個(gè)人數(shù)學(xué)思想心得

說明：這是我2008年11月到2010年6月做的一些教學(xué)筆記，雖然比較凌亂，卻真實(shí)地記載了這

一年多來教學(xué)上的所思所想。平日的教學(xué)中多一點(diǎn)這樣的思考，我認(rèn)為是有益的。

1、多取一位近似值夠不夠？[2008-11-5]

在“近似數(shù)和有效數(shù)字”的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常面對(duì)以下的問題：計(jì)算3行+4癡（保留2位小

數(shù)），如果不完全借助于計(jì)算器，筆算的解決方法是，讓計(jì)算過程比要求的結(jié)果多保留一位小

數(shù)，然后在最后一步再次近似，這樣才能得到精確的結(jié)果.解法如下：

3M+4^6-3x2.236+4x2.449=16.504=16.50.

這種“比結(jié)果多保留一位”的做法是不是一定有效呢？且看一個(gè)例子.

例、計(jì)算1°也+96（保留1位小數(shù)）.

我們在計(jì)算過程中分別保留1位、2位、3位小數(shù)，各自得到33.8、34.17、34.264.按照上面

“多保留一位”的做法，10匹+9后々34.17々34.2,而事實(shí)上，1°行+9后=34.2667…M4.3,剛才

還是做錯(cuò)了！

一一般地，我們按照要求對(duì)實(shí)數(shù)取近似值時(shí)，可以使用計(jì)算器，計(jì)算器上總能顯示足夠多

的位數(shù)，就保證了我們需要的結(jié)果足夠精確.如果沒有計(jì)算器，那么不妨多保留幾位.

2、"欲窮千里目，更上一層樓”？[2008-11-5]

蘇科版八年級(jí)上冊P.53給出的例3是一個(gè)勾股定理的應(yīng)用問題，原題如下：

“欲窮千里目，更上一層樓.”說的是登得高看得遠(yuǎn).如圖，若觀測點(diǎn)的高度為h,觀測者視線

能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為d,貝必"屈，其中R是地球半徑（通常取6400km）.小麗站在海邊一塊巖

石上，眼睛離海平面的高度h為20m,求此時(shí)d的值.

h

直接代入數(shù)據(jù)求值，dx72x0.02x6400=V256=16km.看來該問題很簡單.

我們追問一下，為什么有這個(gè)公式同R呢？且為什么是心”呢？

重新畫出右邊的圖形，就是人站立位置到他的“地平線”的距離，因此AC,半徑OC,

利用勾股定理，（R+"）2=R2+"2,化簡得1=2秋+",即+.

由于R=6400km,h=0.02km,2Rh+h'=2x6400x0.02+0.004=256+0.0004?看這最后兩

個(gè)加數(shù)，0.0004相對(duì)于256很小，而,256.0004“16.0000125,因此在開平方時(shí)可以略去而不

致明顯影響結(jié)果的精確性.當(dāng)h相對(duì)于R很小時(shí)，近似公式可以給出很精確的結(jié)果.

謎團(tuán)解開了，我們是否追問一下：要想真的看到千里遠(yuǎn)，必須登上多高呢？1000里=500km,

,d22

/h—___—____5_0_0____

代入d3hR,得至|j一2R-2x6400=19.53125kmu20km.世上大約不會(huì)出現(xiàn)20km高的大樓

吧？世界屋脊珠穆朗瑪峰的高度也不過是8848m=8.848km,看來，登上珠峰也不能看到千里

遠(yuǎn).

再假設(shè)一下，如果真的能站到這么高，一定能看到那么遠(yuǎn)嗎？研究發(fā)現(xiàn)，人眼的分辨角

（即剛好能分辨開的兩個(gè)物點(diǎn)對(duì)瞳孔中心的張角）正比于光波的波長，反比于瞳孔的直徑.而

瞳孔直徑是有限的，可以在1.4?8毫米之間調(diào)節(jié)，因此，人眼不能看見很近的物體，也不能

分別很遠(yuǎn)的物體.在正常情況下，眼睛的分辨角約為3分，這相當(dāng)于分辨在1公里遠(yuǎn)處相距為75

厘米的兩個(gè)物點(diǎn)，那么要看清楚500km遠(yuǎn)的某個(gè)物體，那么這個(gè)物體的高度至少要有375米，

至少是一座不小的山丘了，這還沒有考慮空氣的可見度呢.

3、滑落的梯子[2008-11-6]

蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊P.47習(xí)題：長2.5米長的梯子靠在墻上，梯子底部離墻的底端1.5m,

求梯子頂端與地面的距離h.

用一次勾股定理可以知道h=2m.讓我們追問一下：如果梯子頂端沿著墻壁下滑0.5米，則底

部向外滑動(dòng)多少？計(jì)算一下，知道底部也向右滑動(dòng)0.5m.

那么是不是上下段滑動(dòng)的距離總是相等呢？答案是不一定，比如頂端向下滑動(dòng)1.3m時(shí)，

h=0.7m,則底端距離墻壁2.4m,故底端向右滑動(dòng)2.4-1.5=0.9m.

對(duì)這個(gè)問題還可以繼續(xù)提問：把墻壁和地面看做坐標(biāo)系的第一象限，梯子看做一條固定

長度的線段，那么梯子在滑落過程中每一時(shí)刻可以看做是一條曲線的切線，也就是說，梯子

的位置構(gòu)成了某一曲線的包絡(luò)，這條曲線是什么？

答案是：星形線在第一象限內(nèi)的部分.中間的圖形畫出了整個(gè)的星形線，易見它關(guān)于x軸、

y軸以及一三、二四象限的角平分線對(duì)稱.星形線可以看做一個(gè)小圓內(nèi)切于一個(gè)大圓無滑動(dòng)滾

動(dòng)一周時(shí)，小圓上某點(diǎn)的軌跡，小圓半徑是大圓半徑的四分之一.星形線在任意點(diǎn)的切線夾在

坐標(biāo)軸之間的部分等于大圓的半徑R,因此如果讓梯子沿著墻壁滑落，那么形成一簇直線，星

形線就是該直線簇的包絡(luò)，右圖顯示了這一過程.

有些公共汽車的門比較特殊，它不是對(duì)開的兩扇，而是兩扇都由相同的兩半用錢鏈相連.

開關(guān)門時(shí)，靠門軸的一半繞著門軸旋轉(zhuǎn)，另一半的外端則沿著連接兩個(gè)門軸的滑槽滑動(dòng)，開

門時(shí)兩扇合攏為半扇，關(guān)門時(shí)又伸展為一扇.這種門有一個(gè)好處：開關(guān)車門需要的空間很小，

因而在乘運(yùn)高峰時(shí)可以多運(yùn)乘客.由于車門的總寬度為2a,因此車門在滑動(dòng)過程中任意位置的

包絡(luò)線就是上面的星形線在第一象限內(nèi)的一部分.根據(jù)對(duì)稱性，半截車門活動(dòng)的包絡(luò)又是這段

星形線的下半部分.經(jīng)過計(jì)算，這種車門活動(dòng)范圍只是普通車門的上.

這里我們還可以提出一個(gè)問題：在下滑的過程中，何時(shí)梯子與墻壁夾成的三角形面積最

大？答案是：三角形為等腰直角三角形，還可以計(jì)算出最大面積與梯子長度之間的關(guān)系。

"2/3,、，2/3n2/3

星形線的直角坐標(biāo)方程是x+y=R，其中R是外接圓的半徑.參數(shù)方程是

x=Rcos'°,y=Rsin3°,夕是參數(shù).小圓內(nèi)切于大圓自由地滾動(dòng)時(shí)，圓上任一點(diǎn)構(gòu)成的軌跡

叫做大圓的內(nèi)擺線(也叫做圓內(nèi)螺線)，根據(jù)大小圓的半徑的比例，可以得到不同形狀的內(nèi)擺

4、切出幾個(gè)相似形？

問題：AABC的邊AB上有一點(diǎn)D,過D作一條直線切割三角形，所得三角形與原三角形相

似，這樣的截線有兒條?

答案可以分成兩類：⑴比較容易想到的有2個(gè)：作DE〃BC,或DF〃AC,則

△ADEsaABCsaDBF.(2)不太容易想到的答案也有2個(gè)：過D作N1=N2=NC,則

△AHDs/^ABCsaGBD.如下圖所示.

4

注意到該圖形中N1=N2,因此，兩條截線DG、DH關(guān)于AB的垂線DN對(duì)稱.或者，我們也

可以把DG和DH看作是一組入射光線與反射光線，它們關(guān)于法線DN對(duì)稱.

這兩個(gè)答案是不是一直存在呢？注意到N1=N2=NC,因此當(dāng)NC=90°時(shí)，DG與DH重合于

AB的垂線DN,這時(shí)，問題一共有3個(gè)答案，如下圖所示.右圖是特殊情形.

5、三角形的角平分線、中線和高線的位置關(guān)系

求證：三角形從同一頂點(diǎn)出發(fā)的角平分線位于中線與高線之間（三線合一的情形除外）.

證明：為了清晰起見，我們先考慮銳角三角形，如圖，AD是高線，AE是角平分線，AF

是中線，并且AB>AC,因此NONB,cosC〈cosB.

BD_AB?cosB_ABcosB〉A(chǔ)B_BE〉〔_BF

則CDAC-cosCACcosCACCECF

以上式子表示E在F和D之間.

如果AABC是鈍角三角形，且NA是鈍角，證明過程同上；

如果AABC是鈍角三角形，且NC是鈍角，則BC邊上的高線在形外，AB>AC,根據(jù)以上

證法，也有結(jié)論成立；

如果AABC是直角三角形，則D與C重合，同理亦有結(jié)論成立.

6、有關(guān)三階幻方的兩個(gè)問題

三階幻方最早見于我國的“河圖洛書”，然而理論化的研究則在楊輝的《詳解九章算術(shù)》

中才有較多記載.直至近代，數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展，作為組合數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，對(duì)幻方的系統(tǒng)研究已

經(jīng)到了很高的水平.但是，它更多的用處是作為一個(gè)數(shù)學(xué)游戲被數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)愛好者們津津

樂道（比如金庸先生在《射雕英雄傳》中就提到了這一問題），但是在現(xiàn)實(shí)生活中并沒有廣

泛的應(yīng)用.我們這里介紹的是基于三階幻方而構(gòu)造的兩個(gè)有趣的問題.

⑴、數(shù)十五游戲

桌子上放有標(biāo)上數(shù)字1?9的9張牌，二人對(duì)局游戲，輪流從中取牌，誰先取得3張牌的號(hào)碼

之和等于15,誰就贏得該局.

圖6

這個(gè)游戲其實(shí)是考你是否記得一個(gè)三階幻方.事實(shí)上，每一個(gè)贏的組合都是幻方中的一

行、一列或一斜行.

因此這個(gè)問題也可以修改為劃井游戲：在九宮格內(nèi)放石子，誰最先擺成一行3個(gè)就贏.在

此意義上，劃井游戲“同構(gòu)”于一個(gè)三階幻方.

在進(jìn)行該游戲時(shí)，如果玩得正確就不會(huì)輸.如果兩個(gè)對(duì)手都玩得正確，則就是平局.當(dāng)然，

如果雙方都明白了游戲的訣竅所在，大約下次再也沒人愿意玩啦.

(2)、誰是最優(yōu)？

我們知道，圍棋手共有九段，一般地，我們假設(shè)低段的棋手總是敵不過高段的棋手.

現(xiàn)在有3個(gè)圍棋隊(duì)，每隊(duì)有3個(gè)選手，實(shí)力分別是：甲隊(duì)(4,9,2)；乙隊(duì)(3,5,7);丙隊(duì)

(8,1,6).括號(hào)里的數(shù)字分別代表隊(duì)員的段位，比如甲隊(duì)選手分別是4段、9段、2段，等等.你

可以讓這三隊(duì)選手坐成3行，那么9人就構(gòu)成了三階幻方.

現(xiàn)在讓這3個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，即每個(gè)隊(duì)的每個(gè)選手都與其它隊(duì)的每個(gè)選手下棋,

因此每2個(gè)隊(duì)共需比賽9場.從三階幻方可以看出來，甲隊(duì)與乙隊(duì)比賽，甲勝4局，乙勝5局，因

此乙隊(duì)勝出，我們用乙》甲表示.類似地，乙隊(duì)與丙隊(duì)比賽，乙隊(duì)勝4局，丙隊(duì)勝5局，因此有

丙》乙.按照常理，3個(gè)人比個(gè)子高矮，A比B高，B比C高，顯然有A比C高.我們?nèi)绻堰@種

傳遞關(guān)系應(yīng)用到這里的圍棋比賽上，就有閃》乙》甲，因此你立刻就得到“丙隊(duì)強(qiáng)于甲隊(duì)''的

結(jié)論.

別忙，我們還沒有認(rèn)真地比較丙隊(duì)與甲隊(duì)呢.現(xiàn)在來看一下，丙隊(duì)(8,1,6)與甲隊(duì)(4,9,

2)作戰(zhàn)，丙隊(duì)勝4局，而甲隊(duì)勝5局，因此甲隊(duì)強(qiáng)于丙隊(duì).與上面的結(jié)果恰好相反！

問題出在哪里呢？

正確的解釋應(yīng)該是：我們不能像比較高矮個(gè)子那樣比較每隊(duì)的成績，常識(shí)引導(dǎo)我們在這里犯

了"想當(dāng)然''的錯(cuò)誤.具體點(diǎn)說，我們這里制定的圍棋比賽的規(guī)則不能應(yīng)用于真正的對(duì)局，否則

就會(huì)出現(xiàn)“人人都是贏家”的尷尬.這是不是有點(diǎn)像“剪刀、石頭、布”的游戲？而我們借助于三

階幻方舉出該例子的目的是為了說明一個(gè)道理：社會(huì)科學(xué)中很多問題(比如選舉問題)不能用

通常的方式去理解，它屬于專門的數(shù)學(xué)分支，需要用到一些專門的理論(比如選舉理論)去研

究，這就需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)了.

7、如何理解概率的穩(wěn)定性？

隨機(jī)事件發(fā)生的概率是一個(gè)客觀值，它由事件本身決定，因此是精確的.比如拋擲一枚均

勻的硬幣得到正面的概率為0.5,拋擲一個(gè)均勻的骰子，得到3點(diǎn)的概率為六分之一，等等.

當(dāng)隨機(jī)事件的概率不易直接計(jì)算時(shí)，需要通過實(shí)驗(yàn)的頻率來估計(jì)概率.頻率是一個(gè)實(shí)驗(yàn)

值，不同的人、甚至同一人在不同的時(shí)間做同一實(shí)驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率未必相同(甚至不同的

可能性很大)，但是，概率論的研究表明，不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果下面，所體現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定性趨勢

是一樣的.我們可以用穩(wěn)定時(shí)的頻率作為概率的估計(jì)值.那么什么是頻率的穩(wěn)定性呢？

在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出“先波浪起伏，后風(fēng)平浪

靜”的趨勢，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)在某?個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，通常實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，擺動(dòng)

幅度越小，這種性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.而那個(gè)常數(shù)就是事件發(fā)生的概率.

因此，為了獲得一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率，我們可以大量做實(shí)驗(yàn)，把穩(wěn)定時(shí)的頻率值作

為概率的近似值.歷史上一些著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家做的拋硬幣的實(shí)驗(yàn)有力地證實(shí)了這一點(diǎn).

統(tǒng)計(jì)學(xué)家歷次拋硬幣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)次數(shù)n正面朝上的次數(shù)m正面朝上的頻率m/n相對(duì)誤差

布豐404020480.50691.38%

德?摩根409220480.50050.1%

費(fèi)勒1000049790.49790.42%

皮爾遜1200060190.50160.32%

皮爾遜24000120120.50050.1%

羅曼諾夫斯基80640396990.49231.54%

從以上表格中可以發(fā)現(xiàn)(1)在充分多次的實(shí)驗(yàn)下，頻率確實(shí)可以很好地估計(jì)概率；(2)當(dāng)實(shí)

驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，頻率未必更加接近概率，甚至可能出現(xiàn)“反彈”，這是正常的.比如羅曼諾夫斯

基做了80640次實(shí)驗(yàn)，結(jié)果卻不如德.摩根的4092次精確.

我們在學(xué)習(xí)概率的穩(wěn)定性的時(shí)候，需要避免一些想當(dāng)然的錯(cuò)誤，比如說“求平均數(shù)因?yàn)?/p>

我們假設(shè)每次實(shí)驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，不同次的實(shí)驗(yàn)頻率之間并無關(guān)系，因此頻率的穩(wěn)定性蘊(yùn)

含了一點(diǎn)：穩(wěn)定時(shí)的頻率值并不依賴于前幾次的頻率值.求算術(shù)平均數(shù)的做法當(dāng)然是錯(cuò)誤的.

當(dāng)實(shí)驗(yàn)此時(shí)越來越大時(shí)，實(shí)驗(yàn)的頻率恰好等于預(yù)期的概率的可能性極小，更準(zhǔn)確的說法是：

越來越小.比如，拋擲硬幣時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率恰好是0.5的可能性隨著N的增加而越來越小.

8、面積哪里去了？

上圖經(jīng)過分割以后，重新拼成下圖，看似沒有什么變化，但面積卻少了一塊，這是為什

么呢？

仔細(xì)觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，上面兩個(gè)“三角形''的斜邊似乎都有點(diǎn)問題.用尺子量一下，發(fā)

現(xiàn)它們其實(shí)都不是直線段，上面的向三角形內(nèi)部凹了點(diǎn)，下面的則向三角形外部突出一點(diǎn).一

里一外，就造成了上下兩幅圖形的面積之差為L

如果這樣就算找到問題的答案了，還不能算是清晰.比如一個(gè)問題是：你怎么知道一個(gè)向

里凹另一個(gè)外凸呢？

計(jì)算直線AB的斜率是3/8,直線BC的斜率是2/5,直線AC的斜率是5/13,斜率不相等表明

AB、BC、AC不是相同的直線，簡言之：A、B、C不共線.直線的斜率越大表明直線的傾斜角

越大，因此BC的傾斜角〉A(chǔ)B的傾斜角，這就造成了折線ABC向三角形內(nèi)部凹的結(jié)果；類似地,

下面的圖形中，折線CAB向外凸出.二者拼在一起構(gòu)成了一個(gè)平行四邊形，其面積恰好是1,

這就是“丟失的面積”.

再看下面這個(gè)問題：邊長為8的正方形按照左邊的方法分割以后，重新拼接成右邊的圖形,

面積多了1個(gè)(由64“增加”到T65),為什么？

和上面問題的解法一樣，我們在右圖中計(jì)算一下直角梯形地斜腰AB和直角三角形的斜邊

AC和BC的斜率，為此需要作出直角梯形的高線BD,于是，AD=2,BD=5,BE=3,CE=8,注意至

AD:BD=2:5,BE:CE=3:8,AF:FC=5:13,三者均不相等，表明A、B、C不共線.而且，右圖的矩形

對(duì)角線AC的位置其實(shí)有一個(gè)很扁的平行四邊形空隙——其面積正好是1,這就是多出來的1.

注意到圖形中的數(shù)據(jù)：2、3、5、8、13,都是Fibonacci數(shù)(1,1,2,3,5,8,13,21,…)，上圖的意

思是82=5x13-1,這是Fibonacci數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)彳="t.工川+(-1)'川的應(yīng)用而已.

9、如何作出三角形的內(nèi)接正方形？

問題：要想在三角形內(nèi)作出一個(gè)內(nèi)接矩形是很容易的，而且這樣的矩形可以作出無數(shù)多

個(gè)，-一般情況下，這個(gè)矩形不會(huì)是正方形.那么，如何才能準(zhǔn)確地作出一個(gè)內(nèi)接正方形呢？

我們嘗試沿著BC邊先作一個(gè)任意的正方形—不管第4個(gè)頂點(diǎn)E是否在AC上，然后觀察,

我們需要的正方形(陰影部分)與它有沒有什么關(guān)系.

如果你還看不出來，不妨把連起來，你發(fā)現(xiàn)了什么？8、E、”正好共線！的確如此，

不管你任意作出的正方形OEPG在什么位置,它與將要作出的ZkABC的內(nèi)接正方形"7町都是

位似的，位似中心就是點(diǎn)氏(思考一下，為什么？)

因此作法就有了：任意作出一個(gè)正方形OE尸G,再連接BE并延長交AC于點(diǎn)再以H為

頂點(diǎn)作出正方形小燈的其他頂點(diǎn).

下面這種方法也很巧妙：如果要使得正方形的一邊在BC邊上，我們先以BC為邊在aABC

的異側(cè)作一個(gè)正方形BCDE,連接AE、DA交BC于G、F,那么正方形FGIH就是所求.利用相似

三角形可以證明這一點(diǎn).

完成了這個(gè)問題，我們可以想到更多.

(1)如何作出長：寬=2：1的矩形？

(2)在△ABC上作出一個(gè)內(nèi)接使得OE—的三邊分別與已知△PQR的三邊分別平

行？(特殊地，如何作出一個(gè)內(nèi)接正三角形？)

我們來完成(2).開始也要嘗試，如圖，我們先在AB、AC上取Di、E],使得D|E|〃PQ,再作

D|F1〃PR,E|F]〃QR,可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)F1未必正好落在BC上，這是問題的難點(diǎn)。如果多試兒次可

以發(fā)現(xiàn)，這樣的日都在由A出發(fā)的同一?條射線上，且△。閩KSAPQR,因此所有這樣的

△。百片是以A為位似中心的一組位似三角形。根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在經(jīng)過位似中

心的直線上，因此記AF|與BC的交點(diǎn)為F,從F作DF〃PR,EF〃QR,交點(diǎn)分別在AB、AC±,

則4DEF就是所求的三角形。

(3)△ABC的三邊上都可以類似地作出一個(gè)內(nèi)接正方形，計(jì)算一下，哪個(gè)正方形的面積最

大？

h-xh--=—ha2xS=-------

解答：如圖，設(shè)5C=?,高4H=/z,內(nèi)接正方形的邊長是x,則xx,算出h+a=h+a,

其中S是三角形的面積.由公式可見，內(nèi)接正方形的大小由三角形的邊長以及該邊上的高線長

度之和&+?決定.對(duì)于具體的三角形，我們可以通過計(jì)算比較，得出最大內(nèi)接正方形是在哪條

邊上.

2s2S=42S

因?yàn)槿??三2癡"=2后，因此“一/2+。局2,兩邊平方，則正方形的面積

S_

^<2,即三角形的內(nèi)接正方形的面積最大值為三角形面積的一半，而這個(gè)值也是三角形內(nèi)接

矩形面積的最大值.

10、完美正方形與完美矩形[2008-11-13]

如果可以把一個(gè)正方形分割為若干個(gè)大小不同的小正方形，那么這個(gè)正方形就叫做完美

正方形.如果把一個(gè)矩形分割為若干大小不同的正方形，這樣的矩形叫做完美矩形.容易知道，

如果允許一些正方形相同，對(duì)應(yīng)6,任意正方形都可以分解為若干個(gè)小正方形，下面給出了n=6、

7、8的情形，對(duì)應(yīng)9,只要依次再把某一個(gè)正方形繼續(xù)分割就行了.基于這一點(diǎn)，完美正方形存

在的意義就在于要求分割為大小不同的正方形.

24-夕“wvperfedsqiiare

11、解題研究1[2008-11-13]

△ABC中，AD是中線，分別以AB、BC為邊向外作正方形，求證：FN=2AD.

B

解法：延長AD到G,使得DG=AD,則有平行四邊形ABGC,再證明aABG烏ZXFAN(SAS),

因此FN=AG=2AD.

分析：根據(jù)結(jié)論，作出AAFN的中線A0,那么有4ABD烏△FAO,AANO^ACAD(SAS).

因此AAFN與aABC組成相等(分割以后重新組合).更基本的結(jié)論是：它們的面積相等，而這

一點(diǎn)可以由正弦定理立即得到.

動(dòng)態(tài)地觀察這兩對(duì)三角形，它們可以分別繞兩個(gè)正方形的中心P、Q旋轉(zhuǎn)得到.而旋轉(zhuǎn)圖形

的對(duì)應(yīng)線段夾角等于旋轉(zhuǎn)角，因此ADJ_FN,很容易地就得到了這個(gè)結(jié)論.

我們看圖形的構(gòu)造，AABC的中線垂直于FN,反過來，AAFN的中線也垂直于BC,二者

是對(duì)稱的。

通過幾何畫板，可以發(fā)現(xiàn)：OPDQ是一個(gè)正方形！不難證明如下：易知PO_LPD,且

PO=PD;QO±QD,且QO=QD,那么aPOQgZxPDQ,因此NPOQ=ZPDQ=90°,進(jìn)而得到正方形.

另一種方法是連接CF、BN,證明AAFC四△ABN(SAS),得到CFJ_BN,再利用中位線定理,

PD1DQ,且PD=DQ,于是得到結(jié)論.參見右圖.

下面這個(gè)問題與剛才分析的結(jié)果有點(diǎn)關(guān)系.

左圖中的正方形面積分別是17、10、13.右圖中DPQR為矩形，對(duì)照圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算左

圖中六邊形ABCIGH的面積.

△DEF的邊長分別是何，而，麗，根據(jù)右圖其面積等于5.5,WABDC.AAEH.AGFI

的面積都等于4DEF的面積，因此總面積等于17+13+10+5.5x4=62.

△BDC的面積等于4DEF的面積，可借助于正弦定理，但學(xué)生如果沒有學(xué)過，可以通過以

下方法獲得理解：一個(gè)基本圖形是，^ABC的中線吧三角形分成面積相等的兩部分——利用

這個(gè)基本原理，我們只要把ABDC與4DEF旋轉(zhuǎn)一下，拼在一起，就可獲得這個(gè)基本圖形.

12、解題研究2[2008-11-13]

四邊形ABCD中，AB=CD,E、F分別是AD、BC中點(diǎn)，BA、FE、CD延長線分別交于G、

H,求證：ZBGF=ZCHF.

特殊地，當(dāng)ABCD為等腰梯形時(shí)，結(jié)論顯然成立.一般位置情形，連接AC,取中點(diǎn)I,連

11

-CD-AB

接EI、FI,利用中位線定理，有IE〃CD,IF〃AB,因此N3=N1,N4=N2,而EI=2=2=里

因此N3=N4,因此N1=N2.

解題研究3

⑴正方形ABCD中，NEAF=45°,求證：DE+BF=EF.

把4ADE圍繞A旋轉(zhuǎn)到△ABG,則可以證明△AFEgZ\AFG(SAS),不難得到結(jié)論.

變化：本題的結(jié)論與條件可以互換一下：

(2)正方形ABCD中，DE+BF=EF,求證：ZEAF=45°.

證明的方法依然如此，不過全等條件則是SSS.如果不使用旋轉(zhuǎn)的語言，也可以延長FB到

G,使得BG=DE即可，效果等同于旋轉(zhuǎn).

在有些問題中，題目的條件比較含蓄：正方形的邊長是1,4CEF的周長是2,簡單的計(jì)

算可知，這等價(jià)于DE+BF=EF.

在以上兩個(gè)問題中，4AFE與4AFG關(guān)于AF對(duì)稱，因此可以把4AFG連著高AB一起翻折

過去，那么4AFE的高線AH對(duì)應(yīng)地等于AB,順便可以得至I」NBAF=NFAH,NDAE=NEAH.

把左邊的圖形簡化，我們可以對(duì)右圖形成問題：

(3)正方形ABCD中，DE+BF=EF,AHLEF于H,求證:AH=AB.

以上的過程實(shí)際上給出了問題(3)的解答.

該問題還有一個(gè)變形：正方形ABCD被兩條與邊平行的直線分割為4個(gè)小矩形，若矩形

PFCE的面積是矩形PQAR的2倍，求NEAF的大小.

設(shè)AR=a,BR=AAQ=x,QD=)Wb+b=x+y,且2ak刀，化簡這兩個(gè)式子將會(huì)產(chǎn)生DE+BF=EF,

這就轉(zhuǎn)化為上面的問題.過程可參考《奧數(shù)教程》(華東師大，初二P.157頁).

進(jìn)一步地，可以證明，當(dāng)E在AB上變動(dòng)時(shí);EH、FG的交點(diǎn)P是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).輔助線如圖，

設(shè)正方形的邊長為1,則0-加/+(1-〃)2=5+〃尸，化簡為m+n+mn=l,根據(jù)

y_n4-x1+x_y-(1-zw)

△PMFs^GDF,1—〃？〃；根據(jù)△PNEs^HBE,1—〃加，解出x=l,y=2,因此

ANPM是邊長為2AB的正方形.因此P為一個(gè)定點(diǎn).

解題研究4[2008-11-14]

平行四邊形ABCD中，AE、AF為垂線，H是4AEF的垂心，EF=p,AC=q，求AH的長.

證明：連FH并延長與AE交與點(diǎn)G,連EH.H為垂心，則FHLAE,即FG〃BC,又因?yàn)镋H1AF,

則EH〃CF,故有平行四邊形FCEH，因此FC=HE.

AHGHACFCHE

易知RtZ\AGHsRt/\FGEsRtaAFC,因此EFGE,EFGEGE,

AH2_GH2AC2HE2

則222~GE2

EF~GE(1),EF(2),

AC2AH2_HE2GH2_HE2-GH2GE2

2

(2)-(1)得EF2EF"GE2__GE2GE2=GE2

AC2AH2_q2AH2

2=1

222業(yè)-p2

g|JEFEF'L即PPAH=

上面的結(jié)果表明，AC、EF、AH可以作為一個(gè)直角三角形的三條邊，但是它們并不在同

一個(gè)三角形里面，作LEJ_EF交AB于L,連接LF,可證ALEH為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行）,

因此AH=LE,只要證明RtALEF中，斜邊LF=AC即可.這相當(dāng)于證明AL=CF,或者證明ALCF為矩

形.

根據(jù)作圖過程，A、L、E、F四點(diǎn)共圓，而A、E、C、F四點(diǎn)共圓，因此L、E、C、F四點(diǎn)

共圓（因?yàn)橐陨衔妩c(diǎn)都共圓），因止匕NLCF=NLEF=90°,因止匕ALCF為矩形，即AC=LF.

解題研究6[2008-11-15]

兩個(gè)正方形靠在一起，如何把它們分割、拼接成一個(gè)大的正方形？

在AD上截取AH=DG,連接BH、HF,則可以證明aBAH名△HGF（SAS）,以BH為邊作正

方形BHFI即為所求.這里其實(shí)利用構(gòu)圖證明了勾股定理.

這個(gè)結(jié)論可以推廣為：任意n個(gè)正方形可以拼成一個(gè)大的正方形.

我們再添加一些線條，得到上面的兩幅圖形，左邊相當(dāng)于趙爽的弦圖，右邊相當(dāng)于加菲

爾德總統(tǒng)的“推倒一個(gè)火柴盒”，這兩種勾股定理的證法在歷史上都相當(dāng)著名.

下面這個(gè)問題在“正方形''的學(xué)習(xí)中是一道典型的例題，可視為上面問題的變形.

正方形ABCD中，H是AD邊上--點(diǎn)，G在AD延長線上HFJ_BH交NCDG的平分線于點(diǎn)F,

求證：BH=HF.

證明：在AB上截取AM=AH,則可以證明aBMH應(yīng)△HDF(ASA),因此結(jié)論成立.有學(xué)生在

嘗試中作FG_LAD延長線于G,然后努力證明△BAH^^HGF,卻發(fā)現(xiàn)沒有任何一組對(duì)應(yīng)邊相

等！從結(jié)果看，本題附帶的結(jié)論是AH=DG但這個(gè)并不能直接得出.

本題的結(jié)論與H在AD上的位置無關(guān)，這一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于上面問題中兩個(gè)正方形的大小沒有特

殊要求，甚至可以相同.

解題研究712008-11-15]幾何計(jì)數(shù)

問題：3x4的網(wǎng)格中有多少個(gè)矩形？多少個(gè)正方形？

對(duì)于比較小的網(wǎng)格，可以用簡單的枚舉法獲得答案，但是如果問題變成mxn的網(wǎng)格呢？

枚舉法就很不方便，需要尋找更好的辦法.

觀察右圖，我們觀察網(wǎng)格的上底邊和左側(cè)邊，在上面任意各取一條線段，總能唯一地決

定某一個(gè)矩形網(wǎng)格，因此，圖中所有的矩形都與上底邊和左側(cè)邊上線段的組合一一對(duì)應(yīng)，利

用乘法原理，對(duì)于3x4的網(wǎng)格，一共有(1+2+3/(1+2+3+4戶6x10=60個(gè)矩形.

以上結(jié)論可以推廣到mxn的情形，即在mxn的網(wǎng)格中，共有

mn{m+1)(〃+1)

(1+2+...+m)(1+2+...+n)=4

個(gè)矩形.

下面計(jì)算正方形的個(gè)數(shù).先分類：lx]的正方形有mn個(gè)，2x2的正方形有(m-l)(n-l)個(gè)，3x3

的正方形有(m-2)(n-2)個(gè)，若mNn,則以上過程進(jìn)行到nxn的正方形為止，共有

[m-(n-l)][n-(n-l)]=(m-n+l)個(gè).簡記為1=0.

解題研究7[2008-11-18]好數(shù)

設(shè)某個(gè)n位正整數(shù)的n個(gè)數(shù)字是1,2,n的一個(gè)排列，如果它的前k個(gè)數(shù)字所組成的整

數(shù)能被k整除，其中k=l,2,...?n,那么就稱這個(gè)n位數(shù)為一個(gè)“好數(shù)”.例如，321就是一個(gè)“好

數(shù)”，因?yàn)?整除3,2整除32,3整除321.那么六位“好數(shù)”的個(gè)數(shù)有兒個(gè)？

分析：設(shè)為abed比則e=5力,e,7取自2,4,6.注意到3|。反，3\abcdef,因此嘗試得出＜/止456

或654.因此b=2.a、c只能取1和3.如果d=4,則4不整除1234或3214,因此只能d=6,有2個(gè)答案：

123654和321654.

總結(jié)一下：1位“好數(shù)”(1)；2位“好數(shù)”(12)；,3位“好數(shù)”(123,321)；4位“好數(shù)”不存在；5位

“好數(shù)”不存在(只要考慮3、4位的數(shù)字不能被4整除)；6位“好數(shù)”：(123654,321654).

解題研究8[2008-11-191梯形的一個(gè)問題

如圖，梯形ABCD中,AD〃BC,E是腰AB的中點(diǎn)，且DELCE.求證：(1)DC=AD+CB;(2)DE、

EC分別平分ND和NC.

取CD中點(diǎn)F,分別使用直角三角形的斜邊中線性質(zhì)與梯形中位線性質(zhì)，可以得出結(jié)論.

在梯形的前提下，E是腰AB的中點(diǎn)，現(xiàn)在列出3個(gè)結(jié)論：(1)DC=AD+CB；(2)DE、EC分別

平分ND和NC；(3)DE_LCE.我們可以選擇其中2個(gè)作為條件，并且推導(dǎo)出第三個(gè).

僅有梯形的前提，如果給出(3)DE，CE；(1)DC=AD+CB,右圖可知，E不一定是AB中點(diǎn),

從而(2)不一定成立.

注意到DE、EC是角平分線，因此讓4ADE沿著DE翻折過去，則A落在CD上，對(duì)4BCE

同樣操作，則A、B在CD上重合.讓整個(gè)圖形圍繞F旋轉(zhuǎn)180°,那么中間給出一個(gè)矩形，整個(gè)圖

形給出了一個(gè)用平行四邊形紙片折疊信封的方法.但是，用來折疊的平行四邊形紙片不能太隨

意，需要滿足AB=折痕CD才可以.

解題研究9[2008-11-19]中點(diǎn)四邊形問題

任意四邊形的重點(diǎn)四邊形是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形；當(dāng)對(duì)角

線互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形；同時(shí)滿足這兩條，則是一個(gè)正方形.當(dāng)四邊形ABCD是凹

四邊形時(shí)，結(jié)論依然成立.甚至，當(dāng)ABCD是一個(gè)交叉的四邊形時(shí)，結(jié)論仍然成立.

基于以上考慮，我們觀察由四點(diǎn)構(gòu)成的“完全六點(diǎn)形”——它由4個(gè)點(diǎn)ABCD和6條線(四條

邊和兩條對(duì)角線)組成.同時(shí)取出這6條線的中點(diǎn)，某四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，一共可

構(gòu)成3個(gè)平行四邊形.這一事實(shí)包含了凸四邊形與凹四邊形兩種情況.

EG^-(BC+AD)

梯形的中位線性質(zhì)EG〃BC且2.如果是一個(gè)交叉的“梯形”，相當(dāng)于連接

EG=-(BC-AD)

梯形ADBC的對(duì)角線中點(diǎn)，那么2，一般的證明需要添加輔助線(比如延長AG

交BC于G).如果把AD、BC看做有向線段，那么以上結(jié)論可以統(tǒng)一起來.

也可以換一種眼光看待這個(gè)問題，固定BC,讓AD在空間扭轉(zhuǎn)180°,那么EL與LG在旋轉(zhuǎn)

過程中長度保持不變(分別等于BC、LG的一半)，但是夾角從180°變化到0,關(guān)于EG的表達(dá)式

中，由“+”變成立刻有上面的結(jié)論成立.

課堂教學(xué)不僅要教會(huì)解題，也要教學(xué)眼光和思想.

解題研究10【2008-11-25］四邊形的變身術(shù)

剪拼成平行四邊形：連接兩對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)，分成4個(gè)小的四邊形，然后把DGIF、EBHI分別

圍繞G、E旋轉(zhuǎn)180°,把IHCF沿著向量CA平移即可.

剪拼成矩形：連接一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)E、F,從另一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)G、H分別向EF作垂線段GJ、

HI,如圖適當(dāng)平移或旋轉(zhuǎn)即可.

變成平行四邊形變成矩形變成三角形

變成三角形：連接一組鄰邊中點(diǎn)EF,在EF上任意取點(diǎn)P,H、I為另外兩邊中點(diǎn)，連接PH、

PL分成4個(gè)小的四邊形，然后把DEPH、FBIP分別圍繞E、F旋轉(zhuǎn)180°,把PICH沿著向量CA

平移即可.

也可以用2個(gè)相同的四邊形拼成一個(gè)平行四邊形：讓aABC沿著向量BD平移到△GDH,

則ACHG為平行四邊形.

G

A

D

BC

解題研究11［2008-11-22］層出不窮

在圖示的圓周上，有1,2兩數(shù)，兩數(shù)和為3,第1次在兩個(gè)半圓的中點(diǎn)上寫相鄰兩數(shù)的平

均數(shù)，這些平均數(shù)和為3；第2次在4個(gè)小圓弧的中點(diǎn)上都寫相鄰兩數(shù)的平均數(shù)，這次寫的平均

數(shù)和是6；第3次在8個(gè)小圓弧的中點(diǎn)上都寫相鄰兩數(shù)的平均數(shù)，這次寫的平均數(shù)和是12；……

如此寫下去，直到寫了第2007次為止，此時(shí)圓周上所有數(shù)的和為.

［《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》第三屆數(shù)學(xué)文化節(jié)8年級(jí)第一試問題］

分析：利用圓周的對(duì)稱性，每產(chǎn)生一個(gè)新的平均數(shù)A,必有某一段圓弧上也產(chǎn)生相同的A,

即平均數(shù)都是成對(duì)出現(xiàn)的.而第每一次所有新的平均數(shù)之和，總等于算出這些平均數(shù)之前圓周

上本來所有的數(shù)字之和，因此，第幾次以后圓周上所有的數(shù)字之和為3-2"二當(dāng)原始的數(shù)字不是

(1,2),而是他力)時(shí)，答案則為

解題研究1212008-12-3］不動(dòng)點(diǎn)的幾個(gè)例子

(1)見“解題研究3”

(2)過四邊形ABCD的邊AD、BC的延長線交點(diǎn)P作任意直線EF,且EP=PF,求證：不論EF的

長度與位置如何，線段AE、BF的中點(diǎn)連線恒過某一定點(diǎn).

分析：只要取AB中點(diǎn)J,則PMJN是平行四邊形(中點(diǎn)四邊形)，因此MN的中點(diǎn)與PJ的中點(diǎn)

重合，而PJ不動(dòng)，因此是一個(gè)固定的點(diǎn).

這個(gè)問題也可以作為“中點(diǎn)四邊形”的一個(gè)應(yīng)用.

解題研究13【2008-12-5］它們都是45°

(l)4ABC中，NC=90°,M在BC上，月.BM=AC,N在AC上，月一AN=MC,AM與BN相交于點(diǎn)

P,求證：ZBPM=45°.

A

分析：平移AN到MG則有平行四邊形ANMG因此AM=CG.再證明△BMGgACM(SAS),從

而獲得ARGN為等腰直角三角形.命題獲證！

(2)Rt^ABC中，NC=90°,AE=AC,BC=BD.求NDCE的度數(shù).(45°)

解題研究14[2008-12-8]幾個(gè)幾何不等式

(1)在銳角三角形ABC中最大高線AH等于中線BM,求證：ZB<60°,

-AH

分析：作MP，BC,MQ，ABWJMP=22，因此NMBC=30°,而AH為最大的高線，

因此QM<MP,NABM<30°,ZB<60°.

(2)任何三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的乘積必小于三邊的連乘積.

型

_______r=1

分析：借助于海倫公式，得至的=Jx)'z(x+y+Z)=?+y+z),因此內(nèi)切圓半徑1x+y+z.

卜(x+z)(x+77(x+z)(y+z)

因止匕AO=11,BD+DC=x+y,而BD:DC=(x+y):(x+z),算出CD=2x+y+z，因

2x+y+zA0_2jx(x+z)(x+y)(x+yTIJ

此AD=2(X+〉+Z)2x+y+z

根據(jù)對(duì)稱性，其他兩條角平分線為：

2Jy(y+z)(x+y)(x+y+z)2Jz(x+z)(z+y)(x+y+z)

x+2y+zx+y+2z

因此命題為：

2Jx(x+z)(x+y)(x+y+z)2Jy(y+z)(x+y)(x+y+z)2Jz(x+z)(z+y)(x+y+z)

2x+y+zx+2y+zx+y+2z

<(x+y)(y+z)(z+x),

相當(dāng)于8(*+y+z)ylxyz(x+y+z)<(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)(

即8P而五<(p+x)(p+y)(p+z),這可以由平均值不等式得到.

(3)設(shè)P是4ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：NPAB,ZPBC,NPCA中到少有一個(gè)不超過30°.

先證明角元形式的塞瓦定理：P是平面上一點(diǎn)，則sinrsiny-sinz=sina-sin/7-sinc

BD4。4。AOBDsinxsinC

BD=sin%?CD=sina?

根據(jù)sinxsin8，得sin8，同理sinC,因止匕DCsin。sin8，類似

地得出CE:EA和AF:FB,再利用塞瓦定理即得結(jié)論。

對(duì)于本題，若a,瓦。都大于30°,則左邊>1/8,此時(shí)0<x+y+z<90°,根據(jù)平均值不等式和Jensen

sinx+siny+sinz3.尤+y+z、3

不等式，sinx-siny-sinz<{3<Sm-3~<缶皿30°)3=1/8,矛盾！

(4)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，求P^+P1+PC?的最小值。

這就是三角形的拉格朗日定理，參考單博主編：《數(shù)學(xué)名題詞典》P.351.

解題研究15[2008-12-18]一次函數(shù)的決策問題

題(1)A市和B市分別庫存某種機(jī)器12臺(tái)和6臺(tái)，現(xiàn)決定支援C市1。臺(tái)、D市8臺(tái)。已知從A

市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到C、D兩市的費(fèi)用分別是400元和800元，從B市調(diào)運(yùn)一臺(tái)機(jī)器到C、D兩市的

費(fèi)用分別是300元和500元。

(1)若B市運(yùn)往C市x臺(tái)機(jī)器，當(dāng)18臺(tái)機(jī)器全部運(yùn)完后，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過9000元，問有幾種調(diào)運(yùn)方案？

(3)指出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低運(yùn)費(fèi)是多少？

分析：根據(jù)題意，B市運(yùn)往C市x臺(tái)，則B市運(yùn)往D市(6-x)臺(tái)，A市運(yùn)往C(10-x)臺(tái)，A運(yùn)往

D(x+2)臺(tái)，因止匕總費(fèi)用y=400(10-x)+800(x+2)+300x+500(6-x尸200x+8600.

若200x+8600W9000,貝iJxg2,x=0』,2.一共3種方案。

根據(jù)一次函數(shù)的增減性，y隨著x的增加而增加，因此當(dāng)x=0時(shí)，費(fèi)用最小，最低運(yùn)費(fèi)是8600

JLo

題(2)日照市是中國北方最大的對(duì)蝦養(yǎng)殖產(chǎn)區(qū)，被國家農(nóng)業(yè)部列為對(duì)蝦養(yǎng)殖重點(diǎn)區(qū)域；貝

類產(chǎn)品西施舌是日照特產(chǎn).沿海某養(yǎng)殖場計(jì)劃今年養(yǎng)殖無公害標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)蝦和西施舌，由于受

養(yǎng)殖水面的制約，這兩個(gè)品種的苗種的總投放量只有50噸.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)測算，這兩個(gè)品種的種

苗每投放?噸的先期投資、養(yǎng)殖期間的投資以及產(chǎn)值如下表：(單位：千元/噸)

品種先期投資養(yǎng)殖期間投資產(chǎn)值

西施舌9330

對(duì)蝦41020

養(yǎng)殖場受經(jīng)濟(jì)條件的影響，先期投資不超過360千元，養(yǎng)殖期間的投資不超過290千元.設(shè)

西施舌種苗的投放量為x噸

(1)求%的取值范圍；

(2)設(shè)這兩個(gè)品種產(chǎn)出后的總產(chǎn)值為y(千元)，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x

等于多少時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

分析：本題考查學(xué)生一次函數(shù)、不等式組的綜合運(yùn)用，由不等式組確定一次函數(shù)自變量

的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的增減性確定y的最大值.

解：(1)設(shè)西施舌的投放量為x噸，則對(duì)蝦的投放量為(50-x)噸，

+4(50-%)<360,fx<32,

<<

根據(jù)題意，得：［3x+10(50-x)"290.解之，得：［xN30..匕。M32.

(2)y=30x+20(50-x尸lOx+1000.V10>0,隨x的增大而增大.

???30三爛32,:?當(dāng)x=32時(shí)，y最大=10x32+1000=1320.

所以當(dāng)%=32時(shí)，y有最大值，且最大值是1320千元.

題(3)抗震救災(zāi)中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個(gè)倉庫的糧食，

全部轉(zhuǎn)移到具有較強(qiáng)抗震功能的A、B兩倉庫。已知甲庫有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A

庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸。從甲、乙兩庫到A、B兩庫的路程和運(yùn)費(fèi)如下表(表中

“元/噸?千米”表示每噸糧食運(yùn)送1千米所需人民幣)：

(1)若甲庫運(yùn)往A庫糧食%噸，請寫出將糧食運(yùn)往A、B兩庫的總運(yùn)費(fèi))’(元)與x(噸)

的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)甲、乙兩庫各運(yùn)往A、B兩庫多少噸糧食時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最省，最省的總運(yùn)費(fèi)是多少？

解題研究16【2008-12-23】一次函數(shù)模型

⑴華氏溫度與攝氏溫度之間的換算：/=1衣+32,其中，/是華氏溫度，c是攝氏溫度。

(2)鵝鸚是小型、短胖、淺褐色的鳥類，多在沼澤、多石的荒原或灌叢捕食昆蟲?！肚f子?逍

遙游》說“鵝鸚巢于深林，不過一枝”，旨在說明以天地萬物之大，鵝鸚不過僅僅巢于一枝。

有人對(duì)它呼出的氣體的溫度T進(jìn)行過測量，發(fā)現(xiàn)T與環(huán)境溫度，之間存在近似的一次函數(shù)關(guān)系：

T=8.51+0.756f,其中12°騙30°。

(3)人們發(fā)現(xiàn)，蟋蟀鳴叫的次數(shù)與環(huán)境溫度存在簡單的-次函數(shù)關(guān)系。設(shè)蟋蟀15秒內(nèi)鳴叫

次數(shù)為環(huán)境溫度為華氏F,則F=a+40.這個(gè)式子很有趣，如此，我們可以利用蟋蟀在一定時(shí)

間內(nèi)鳴叫的次數(shù)來計(jì)算環(huán)境溫度。

解題研究1712008-12-26］勾股定理的問題

(l)RtZ\ABC中，NACB=90°,CD是AB邊上的高，若AD=8,BD=2,求CD.

Aa

分析1：設(shè)CD=x,貝1」4°2=82+—,6。2=犬+2[而AC2+8C2=AB2,因此

2222

(8+X)+(X+2)=10\解出X=4.

該解法具有一般性，即若AD=a,BD=b,貝4類似可一得CD=J^。

-AB

分析2、作出斜邊AB的中線CE,則CE=2=5,而ED=5-2=3,則CD=4.

CD2=CE2-DE2=[-(a+b)]1-[-(a-b)]2=ab-八

若AD=a,BD=b,則22,因此。=而。

分析3、學(xué)習(xí)了相似三角形之后。利用射影定理立即可得結(jié)論。

(2)直角三角形ABC中，直角邊AC=8,BC=6,將BC沿著NB的平分線翻折，使C落在AB上的

點(diǎn)E處，求CD.

分析1、設(shè)CD=x，則DE=x,RtZ\DEA中，AD=8-x,AE=10-6=4,因此強(qiáng)一“二爐+4'解出

x=3.

分析2、用面積方法。設(shè)CD=x，則DE=x,考慮到5兇。+54180=52叱,即

6x+10x=6x8,因止匕x=3.

(3)4ABC中，AB=15,AC=20,BC邊上的高AD=12,求BC。

分析：本問題有2解，分別對(duì)應(yīng)于aABC為對(duì)角三角形或銳角三角形。

一個(gè)類似的問題只是改變了個(gè)別數(shù)據(jù)，但是這種三角形不大好找，因?yàn)槠溥呴L都是整數(shù)。

在aABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,求BC。

這里涉及一個(gè)問題：邊長為整數(shù)的非直角三角形，且有一邊的高線為整數(shù)(從而面積可能

為整數(shù))。上面的問題給出了(7,15,20)一可以利用(3,4,5)設(shè)計(jì)出來，另一個(gè)同時(shí)給出了

(13,14,15)和(4,13,15)這兩個(gè)答案，面積分別是84和24.

另外2個(gè)例子是(9,10,17),(10,17,21),邊長為9或21的邊上的高為整數(shù)8,畫圖可以驗(yàn)

證。

(4)RtZ\ABC中，NC=90°,D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，AD=15,BE=20,求AB.

分析：設(shè)CD=x,CE=y，則4/+*2=152,4*2+尸=2()2.相加得出5(5^^2)=625,因此/+X2=125,因

此ABZFb+xZAGOO,AB=1°6.

雖然可以求出X和y的值，但是沒有這個(gè)必要。這個(gè)問題可以“改裝”成如下的形式：①已

知直角三角形的兩條直角邊的中線，求斜邊的中線。

②已知直角三角形的兩條邊的中線，求第三條邊的中線。

但如果去掉“直角三角形''這個(gè)條件，以上問題不再有唯一解。事實(shí)上，根據(jù)三角形的帕

普斯(P叩pus)公式:AB2+AC2=2(AM2+BM2),其中BM為中線。該公式可以看作勾股定理的一個(gè)

2〃+2/—/

推廣?？梢該?jù)此根據(jù)三角形的邊長計(jì)算三角形的中線AM?：4

由帕普斯公式，對(duì)于非直角三角形，因?yàn)槿鄙倭?Ac的一個(gè)等量關(guān)系，因此已知兩條

中線是不夠確定三角形的第三條中線的，否則這相當(dāng)于確定了三角形的三邊。

解題研究1812008-12-26］拼圖問題

下列圖形可以適當(dāng)剪拼之后變成一個(gè)正方形。

解法:

解題研究19【2008-12-26】勾股定理n問

(1)勾股定理的發(fā)現(xiàn)歷史有多久？

答：據(jù)現(xiàn)有史料記載，最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的是4000年前的古代巴比倫人?，F(xiàn)在被美國哥

倫比亞大學(xué)圖書館收藏的一塊編號(hào)為“普林頓322”的古巴比倫泥板上記載了15組勾股數(shù)，說明

當(dāng)時(shí)的人們已經(jīng)知道勾股定理。我國古代(約公元前1世紀(jì))的算書《周髀算經(jīng)》記載，公元前

一千多年中國古代就有“勾三股四弦五”之說，表明當(dāng)時(shí)的中國人也知道了勾股定理。古希臘

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯研究過勾股定理，因此在西方勾股定理被叫做畢達(dá)哥拉斯定理。

(2)勾股定理的逆定理表明：如果下+七一,則三角形為直角三角形；如果辦/忿2,能確定三

角形的形狀嗎？

答：首先假定C是最大邊，如果。2+廿＞凡則三角形為銳角三角形；如果。2+.々2,則三角形

為鈍角三角形。

(3)在直角三角形的三邊上放置的正方形，如果換成另外一些幾何圖形，它們的面積之間

還存在等量關(guān)系嗎？

答:因?yàn)樾∫涣?兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)鼠等式網(wǎng)熱/尸酎依然成立，這表明，只要保證

直角三角形的三邊上的圖形是相似圖形，比如：半圓、相似三角形、相似多邊形，等等，那

么依然有小的兩個(gè)面積之和等于最大圖形的面積，這一個(gè)性質(zhì)經(jīng)常用來設(shè)計(jì)一些有趣的問題

作為試題。

(4)勾股定理的證明有多少種？它們各有什么特點(diǎn)？

答：記載于歐兒里德的《兒何原本》的證明用到了全等三角形知識(shí)；最簡單的證明則借

助于“射影定理”；中國的三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽使用“弦圖”也很便捷；美國第20任總統(tǒng)加菲爾

德在擔(dān)任參議員的時(shí)候發(fā)明了一種“推到一個(gè)火柴盒''的證法，為后來的總統(tǒng)生涯增加了傳奇

色彩。眾多的證明方法多使用了“面積方法”，即通過不同的角度把某個(gè)圖形的面積計(jì)算兩次,

得出一個(gè)等式，化簡該等式的結(jié)果就是勾股定理。還有很多通過割補(bǔ)圖形(出入相補(bǔ)術(shù))的方

法來證明，都很巧妙。其中有很多數(shù)學(xué)家的精巧設(shè)計(jì)。

解題研究20[2008-12-27]中考新題匯編

⑴在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).請你觀察圖中正方形

AIBIGDI、A2B2C2D2,A3B3c3D3,…，每個(gè)正方形四條邊上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，推算出正方形

AIOBIOGODIO四條邊上的整點(diǎn)共有多少個(gè)？

(2)已知mN2,n”且m,n均為正整數(shù)，如果將初進(jìn)行如下方式的“分解”，那么下列三個(gè)敘述:

①在2、的“分解”中最大的數(shù)是11；②在43的，，分解，，中最小的數(shù)是13；

③若疝的“分解”中最小的數(shù)是23,則m等于5.其