高數(shù)第十二章微分方程

高數(shù)第十二章微分方程第一節(jié)微分方程的基本概念

微分方程及微分方程的階微分方程的解通解與特解初值問題第2頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解一、問題的提出第3頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解第4頁,共27頁，2024年2月25日，星期天代入條件后知故開始制動到列車完全停住共需第5頁,共27頁，2024年2月25日，星期天定義：表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程叫做微分方程.例二、微分方程的定義第6頁,共27頁，2024年2月25日，星期天微分方程的階:

微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).一階微分方程微分方程組高階(n)微分方程(n

階顯式微分方程)第7頁,共27頁，2024年2月25日，星期天微分方程的解:三、微分方程的解通解與特解第8頁,共27頁，2024年2月25日，星期天通解:

微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.微分方程的積分曲線:微分方程的解的圖形.

通解的圖形叫積分曲線族.第9頁,共27頁，2024年2月25日，星期天三、初值問題利用初始條件,可用來確定通解中的任意常數(shù).初值問題:

求微分方程的滿足初始條件的解的問題.第10頁,共27頁，2024年2月25日，星期天在例1中

通解:特解:初值問題：

在例2中初值問題：通解:特解:第11頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二階微分方程的初值問題:幾何意義:求微分方程過定點(diǎn)

的積分曲線.幾何意義:求過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.一階微分方程的初值問題:第12頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解第13頁,共27頁，2024年2月25日，星期天所求特解為第14頁,共27頁，2024年2月25日，星期天求該曲線所滿足的微分方程.2.已知曲線上點(diǎn)

P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為

Q解:如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,思考題第15頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)可分離變量的微分方程

可分離變量的微分方程微分方程的隱式通解第16頁,共27頁，2024年2月25日，星期天一、可分離變量的微分方程第17頁,共27頁，2024年2月25日，星期天二、微分方程的隱式通解第18頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解分離變量兩端積分第21頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共27頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共27頁，2024年2月25日，星期天解由題設(shè)條件衰變規(guī)律第24頁,共27頁，2024年2月25日，星期天

例4有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度第25頁,共27頁，2024年2月25日，星期天設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:第26頁,共27頁，20