專訓(xùn)2-巧作平行線構(gòu)造相似三角形

階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)2巧作平行線構(gòu)造相似三角形習(xí)題課解題時，往往會遇到要證的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法．常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點(diǎn)時，作中位線；(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形．巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形技巧1．如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q，求BP∶PQ∶QD.1解：如圖，連接DF，∵E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點(diǎn)，∴BE＝EF＝FC.∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD.∴DF是△ACE的中位線．∴DF∥AE，且DF＝AE.∴DF∥PE.∴△BEP∽△BFD.∴∵BF＝2BE，∴DF＝2PE，BD＝2BP.∴BP＝PD.∵DF∥AE，∴△APQ∽△FDQ.∴設(shè)PE＝a，則DF＝2a，AP＝3a.∴PQ∶QD＝AP∶DF＝3∶2.∴BP∶PQ∶QD＝5∶3∶2.過頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形技巧2．如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BF∶AF＝3∶2，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長交BC于點(diǎn)E，求的值．2解：如圖，過點(diǎn)C作CG∥AB交AE的延長線于點(diǎn)G.∴△GCD∽△AFD.∴又∵D為CF的中點(diǎn)，∴CD＝FD.∴AF＝CG.∵BF∶AF＝3∶2，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥CG，∴△ABE∽△GCE.∴過一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形技巧3．如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)P.求證：3如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB交DP于點(diǎn)F，∴△PCF∽△PBD.∴∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.∴證明：過一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形技巧4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE＝AB，連接EM并延長交BC的延長線于點(diǎn)D.求證：BC＝2CD.4證明：如圖，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE于點(diǎn)F，∴△CDF∽△BDE.∴∵點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，∴AM＝CM.易證△AME≌△CMF.∴AE＝CF.∵AE＝

AB，∴BE＝3AE.∴