,

故答案為：3,-

16

16.已知△ABC的三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

①存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角等于另外兩個角的和；

②存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角大于另外兩個角的和；

③存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角等于最小角的2倍；

④存在滿足條件的三角形，使得三個內(nèi)角中的最大角等于最小角的3倍.

其中所有正確結(jié)論的序號是①②③.

解：根據(jù)題意，設(shè)△ABC的三邊長依次為w-1,n,n+\,設(shè)最大角為A,最小角得B,

對于①，當”=4時，△ABC的三邊長依次為3,4,5,此時△ABC為直角三角形，三個

內(nèi)角中的最大角等于另外兩個角的和，①正確；

對于②，當〃=3時，△ABC的三邊長依次為2,3,4,cosA=2+9二”-VO,為鈍角三

角形，三個內(nèi)角中的最大角大于另外兩個角的和，②正確;

對于③，當〃=5時，，△ABC的三邊長依次為4,5,6,854=學曄誓=[,cosB

2x4x58

_25+36-16_3

-2X5X6一1

有cosA=2cos2B-l=cos2B,則有A—2B,③正確;

對于④，假設(shè)存在符合題意的三角形，則A=3B,則有=4~=與二

sinAsinB

322

又由A=3Bf則sinA=sin33=3sinB-4sinB,變形可得3-4sinB—,變形可得sinB

n-1

]該式不會成立,

2(n-1)

故不存在使得三個內(nèi)角中的最大角等于最小角的3倍的三角形，④錯誤;

故答案為：①②③.

三、解答題(本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或明過過程)

在△中，222

17.ABCb+cc=a.

(I)求cosA的值;

(II)若B=2A,b=捉，求〃的值.

22

解：(I)?.?在△ABC中，b+c=a

22

又???由余弦定理，可得cosA=b3

2bc

娓,

TbcV6.

cosA-

2bc4

(II)由(I)知,0<A<T-

sinA=：l-cos"W^

?.,8=2A,

?.D-O*O-AA、，巫

??sinB=sin2A=2sinAcosA=2X~;-X——=~—

444

ab

又,**9

sinAsinB

T目2

4

18.如圖，在正方體ABC。-ABiCi。中，點、E,尸分別是棱BBi,的中點.

(I)求證：BD〃平面AEB

(II)求證：EF，平面ACC14；

(III)判斷點Ci是否在平面AEE內(nèi)，并說明理由.

Di

解：(I)因為在正方體ABCO-AiBCQi中，點、E,廠分別是棱BBi,的中點,

所以BE〃DF,BE=DF,

所以四邊形8E尸。為平行四邊形，所以BO〃EF,

又因為BDC平面AEF,Eft平面AER

所以8。〃平面AEF.

(II)因為在正方體ABCD-ALBICLDI中，A4i_L平面ABC。，

所以

因為四邊形ABCD為正方形，所以ACJ_2。，

又由(I)知

所以EF_LA4i,EFLAC,

又因為ACAAAi=A,

所以政，平面ACCiAi.

(Ill)點Ci在平面AEP內(nèi)，理由如下：

取CG中點G,連接GB,FG,ECi,

因為在正方體ABCD-AiBiGOi中，點G,尸分別是棱CG,DA的中點，

所以D尸〃CG,DF=CG,

所以四邊形DCGP為平行四邊形.所以FG〃DC,FG=DC,

又因為AB〃OC,AB^DC,

所以AB〃PG,AB=FG,

所以四邊形ABGF為平行四邊形.所以A尸〃BG,

因為在正方體ABCD-AIiCid中，點EG分別是棱CG的中點，

所以BE〃GCi,BE=GCi,

所以四邊形BGCiE為平行四邊形.所以BG〃EG,

所以ECi〃AF,

故點G在平面AEF內(nèi).

19.某心理教育測評研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機抽取了“位市民進行心理

健康問卷調(diào)查，將所得評分（百分制）按研究院制定的心理測評評價標準整理，得到頻

率分布直方圖.已知調(diào)查評分在［70,80）中的市民有200人.

心理測評評價標準

調(diào)查評分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等級EDCBA

（I）求"的值及頻率分布直方圖中t的值;

（II）在抽取的心理等級為。的市民中，按照調(diào)查評分的分組，分為2層，通過分層隨

機抽樣抽取3人進行心理疏導.據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)心理疏導后，調(diào)查評分在［40,50）

的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為二，調(diào)查評分在［50,60）的市民的心理等級轉(zhuǎn)為8的

概率為,，假設(shè)經(jīng)心理疏導后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏

導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率；

（III）該心理教育測評研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均

值不低于0.75,則只需發(fā)放心理指導資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)

據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.（每組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評分+10。）

解：(I)由已知條件可得n=o0哭］0=1000,又因為每組的小矩形的面積之和為1.

所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8?)X10=l,解得0.002；

(II)由(I)知:/=0.002,

所以調(diào)查評分在［40,50)中的人數(shù)是調(diào)查評分在［50,60)中人數(shù)的

若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在［40,50)中有1人，在［50,60)中有2人，

設(shè)事件加="在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為8”.

因為經(jīng)心理疏導后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，

所以P(M)

所以

故經(jīng)心理疏導后至少有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為目；

O

(III)由頻率分布直方圖可得，

45X0.02+55X0.04+65X0.14+75X0.2+85X0.35+95X0.25=80.7.

估計市民心理健康調(diào)查評分的平均值為80.7,

所以市民心理健康指數(shù)平均值為%-=0.807>0.75.

所以只需發(fā)放心理指導材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.

71

20.如圖，在銳角△A3C中，BC=W，D,E分別是邊AB,AC上的點.且?！?2.再

6

從條件①、條件②、條件③中選擇兩個能解決下面問題的條件作為已知，并求,

(I)sinC的值；

(II)的大??；

(III)四邊形BCED的面積.

條件①：AB=3?；

條件②：cosB

14

條件③：EC=3.

解：選條件①③時，

(I)因為BC=A/7,研=3。^,

0

又因為在△ABC中，

sinCsinA

所以.cABsinA3^X-23亞.

sinC=~^~=V7F-

(〃)因為AABC是銳角三角形，由(I)知式延=@&，

14

所以cosC=Y1-sin2c=^-

在△ABC中，因為A^ugC2+AC2-2BCACcosC,

所以27=7+AC2-2V?ACX^，即AC2-AC-20=0，

解得AC=5.

又因為EC=3,所以AE=2.

又因為￡(E=2,

所以NADE=A==.故NBDE=@0?

66

(III)因為AB=3畬，A-y,由(II)知AC=5,

所以SAABC^ABAOsinA鳥巨.

iAADb2A

OTT

又因為NAED=NBDE-A*-，

0

所以Sa&E亭EDEsin/AED嗯

所以四邊形的面積為邛?

BCEDSAABC-SAADE

選條件②③時，

(I)因為A=_^~,cosB=-^^->

614

所以0<B(當,sinB=V1-COS2B

所以sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA義X'21X工=

14214214

廠5VL

(II)由(])及正弦定理：手=呼得AC=?」s1nB=7__±=5，

sinBsinAsinA工

~2

又因為￡C=3,所以A￡=2,

又因為。E=2,所以NADE=A=3故NBDE=@2.

(III)因為△ABC是銳角三角形，由(I)知S1加=為巨，

14

所以cosC=41-sin2c=^.

由余弦定理得：AB2=BC2+AC2-2BC-AC-cosC=7+25-2x5xJ=27，

14

解得:AB=3?.

所以SAABC與BAC-sinA若反，

9jr

又因為NAED=NBDE-A*-，

o

所以SAADE卷杷DEsinZAED^.

所以四邊形BCED的面積為Saabc-SAADE邛?

21.將平面直角坐標系中的一列點Ai(1,<2i),Ai(2,。2)，An(n,an),…記為|A〃|,

設(shè)/(")=AnA什，,其中j為與〉軸方向相同的單位向量.若對任意的正整數(shù)"，都

有，(〃+1)>/(〃)，則稱｛4｝為T點列.

(I)判斷