2024年南航蘇州附中高三數(shù)學(xué)4月二模檢測(cè)試卷附答案解析

2024年南航蘇州附中高三數(shù)學(xué)4月二模檢測(cè)試卷時(shí)間120分鐘滿分150分2024.04一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知集合，則陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．2024年3月19日，新加坡共和理工學(xué)院代表團(tuán)一行3位嘉賓蒞臨我校，就拓寬大學(xué)與中學(xué)間的合作、深化國(guó)際人才培養(yǎng)等議題與我校進(jìn)行了深入的交流.交流時(shí)嘉賓席位共有一排8個(gè)空座供3位嘉賓就坐，若要求每位嘉賓的兩旁都有空座，且嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，則不同的坐法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸5．已知，則（

）A．48 B．192 C．128 D．726．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最大值是B．圓關(guān)于直線對(duì)稱C．若點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最小值是D．直線與圓相交10．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．若，則為直角三角形C．若為銳角三角形，的最小值為1D．若為銳角三角形，則的取值范圍為11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說(shuō)法正確的有（

）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．袋中有5個(gè)球，其中紅黃藍(lán)白黑球各一個(gè)，甲乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事件：甲和乙至少一人摸到紅球，事件：甲和乙摸到的球顏色不同，則．13．設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)四點(diǎn)，已知，，與的夾角為，M為AB的中點(diǎn)，，則的最大值為．14．已知定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，點(diǎn)為的重心，且，求的面積．16．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．17．如圖，在五面體中，底面為正方形，.

(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分18．近年來(lái)，某大學(xué)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開(kāi)放了兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.(1)該校學(xué)生甲?乙?丙三人某周均從兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲?乙?丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；(2)該校學(xué)生丁每周六?日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè)，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來(lái)衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其值低于1分的概率為0.02.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過(guò).若抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)23，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.19．過(guò)拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點(diǎn)，且．

(1)求拋物線的方程；(2)利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；(3)設(shè)是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動(dòng)點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），過(guò)D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA，PB于M，N，證明：．1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)定義計(jì)算即可【詳解】由題知，復(fù)數(shù)．故選:B．2．B【分析】由陰影部分為以全集為A的集合A與集合B交集的補(bǔ)集求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，即陰影部分表示的集合為，故選：B3．A【分析】排列問(wèn)題，用插空法根據(jù)要求即可解決.【詳解】共有8個(gè)座位，3個(gè)人就坐，所以還剩下5個(gè)座位；因?yàn)橐竺總€(gè)人左右都有空座，所以在5個(gè)座位的4個(gè)空隙中插入3個(gè)人，共有種，又嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，所以共有種，故選：A.4．C【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.【詳解】如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.5．B【分析】令，求導(dǎo)，然后令求解.【詳解】解：令，則，令，得．故選：B．6．D【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，化簡(jiǎn)可得，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，（）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：D．7．B【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再按為奇數(shù)、偶數(shù)分類求解即可得的范圍.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，則，整理得，即，而，解得，于是，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，由，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，顯然為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，于是，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，顯然恒有，于是，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8．A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意及一元二次方程根的分布得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：若，但，故排除此種情況，若，對(duì)于二次函數(shù)開(kāi)口向上，又，則，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)：（1）會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，然后利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系進(jìn)行解答；（2）會(huì)作圖，即會(huì)根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象、圖象的平移變換法則或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系畫(huà)出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會(huì)觀察，即會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想列方程（組）或不等式（組）．9．AB【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可得，進(jìn)而可得圓方程，根據(jù)斜率的意義，結(jié)合直線與圓相切即可求解A，根據(jù)圓心在直線上即可求解B，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解CD.【詳解】設(shè)圓的圓心為．因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，圓的圓心為，半徑為2，所以圓的半徑為2，兩圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱，則解得所以，故圓的方程為．對(duì)于A，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，如圖，過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以圓心到直線的距離，解得，故由圖可知的最大值是，故A正確；

對(duì)于B，圓心在直線上，則圓關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離為，所以的最小值是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，故D錯(cuò)誤．故選:AB．10．ABD【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換可得，即可得，所以A正確；再利用由正弦定理計(jì)算可得，可得，B正確；由銳角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C錯(cuò)誤；由正弦定理可得，結(jié)合的范圍并利用函數(shù)單調(diào)性可得D正確.【詳解】對(duì)于中，由正弦定理得，由，得，即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即，A正確；對(duì)于B，若，結(jié)合和正弦定理知，又，所以可得，B正確；對(duì)于，在銳角中，，即.故，C錯(cuò)誤；對(duì)于，在銳角中，由，，令，則，易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；故選：ABD.11．ABD【分析】對(duì)A由平面，聯(lián)想到存在一個(gè)過(guò)的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進(jìn)而得到的軌跡為線段，對(duì)B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對(duì)C舉反例即可；對(duì)D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】對(duì)A，如圖，令中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長(zhǎng)為2的正方體得線段的長(zhǎng)度為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí),所以體積最小值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，由可得,又中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,，而，,故選項(xiàng)C不正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.

12．【分析】求出和的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】依題意，事件甲、乙只有一人摸到紅球，則，而，所以.故答案為：13．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)的坐標(biāo)，分別求出向量，的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解．【詳解】以A為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)作的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋?，與的夾角為，，由于，故，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以在以為圓心，半徑為1的圓上，設(shè)，則，，得，所以當(dāng)，即時(shí)，最大，最大值為，此時(shí)，則．故答案為：．

14．【分析】先判斷為不等式的解，再當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意令，求導(dǎo)后結(jié)合已知條件可得在上遞增，且為偶函數(shù)，由，得，則將轉(zhuǎn)化為，再利用的奇偶性和單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，則，所以成立，所以符合，當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上遞增，因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，因?yàn)?，定義在上的偶函數(shù)，所以，所以由，得，所以，所以，因?yàn)樵谏线f增，所以，且，得，且，綜上，，即不等式的解集是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性解不等式，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化即可求解;（2）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可得，由面積公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得．又因?yàn)?，所以．?）設(shè)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，又因?yàn)椋裕谥?，由和，可得．在和中，有，由余弦定理可得故，所以，所以的面積為．16．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)得，再分和兩種情況討論即可．（2）由（1）知，從而，即證明，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得證．【詳解】（1），當(dāng)在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得；令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．令，則．令，則．因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增．又，所以，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以，即?dāng)時(shí)，．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)證明；（2）選①②：證明平面，建立以M為原點(diǎn)的空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角公式求解【詳解】（1）證明：底面為正方形,則，又平面，平面，則平面，又平面平面，平面，故.（2）選①，取中點(diǎn)G,連接，因?yàn)?，所以，易知為梯形的中位線，則，又平面，故平面，平面，則平面，且必相交，故平面，延長(zhǎng)GM交BC于P,則P為中點(diǎn)，易得，故為矩形.以M為原點(diǎn)，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過(guò)M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為.

選②：取中點(diǎn)G,連接，易知為梯形的中位線，，則，由題，，則，故又平面，故平面，延長(zhǎng)GM交BC于P,則P為中點(diǎn)，易得，故為矩形.以M為原點(diǎn)，所在直線為z軸，MG所在直線為x軸，過(guò)M作CB平行線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為..18．(1)(2)(3)30【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進(jìn)行計(jì)算；（2）設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解；（3）設(shè)抽取次數(shù)為，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望，利用錯(cuò)位相減法求出，