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安徽省馬鞍山市和縣沈巷中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.f(x),g(x)是定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)對(duì)一切x∈[a,b]成立”的(
)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.非充分非必要條件參考答案:A2.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則(
)A. B. C. D.參考答案:C【分析】結(jié)合橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)可得,再利用恰好將線段三等分,可求得.【詳解】因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),所以;雙曲線的一條漸近線為,設(shè)漸近線與橢圓的交點(diǎn)為C,D,如圖,設(shè),代入橢圓可得①因?yàn)榍『脤⒕€段三等分,所以,即有②聯(lián)立①②可得,結(jié)合可得,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓、橢圓和雙曲線的綜合,尋求題目中的等量關(guān)系是求解關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.已知集合M={x|1<x<4),N={1,2,3,4,5},則M∩N=A.{2,3}
B.{1,2,3}
C.{1,2,3,4}
D.{2,3,4}參考答案:A4.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是()A. B.C. D.參考答案:A【分析】由方程的解與函數(shù)圖象交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化得:原方程可轉(zhuǎn)化為,設(shè)方程的解為,,則方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線,的交點(diǎn)共4個(gè),由二次方程區(qū)間根問(wèn)題得:由函數(shù)的圖象與直線,的位置關(guān)系可得:,,設(shè),則,解得:,得解.【詳解】解:令,則方程可轉(zhuǎn)化為,設(shè)方程的解為,,則方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線,的交點(diǎn)共4個(gè),由函數(shù)的圖象與直線,的位置關(guān)系可得:,,設(shè),則,解得:,故選:A.5.設(shè),則函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間()A.
B.
C.
D.參考答案:C6.集合A={0,2,a},B={1,2,},若A∪B={-4,0,1,2,16},則a的值為()A.1 B.2 C.-4 D.4參考答案:C略7.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),,若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù),則(
)A.1
B.
C.2
D.4參考答案:C,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則,所以.所以,則.故選C.8.已知函數(shù),若關(guān)于x的不等式恰有3個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的最小值為(
)A.1
B.2e
C.
D.參考答案:C,等價(jià)于,即恰有3個(gè)整數(shù)解,即有3個(gè)整數(shù)解,,a=1時(shí),不等式無(wú)解,a=2e時(shí),不等式只有一個(gè)整數(shù)解1,排除選項(xiàng)A,B,當(dāng)時(shí),由可得f(x)在(-∞,1)遞減,由可得f(x)在(1,+∞)遞增,,x=0合題意,x<0時(shí),,不等式無(wú)解;,x=1合題意,,x=2合題意,當(dāng)時(shí),,不等式無(wú)解;故時(shí),有且只有3個(gè)整數(shù)解,又的最小值為,故選C.
9.(文)若向量滿足,與的夾角為,則[答](
)
(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:B,選B.10.已知函數(shù)f(x)=。若f(a)+f(1)=0,則實(shí)數(shù)a的值等于A.-3
B.-1
C.1
D.3參考答案:A
本題主要考察了分段函數(shù)值的求法,同時(shí)考查分類討論思想。由,所以a肯定小于0,則故選A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記函數(shù)的定義域?yàn)?,若存在使得成立,則稱點(diǎn)是函數(shù)圖像上的“穩(wěn)定點(diǎn)”.若函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)相異的穩(wěn)定點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.參考答案:或且12.,則使f(a)=-1成立的a值是____________.參考答案:-4或2
13.以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線的極坐標(biāo)方程為,它與曲線為參數(shù))相交于A和B兩點(diǎn),則AB=
.參考答案:略14.“無(wú)字證明”(proofswithoutwords),就是將數(shù)學(xué)命題用簡(jiǎn)單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來(lái)呈現(xiàn).請(qǐng)利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系,寫(xiě)出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式:____________.參考答案:略15.如圖所示是一建筑物的三視圖,現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,則共需油漆大約___________kg.(尺寸如圖所示,單位:米,取3)A.20 B.22.2
C.111 D.110參考答案:B16.已知函數(shù),若存在,使得,則a的取值范圍是
.參考答案:略17.(5分)如圖在程序框圖中,若輸入n=6,則輸出k的值是.參考答案:3【考點(diǎn)】:程序框圖.【專題】:圖表型;算法和程序框圖.【分析】:模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的n,k的值,當(dāng)n=111時(shí),滿足條件n>100,退出循環(huán),輸出k的值為3.解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得n=6,k=0n=13,不滿足條件n>100,k=1n=27,不滿足條件n>100,k=2n=55,不滿足條件n>100,k=3n=111,滿足條件n>100,退出循環(huán),輸出k的值為3.故答案為:3.【點(diǎn)評(píng)】:本題主要考查了程序框圖和算法,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的n,k的值是解題的關(guān)鍵,屬于基本知識(shí)的考查.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.全國(guó)第十二屆全國(guó)人民代表大會(huì)第二次會(huì)議和政協(xié)第十二屆全國(guó)委員會(huì)第二次會(huì)議,2014年3月在北京開(kāi)幕.期間為了了解國(guó)企員工的工資收入狀況,從108名相關(guān)人員中用分層抽樣方法抽取若干人組成調(diào)研小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表:(單位:人)
相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)一般職工63中層27高管182
(1)求,;(2)若從中層、高管抽取的人員中選人,求這二人都來(lái)自中層的概率.
參考答案:.解:(1)由題意可得
,所以,.
……3分(2)記從中層抽取的人為,,,從高管抽取的人為,,則抽取的人中選人的基本事件有:,,,,,,,,,共種.
……8分設(shè)選中的人都來(lái)自中層的事件為,則包含的基本事件有:,,共種.
………………10分因此.
故選中的人都來(lái)自中層的概率為.
……12分19.(本小題滿分16分)已知橢圓E:的左焦點(diǎn)為F,左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心,圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn).(1)求圓C的方程;(2)若直線FG與直線交于點(diǎn)T,且G為線段FT的中點(diǎn),求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng);(3)在平面上是否存在一點(diǎn)P,使得?若存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案:(1)由橢圓E:,得:,,,又圓C過(guò)原點(diǎn),所以圓C的方程為.………………4分(2)由題意,得,代入,得,所以的斜率為,的方程為,
…8分[(注意:若點(diǎn)G或FG方程只寫(xiě)一種情況扣1分)所以到的距離為,直線被圓C截得弦長(zhǎng)為.故直線被圓C截得弦長(zhǎng)為7.…………10分(3)設(shè),,則由,得,整理得①,…………12分又在圓C:上,所以②,②代入①得,
…………14分又由為圓C上任意一點(diǎn)可知,解得.所以在平面上存在一點(diǎn)P,其坐標(biāo)為.
…………16分
20.已知函數(shù)f(x)=k(x﹣1)ex+x2.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)k=﹣,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程;(Ⅱ)若在y軸的左側(cè),函數(shù)g(x)=x2+(k+2)x的圖象恒在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象的上方,求k的取值范圍;(Ⅲ)當(dāng)k≤﹣l時(shí),求函數(shù)f(x)在[k,1]上的最小值m.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】(Ⅰ)k=﹣時(shí),f(x)=﹣(x﹣1)ex+x2,得f′(x)=x(2﹣ex﹣1),從而求出函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程;(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+)<x2+(k+2)x,即:kxex﹣x2﹣kx<0,令h(x)=kex﹣x﹣k,討論當(dāng)k≤0時(shí),當(dāng)0<k≤1時(shí),當(dāng)k>1時(shí),從而綜合得出k的范圍;(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+),令f′(x)=0,得:x1=0,x2=ln(﹣),令g(k)=ln(﹣)﹣k,則g′(k)=﹣﹣1≤0,得g(k)在k=﹣1時(shí)取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,討論當(dāng)﹣2<k≤﹣1時(shí),當(dāng)k=﹣2時(shí),當(dāng)k<﹣2時(shí)的情況,從而求出m的值.【解答】解:(Ⅰ)k=﹣時(shí),f(x)=﹣(x﹣1)ex+x2,∴f′(x)=x(2﹣ex﹣1),∴f′(1)=1,f(1)=1,∴函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線方程為y=x,(Ⅱ)f′(x)=kx(ex+)<x2+(k+2)x,即:kxex﹣x2﹣kx<0,∵x<0,∴kex﹣x﹣k>0,令h(x)=kex﹣x﹣k,∴h′(x)=kex﹣1,當(dāng)k≤0時(shí),h(x)在x<0時(shí)遞減,h(x)>h(0)=0,符合題意,當(dāng)0<k≤1時(shí),h(x)在x<0時(shí)遞減,h(x)>h(0)=0,符合題意,當(dāng)k>1時(shí),h(x)在(﹣∞,﹣lnk)遞減,在(﹣lnk,0)遞增,∴h(﹣lnk)<h(0)=0,不合題意,綜上:k≤1.(Ⅲ)f′(x)=kx(ex+),令f′(x)=0,解得:x1=0,x2=ln(﹣),令g(k)=ln(﹣)﹣k,則g′(k)=﹣﹣1≤0,g(k)在k=﹣1時(shí)取最小值g(﹣1)=1+ln2>0,∴x2=ln(﹣)>k,當(dāng)﹣2<k≤﹣1時(shí),x2=ln(﹣)>0,f(x)的最小值為m=min{f(0),f(1)}=min{﹣k,1}=1,當(dāng)k=﹣2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[k,1]上遞減,m=f(10=1,當(dāng)k<﹣2時(shí),f(x)的最小值為m=min{f(x2),f(1)},f(x2)=﹣2[ln(﹣)﹣1]+[ln(﹣)]2=﹣2x2+2>1,f(1)=1,此時(shí)m=1,綜上:m=1.21.某廠加工的零件按箱出廠,每箱有10個(gè)零件,在出廠之前需要對(duì)每箱的零件作檢驗(yàn),人工檢驗(yàn)方法如下:先從每箱的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,則停止檢驗(yàn);若抽取的零件至少有1個(gè)至多有3個(gè)次品,則對(duì)剩下的6個(gè)零件逐一檢驗(yàn).已知每個(gè)零件檢驗(yàn)合格的概率為0.8,每個(gè)零件是否檢驗(yàn)合格相互獨(dú)立,且每個(gè)零件的人工檢驗(yàn)費(fèi)為2元.(1)設(shè)1箱零件人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為X元,求X的分布列;(2)除了人工檢驗(yàn)方法外還有機(jī)器檢驗(yàn)方法,機(jī)器檢驗(yàn)需要對(duì)每箱的每個(gè)零件作檢驗(yàn),每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗(yàn),以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),在人工檢驗(yàn)與機(jī)器檢驗(yàn)中,應(yīng)該選擇哪一個(gè)?說(shuō)明你的理由.參考答案:(1)詳見(jiàn)解析(2)應(yīng)該選擇人工檢驗(yàn),詳見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)題意,工人抽查的4個(gè)零件中,分別計(jì)算出4個(gè)都是正品或者都是次品,4個(gè)不全是次品的人工費(fèi)用,得出X的可能值,利用二項(xiàng)分布分別求出概率,即可列出X的分布列;
(2)由(1)求出X的數(shù)學(xué)期望,根據(jù)條件分別算出1000箱零件的人工檢驗(yàn)和機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望,比較即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)由題可知,工人抽查的4個(gè)零件中,當(dāng)4個(gè)都是正品或者都是次品,則人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為:元,當(dāng)4個(gè)不全是次品時(shí),人工檢驗(yàn)總費(fèi)用都為:元,所以X的可能取值為8,20,,,則X的分布列為8200.41120.5888
(2)由(1)知,,所以1000箱零件的人工檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元,因?yàn)?000箱零件的機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元,且,所以應(yīng)該選擇人工檢驗(yàn).【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用,求離散型隨機(jī)變量概率、分布列和數(shù)學(xué)期望,屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù).(1)若對(duì)任意,都有恒成立,求a的取值范圍;(2)設(shè)若P是曲線y=F(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),在曲線y=F(x)上總存在另一點(diǎn)Q,使得△POQ中的∠POQ為鈍角,且PQ的中點(diǎn)在軸上,求a的取值范圍.參考答案:解:(1)由,得.由于,,且等號(hào)不能同時(shí)取得,所
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