連續(xù)域現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

連續(xù)域現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)主要內(nèi)容線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解控制系統(tǒng)的可控性和可觀性線性定常系統(tǒng)的線性變換控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計第2頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解現(xiàn)代控制理論建立了狀態(tài)的概念，以狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，以線性矩陣?yán)碚摓閿?shù)學(xué)工具，以計算機技術(shù)為依托，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于線性時變和非線性系統(tǒng)的分析、綜合?，F(xiàn)代控制理論用狀態(tài)揭示系統(tǒng)內(nèi)部狀況，研究輸入—狀態(tài)—輸出的因果關(guān)系，這就從內(nèi)部、從本質(zhì)上掌握了系統(tǒng)的關(guān)系，因而可以根據(jù)設(shè)計要求和性能指標(biāo)求得最優(yōu)控制規(guī)律。第3頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.1.1齊次狀態(tài)方程的解在狀態(tài)方程中令u=0，得稱為齊次狀態(tài)方程。其解為u=0時由初始條件所引起的自由運動。設(shè)解為代入齊次狀態(tài)方程得由于狀態(tài)方程的解對任意的t都成立，則第4頁,共59頁，2024年2月25日，星期天齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)1）代入解方程得：第5頁,共59頁，2024年2月25日，星期天齊次狀態(tài)方程的解（續(xù)2）初始條件：由矩陣?yán)碚摚簞t齊次狀態(tài)方程的解為該解說明由初始狀態(tài)x(0)到達(dá)狀態(tài)x(t)的轉(zhuǎn)移過程是一個指數(shù)形式。其中eAt稱為矩陣指數(shù)，又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為Φ(t)齊次狀態(tài)方程的解歸結(jié)為求解矩陣指數(shù)eAt，多為計算機求解。第6頁,共59頁，2024年2月25日，星期天計算線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣按矩陣指數(shù)的定義計算；通過線性變換計算；待定系數(shù)法(應(yīng)用凱萊-哈密頓定理)；拉普拉斯變換法。第7頁,共59頁，2024年2月25日，星期天拉氏變換求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對齊次狀態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，得例7.1求解齊次狀態(tài)方程解：第8頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.1.2非齊次狀態(tài)方程的解當(dāng)u(t)≠0時狀態(tài)方程的解稱為非齊次狀態(tài)方程的解或受迫系統(tǒng)的解，它是系統(tǒng)對輸入信號的完全響應(yīng)。使用拉氏變換法求解：第9頁,共59頁，2024年2月25日，星期天求非齊次狀態(tài)方程的解舉例例7.2求解狀態(tài)空間方程，u(t)=I(t)，x(0)=0。解：第10頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.2控制系統(tǒng)的可控性和可觀性控制系統(tǒng)的可控性和可觀性是現(xiàn)代控制理論的獨特概念。狀態(tài)變量的非唯一性，使我們有必要研究狀態(tài)向量的每一個分量能否可以由控制量所控制，從而達(dá)到所期望的狀態(tài)，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可控性問題。還要研究能否通過對輸出量的測量而獲得狀態(tài)的信息，這就是系統(tǒng)狀態(tài)的可觀性問題。第11頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.2.1系統(tǒng)可控性容許控制：若在[t0，∞]區(qū)間內(nèi)u為分段連續(xù)函數(shù)向量，則稱其為容許控制?？煽匦远x：若存在一個無約束的容許控制向量u(t)，能在有限的時間間隔[t0，t1]內(nèi)將系統(tǒng)的某一個狀態(tài)xi由其初態(tài)xi(t0)轉(zhuǎn)移到任意的終態(tài)xi(t1)，那么就稱該狀態(tài)xi是可控的；若系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量都可控，則稱系統(tǒng)是可控的。有一個及以上的狀態(tài)變量不可控，則稱系統(tǒng)是不可控的。第12頁,共59頁，2024年2月25日，星期天線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)1.可控性矩陣判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件：即，完全可控的條件是：可控性矩陣滿秩。例7.3系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用可控性矩陣判據(jù)。第13頁,共59頁，2024年2月25日，星期天可控性矩陣判據(jù)舉例（續(xù)）將M進(jìn)行初等變換rankM=3，可控性矩陣M為滿秩，所以系統(tǒng)完全可控。第14頁,共59頁，2024年2月25日，星期天可控性判據(jù)（續(xù)1）2.PBH秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件，對矩陣A的所有特征值λi(i=1，2，…，n)

例7.4系統(tǒng)狀態(tài)方程如下，試判斷系統(tǒng)的可控性。解：利用PBH秩判據(jù)。第15頁,共59頁，2024年2月25日，星期天PBH秩判據(jù)舉例（續(xù)1）系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征方程為故系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的特征值為第16頁,共59頁，2024年2月25日，星期天PBH秩判據(jù)舉例（續(xù)2）將各個特征值代入得到完全可控第17頁,共59頁，2024年2月25日，星期天輸出可控性1.輸出可控性的定義：如果能構(gòu)造一個無約束的控制向量u(t)，在有限的時間間隔t0≤t≤t1內(nèi)，使任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任一最終輸出y(t1)，那么稱系統(tǒng)為輸出完全可控的。2.輸出可控性判據(jù)：輸出完全可控的充分必要條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)m時，即rankM0=m

第18頁,共59頁，2024年2月25日，星期天輸出可控性舉例例7.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程如下，試判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。解：狀態(tài)可控性矩陣為由于|M|=0，rankM<2，故狀態(tài)不完全可控。輸出可控性矩陣為rankM0=1=m。故輸出可控。第19頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.2.2系統(tǒng)可觀測性可觀測性的定義：如果在有限時間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，根據(jù)測量到的輸出向量y(t)和輸入向量u(t)，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻狀態(tài)xi(t0)，則稱xi(t0)在[t0,t1]上是可觀測的；若系統(tǒng)所有狀態(tài)x(t)都在[t0,t1]上可觀測，則稱系統(tǒng)是可觀測的。第20頁,共59頁，2024年2月25日，星期天可觀測性判據(jù)1.可觀測性矩陣判據(jù)：完全可觀測的充要條件是：或是例7.6判斷下列系統(tǒng)的可觀測性解：第21頁,共59頁，2024年2月25日，星期天可觀測性判據(jù)（續(xù)1）2.PBH秩判據(jù)：完全可觀測的充要條件是：對矩陣A的所有特征值λi(i=1,2,…,n)，下式均成立。第22頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.3線性定常系統(tǒng)的線性變換7.3.3化系統(tǒng){A，B}為可控標(biāo)準(zhǔn)型

1.單變量系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型第23頁,共59頁，2024年2月25日，星期天化系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為通過非奇異線性變換可將上式變?yōu)樵O(shè)a0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項式系數(shù)第24頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.3.4化系統(tǒng){A,C}為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型1.單變量系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)型第25頁,共59頁，2024年2月25日，星期天化系統(tǒng)為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)a0，a1，…，an-1為矩陣A的特征多項式系數(shù)對于完全可觀系統(tǒng)，取非奇異線性變換矩陣第26頁,共59頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)成可控和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型舉例例7.7將其轉(zhuǎn)換成可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。解：(1)判斷系統(tǒng)能控性秩為3，所以系統(tǒng)完全可控，故可變換標(biāo)準(zhǔn)型。系統(tǒng)的特征多項式為：即a0=-4，a1=8，a2=-5。第27頁,共59頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型舉例（續(xù)1）經(jīng)變換，可得可控標(biāo)準(zhǔn)型第28頁,共59頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型舉例（續(xù)2）(2)判斷系統(tǒng)可觀測性其秩為3，故系統(tǒng)完全可觀測，可變換為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。變換矩陣為經(jīng)變換，可得可觀測標(biāo)準(zhǔn)型第29頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.4控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計由于經(jīng)典控制理論是用傳遞函數(shù)來描述的，它只能用輸出量作為反饋量。而現(xiàn)代控制理論由于采用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經(jīng)常采用狀態(tài)反饋。在進(jìn)行系統(tǒng)的分析綜合時，狀態(tài)反饋將能提供更多的校正信息，因而在形成最優(yōu)控制規(guī)律、抑制擾動影響、實現(xiàn)系統(tǒng)解耦控制等諸方面，狀態(tài)反饋均獲得了廣泛應(yīng)用。第30頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.4.1常用反饋結(jié)構(gòu)及其影響1.輸出反饋輸出反饋系統(tǒng)動態(tài)方程為傳遞函數(shù)矩陣為第31頁,共59頁，2024年2月25日，星期天常用反饋結(jié)構(gòu)及其影響（續(xù)1）2.狀態(tài)反饋當(dāng)將系統(tǒng)的控制量u取為狀態(tài)變量的線性函數(shù)第32頁,共59頁，2024年2月25日，星期天常用反饋結(jié)構(gòu)及其影響（續(xù)2）狀態(tài)能完整地表征系統(tǒng)的動態(tài)行為，因而利用狀態(tài)反饋時，其信息量大而完整，而輸出反饋僅利用狀態(tài)變量的線性組合進(jìn)行反饋，其信息量較小。但輸出變量容易測量，獲得廣泛應(yīng)用。傳遞函數(shù)矩陣為第33頁,共59頁，2024年2月25日，星期天狀態(tài)反饋對穩(wěn)定性的影響對于線性定常系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即(A-BK)的特征值均具有負(fù)實部，則稱系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。第34頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.4.2狀態(tài)反饋的極點配置設(shè)計法1.極點配置定理若線性系統(tǒng)是完全可控的，則一定能夠通過狀態(tài)反饋方法將閉環(huán)極點設(shè)置于任意期望的位置，這就是極點配置定理。2.單變量狀態(tài)反饋向量的設(shè)計設(shè)單變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為且為完全可控。其特征多項式為第35頁,共59頁，2024年2月25日，星期天單變量狀態(tài)反饋向量的設(shè)計（續(xù)）若A不是能控標(biāo)準(zhǔn)型，則可通過非奇異線性變換將其變換為可控標(biāo)準(zhǔn)型。定義變換矩陣T為系統(tǒng)變換為可控標(biāo)準(zhǔn)型第36頁,共59頁，2024年2月25日，星期天單變量狀態(tài)反饋向量設(shè)計（續(xù)1）由于采用狀態(tài)反饋，則有式中反饋的引入并沒有改變輸入矩陣，只改變了狀態(tài)矩陣，即改變了原有系統(tǒng)的閉環(huán)極點。設(shè)改變后的閉環(huán)極點為，則其特征多項式為第37頁,共59頁，2024年2月25日，星期天單變量狀態(tài)反饋向量設(shè)計（續(xù)2）特征多項式的另一種表達(dá)方式若要使閉環(huán)極點為期望的極點，則令第38頁,共59頁，2024年2月25日，星期天單變量狀態(tài)反饋向量設(shè)計（續(xù)3）3.極點配置設(shè)計步驟(1)檢查系統(tǒng)可控性，若可控則繼續(xù)進(jìn)行；(2)由A求得其特征多項式，確定系數(shù)；(3)若原狀態(tài)不是可控標(biāo)準(zhǔn)型，變換為標(biāo)準(zhǔn)型；(4)由期望閉環(huán)極點，確定；(5)求取k反饋后的特征多項式，并求取k值。第39頁,共59頁，2024年2月25日，星期天極點配置設(shè)計舉例一例7.10單變量系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，設(shè)計狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)極點為解：由于傳遞函數(shù)沒有零極點對消，所以系統(tǒng)的狀態(tài)是完全可控可觀的，其可控規(guī)范型為令狀態(tài)反饋陣為第40頁,共59頁，2024年2月25日，星期天極點配置設(shè)計舉例一（續(xù)1）經(jīng)K引入的狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為其特征多項式為由給定閉環(huán)極點要求的特征多項式為令兩個特征多項式相等解出第41頁,共59頁，2024年2月25日，星期天極點配置設(shè)計舉例一（續(xù)2）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為第42頁,共59頁，2024年2月25日，星期天極點配置設(shè)計舉例二例7.11通過狀態(tài)反饋，閉環(huán)極點設(shè)置于解：檢查可控性求原特征多項式為第43頁,共59頁，2024年2月25日，星期天極點配置設(shè)計舉例二（續(xù)1）則狀態(tài)方程變?yōu)樵O(shè)并反饋變換，則有第44頁,共59頁，2024年2月25日，星期天極點配置設(shè)計舉例二（續(xù)2）期望特征多項式為令第45頁,共59頁，2024年2月25日，星期天7.4.3狀態(tài)觀測器設(shè)計及分離特性由于系統(tǒng)的所有狀態(tài)往往不能都測量到，導(dǎo)致狀態(tài)反饋不能直接實現(xiàn)，這時就需要估計不可測量的狀態(tài)變量，不可測量的狀態(tài)變量的估計通常稱為狀態(tài)觀測。如果狀態(tài)觀測器能觀測到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，這種狀態(tài)觀測器均稱為全階觀測器。估計少于n個狀態(tài)變量的觀測器稱為降階狀態(tài)觀測器，或簡稱為降階觀測器。第46頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器是基于輸出的測量和控制變量來估計狀態(tài)變量。設(shè)被觀測系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為若取觀測器數(shù)學(xué)模型與系統(tǒng)完全相同，且輸入相同，即考慮到狀態(tài)有差異時，輸出便有差異，可利用輸出偏差信號通過反饋矩陣Ke加到，以期對其進(jìn)行校正。

第47頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器（續(xù)1）觀測器的閉環(huán)方程為注意到狀態(tài)觀測器的輸入為y和u，輸出為第48頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器（續(xù)2）觀測器的誤差方程定義誤差向量方程式改寫為誤差向量的動態(tài)特性由矩陣A-KeC的特征值決定。如果矩陣是穩(wěn)定矩陣，則對任意初始誤差向量e(0)，誤差向量都將趨近于零。

第49頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器的設(shè)計設(shè)系統(tǒng)可觀，按可觀測標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行討論（詳細(xì)推導(dǎo)見書），下面為非標(biāo)準(zhǔn)形時的設(shè)計過程：設(shè)觀測器狀態(tài)反饋向量特征方程為設(shè)誤差動態(tài)方程所期望的特征方程為系數(shù)對應(yīng)相等則可求出反饋向量。第50頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器的設(shè)計舉例例7.12設(shè)被觀測的系統(tǒng)如下，完全可觀測，設(shè)計狀態(tài)觀測器，使其特征值為：解：設(shè)狀態(tài)反饋向量為特征多項式為第51頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器的舉例（續(xù)1）狀態(tài)觀測器所期望的特征多項式為所期望的狀態(tài)觀測器方程為第52頁,共59頁，2024年2月25日，星期天全階狀態(tài)觀測器的舉例（續(xù)2）估計誤差由齊次狀態(tài)方程的解法，可得第53頁,共59頁，2024年2月25日，星期天分離特性在極點配置的設(shè)計過程中，第一階段是確定反饋增益矩陣K，以產(chǎn)生所期望的特征方程；第二個階段是確定觀測器的增益矩陣Ke，以產(chǎn)生所期望的觀測器特