2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題11對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)學(xué)生版

專題11對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù).【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.【常用結(jié)論】1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù).故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.【方法技巧】1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.4.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).5.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.6.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.二、【題型歸類】【題型一】對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與求值【典例1】(1)計(jì)算log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514的值．(2)計(jì)算(log2125＋log425＋log85)(log1258＋log254＋log52)的值．(3)設(shè)x，y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且z為x和y的等比中項(xiàng)，則eq\f(lgz,4lgx)＋eq\f(lgz,lgy)的最小值為_(kāi)_______．【典例2】(1)計(jì)算(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25的值；(2)計(jì)算(log32＋log92)(log43＋log83)的值；(3)設(shè)函數(shù)f1(x)＝x，f2(x)＝log2015x，ai＝eq\f(i,2015)(i＝1，2，…，2015)，記Ik＝|fk(a2)－fk(a1)|＋|fk(a3)－fk(a2)|＋…＋|fk(a2015)－fk(a2014)|，k＝1，2，則()A．I1＜I2B．I1＝I2C．I1＞I2D．I1與I2的大小關(guān)系無(wú)法確定【典例3】設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.eq\r(10)B．10C．20D．100【題型二】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典例1】已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1【典例2】若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【典例3】已知x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x－2的零點(diǎn)，則＋lnx2的值為()A．e2＋ln2 B．e＋ln2C．2 D．4【題型三】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的綜合問(wèn)題【典例1】已知函數(shù)f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)內(nèi)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(4)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－∞，－1]，求實(shí)數(shù)a的值．【典例2】已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．【典例3】已知函數(shù)f(x)＝logaeq\f(1－mx,x－1)是奇函數(shù)(a＞0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判斷f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的單調(diào)性；(3)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，若對(duì)于[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f(x)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋b恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【題型四】比較指數(shù)式、對(duì)數(shù)式大小【典例1】設(shè)a＝log3e，b＝e1.5，c＝，則()A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a(chǎn)<c<b【典例2】設(shè)a＝log63，b＝log126，c＝log2412，則()A．b<c<a B．a(chǎn)<c<bC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【典例3】設(shè)a＝log412，b＝log515，c＝log618，則()A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a【題型五】解對(duì)數(shù)方程、不等式【典例1】方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為_(kāi)_______．【典例2】已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________．【典例3】若loga(a＋1)<loga(2eq\r(a))<0(a>0，a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【題型六】對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減【典例2】若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【典例3】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】已知loga(a＋1)<log(a＋1)a(a>0且a≠1)，則a的取值范圍是．【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)當(dāng)k＝－4時(shí)，解不等式f(x)>2；(2)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1)，且關(guān)于x的方程f(x)＝x－2m有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【訓(xùn)練三】已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x－1,x＋1).(1)計(jì)算：f(2020)＋f(－2020)；(2)對(duì)于x∈[2,6]，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【訓(xùn)練四】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在[m，n]?D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]，那么就稱y＝f(x)是定義域?yàn)镈的“成功函數(shù)”.若函數(shù)g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定義域?yàn)镽的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))【訓(xùn)練五】已知f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個(gè)結(jié)論：(1)若k＝0，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)?k<0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；(3)?k<0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；(4)?k>0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn).以上正確結(jié)論的序號(hào)是________.【訓(xùn)練六】已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果對(duì)任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．b<c<a2.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)且f(2)＝1，則f(x)等于()A．log2xB.eq\f(1,2x)C．D．2x－23.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽(yáng)的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.14.若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象大致是()5.設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能確定6.若函數(shù)y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，則a的取值范圍是()A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1C．1<a<2 D．a(chǎn)≥27.已知函數(shù)f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函數(shù)，則不等式f(x)＋4x<log32的解集為()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1)8.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x>1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()A．[－1，2] B．[0，2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)【多選題】9.已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，則()A．(a－1)(a－b)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>010.已知函數(shù)f(x)＝log2(1－|x|)，則關(guān)于函數(shù)f(x)有下列說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法為()A．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．f(x)的最大值為0D．f(x)在區(qū)間(－1,1)上單調(diào)遞增11.已知函數(shù)f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，則()A．f(x)在(2，6)上單調(diào)遞增B．f(x)在(2，6)上的最大值為2ln2C．f(x)在(2，6)上單調(diào)遞減D．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對(duì)稱12.在同一直角坐標(biāo)系中，f(x)＝kx＋b與g(x)＝logbx的圖象如圖，則下列關(guān)系不正確的是()A．k＜0，0＜b＜1B．k＞0，b＞1C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))g(1)＞0(x＞0)D．x＞1時(shí)，f(x)－g(x)＞0【填空題】13.設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________．14.已知函數(shù)y＝loga(x＋3)－eq\f(8,9)(a＞0，a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______；若點(diǎn)A也在函數(shù)f(x)＝3x＋b的圖象上，則f(log32)＝________．15.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx＋b，x>1，,ex－2，x≤1，))若f(e)＝－3f(0)，則b＝________，函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)_______．16.已知函數(shù)f(x)＝－log2