324528436、微專題：已知正弦、余弦或正切值求角-講義-2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：已知正弦、余弦或正切值求角已知正弦、余弦或正切值求角，是用“解析法”研究三角的目的之一；由于角是任意角；所以，已知正弦、余弦或正切值求角，所得的角不一定只有一個(gè)，角的個(gè)數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定，這個(gè)范圍注意通過閱讀理解題設(shè)進(jìn)行理解。一般的結(jié)論有：若，則解集為：；若，則解集為：；若，則解集為：?！镜淅款}型1、已知正弦、余弦或正切值求角例1、如果已知，求：滿足條件的角的集合；【提示】【答案】【解析】（1）方法1、方法2、【說明】題型2、已知正弦、余弦或正切值求給定區(qū)間上的角例2、（1）已知，求：滿足條件的角的集合；（2）已知，求：在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合；（3）已知，求：在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合；【提示】【答案】【解析】（2）方法1、方法2、【說明】友情提示：已知正切值求角與已知正(余)弦值求角的不同點(diǎn)是：（1）已知正(余)弦值求角中的找角范圍一般是在[0，2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范圍一般是在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（2）在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值求角中加“kπ，k∈Z”；題型3、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范圍例3、（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；題型4、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展例4、已知，求：滿足條件的角的集合；【歸納】1、已知三角函數(shù)值求角時(shí)應(yīng)注意的問題在一定范圍內(nèi)已知三角函數(shù)值對應(yīng)的角不一定只有一個(gè)，可分為以下幾步求解．第一步：確定角可能在第幾象限；第二步：如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應(yīng)的銳角x1；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角x1；第三步：如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角得出(0，2π)內(nèi)對應(yīng)的角；第四步：如果要求出(0，2π)以外對應(yīng)的角，則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果；2、已知正弦、余弦或正切值求角的相關(guān)結(jié)論（1），Z；，Z；，Z。（2）以后學(xué)了反三角后，結(jié)論可拓展為：最簡三角方程解集{，Z}，也可以寫成{，或，Z}{，Z}{，Z}{，Z}（R）{，Z}3、用三角函數(shù)線解sinx>a(或cosx>a)的方法：（1）找出使sinx＝a(或cosx＝a)的兩個(gè)x值的終邊所在位置；（2）根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集【即時(shí)練習(xí)】1、“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2、滿足等式的的集合是（）A． B．C． D．3、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，則角x等于4、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，則角x等于5、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則α＝________6、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，則x＝________7、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在區(qū)間(0，π)內(nèi)的解是__________8、如果，且，那么角的取值范圍是9、分別求滿足下列條件的x的值：（1）sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；（3）tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，x∈[0，π]10、求滿足下列條件的的集合：（1）；（2）；【教師版】微專題：已知正弦、余弦或正切值求角已知正弦、余弦或正切值求角，是用“解析法”研究三角的目的之一；由于角是任意角；所以，已知正弦、余弦或正切值求角，所得的角不一定只有一個(gè)，角的個(gè)數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定，這個(gè)范圍注意通過閱讀理解題設(shè)進(jìn)行理解。一般的結(jié)論有：若，則解集為：；若，則解集為：；若，則解集為：?！镜淅款}型1、已知正弦、余弦或正切值求角例1、如果已知，求：滿足條件的角的集合；【提示】注意：任意角的前提，借助三角函數(shù)線直觀解之；【答案】（1）或【解析】（1）方法1、在單位圓中，由可知，角對應(yīng)的正弦線方向朝上，而且長度為，作示意圖，如圖所示，可知角的終邊可能是，也可能是，又因?yàn)?，所以或所以，滿足條件的角的集合為：或方法2、由，根據(jù)“若，則解集為：”則滿足條件的角的集合為：；【說明】本題用單位圓中的三角函數(shù)線與結(jié)論兩種方法解得滿足條件的角的集合；但兩種表達(dá)形式不一樣，思考：用什么方法簡單合理地檢驗(yàn)兩種集合相等。題型2、已知正弦、余弦或正切值求給定區(qū)間上的角例2、（1）已知，求：滿足條件的角的集合；（2）已知，求：在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合；（3）已知，求：在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合；【提示】會用結(jié)論求出所有的解，或借助單位圓中三角函數(shù)線；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由變形得，由結(jié)論得，滿足條件的角的集合為：；（2）方法1、由，又，則或，在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合為；；方法2、適當(dāng)取并檢驗(yàn)；（3）同（2）得在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合為：；【說明】通過本題說明有了“結(jié)論”，已知正弦、余弦或正切值就可以“非常方便”地求出滿足條件的角的全體；至于給定區(qū)間或條件，只要解不等式或適當(dāng)取值即可；友情提示：已知正切值求角與已知正(余)弦值求角的不同點(diǎn)是：（1）已知正(余)弦值求角中的找角范圍一般是在[0，2π]([－π，π])，而已知正切值求角中的找角范圍一般是在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（2）在表示角中，已知正(余)弦值求角中加“2kπ，k∈Z”，而在已知正切值求角中加“kπ，k∈Z”；題型3、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范圍例3、（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；【提示】注意：依據(jù)“結(jié)論”的推導(dǎo)思路，借助單位圓中的三角函數(shù)線；【答案】（1）【解析】（1）由可知，角x對應(yīng)的正弦線方向朝上，而且長度為，作示意圖，如圖所示，可知角的終邊可能是，也可能是，又因?yàn)椋曰蛟儆蓤D可知，如果的終邊在中，則一定有，因此，滿足條件的角的取值范圍（2）畫出單位圓中三角函數(shù)線，如圖．由圖可知角的范圍是：或；【說明】通過本題說明：有時(shí)掌握結(jié)論、公式的推導(dǎo)思路與方法，補(bǔ)集可以拓展解題思路；同時(shí)，也是解答“新定義”、‘探究題’的基本方法；題型4、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展例4、已知，求：滿足條件的角的集合；【提示】注意：代換法；【答案】【解析】不妨將“”看作整體，代入“若，則解集為：”則得，解得或，所以，滿足條件的角的集合為：或；【說明】通過本題的求解，可以不難發(fā)現(xiàn)，在“任意角”前提下，在“結(jié)論”的允許值范圍內(nèi)，經(jīng)“代換”就可以“編制”出這類題；所以，解答這類題的方法就是：結(jié)論與代換法交匯，然后解不等式注意“”即可；【歸納】1、已知三角函數(shù)值求角時(shí)應(yīng)注意的問題在一定范圍內(nèi)已知三角函數(shù)值對應(yīng)的角不一定只有一個(gè)，可分為以下幾步求解．第一步：確定角可能在第幾象限；第二步：如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應(yīng)的銳角x1；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對值對應(yīng)的銳角x1；第三步：如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角得出(0，2π)內(nèi)對應(yīng)的角；第四步：如果要求出(0，2π)以外對應(yīng)的角，則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果；2、已知正弦、余弦或正切值求角的相關(guān)結(jié)論（1），Z；，Z；，Z。（2）以后學(xué)了反三角后，結(jié)論可拓展為：最簡三角方程解集{，Z}，也可以寫成{，或，Z}{，Z}{，Z}{，Z}（R）{，Z}3、用三角函數(shù)線解sinx>a(或cosx>a)的方法：（1）找出使sinx＝a(或cosx＝a)的兩個(gè)x值的終邊所在位置；（2）根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集【即時(shí)練習(xí)】1、“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【提示】注意化簡三角比；【答案】B【解析】由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件，故選【說明】本題是由三角比求角與命題充要條件的交匯，2、滿足等式的的集合是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，或，或.綜上所述，方程的解集為.故選：D【說明】本題考查了解三角方程、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、已知三角函數(shù)值求角；3、已知cosx＝eq\f(1,2)，0＜x＜eq\f(π,2)，則角x等于【提示】注意特殊角的三角比【答案】eq\f(π,3)【解析】coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)【說明】注意三角比加角的范圍；4、已知cosx＝eq\f(1,2)，＜x＜，則角x等于【提示】注意特殊角的三角比與誘導(dǎo)公式結(jié)合【答案】【解析】cos=coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)【說明】注意三角比加角的范圍；5、若tanα＝eq\f(\r(3),3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則α＝________【提示】注意角的范圍【答案】eq\f(7π,6)【解析】因?yàn)閠aneq\f(7π,6)=tan（π＋eq\f(π,6)）＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq\f(π,6)＝eq\f(7π,6).【說明】特殊角的三角比與誘導(dǎo)公式結(jié)合6、若tanx＝eq\r(,3)，且x∈(－π，π)，則x＝________【提示】注意特殊角的三角比與誘導(dǎo)公式結(jié)合【答案】eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3)【解析】因?yàn)閠anx＝eq\r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則x＝eq\f(π,3)，若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，則x＝eq\f(π,3)－π＝－eq\f(2π,3)，綜上x＝eq\f(π,3)或－eq\f(2π,3).【說明】特殊角的三角比與誘導(dǎo)公式結(jié)合7、方程2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1在區(qū)間(0，π)內(nèi)的解是__________【提示】注意整體計(jì)算；【答案】eq\f(7π,12)；【解析】∵2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝1，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)；∵x∈(0，π),∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,3)，∴x＝eq\f(7π,12).【說明】注意整體計(jì)算、特殊角的三角比與角度范圍的交匯。8、如果，且，那么角的取值范圍是【提示】注意化簡與等價(jià)轉(zhuǎn)化；【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以角的終邊落在軸或其上方，從而角的取值范圍是；【說明】本題是實(shí)數(shù)的絕對值、三角比的符號規(guī)則的交匯。9、分別求滿足下列條件的x的值：（1）sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；（3）tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，x∈[0，π]【解析】（1）∵sinx＝eq\f(\r(2),2)，x∈[－π，π]，∴x＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4).（2）∵cosx＝－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x＝eq\f(2π,3)或eq\f(4π,3).（3）∵tanx＝－1，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c