2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)第35講數(shù)列求和教師版

第36講數(shù)列求和（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則A． B． C． D．【分析】本題根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可先求出連續(xù)奇偶項(xiàng)的和，然后運(yùn)用分組求和法可計(jì)算出的值，得到正確選項(xiàng)．【解答】解：由題意，令，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，．故選：．2．已知數(shù)列滿足，則A． B． C． D．【分析】本題先根據(jù)公式法計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算出的表達(dá)式并根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)進(jìn)行裂項(xiàng)，最后計(jì)算時(shí)相消即可得到結(jié)果．【解答】解：由題意，可知，則，．故選：．3．已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的前項(xiàng)和為A． B． C． D．【分析】在中取為，得到，兩式相減求得，再用裂項(xiàng)累加即可．【解答】解：在中，取，易得數(shù)列滿足：①，②，②①可得，，也滿足）．，則數(shù)列的前項(xiàng)和．故選：．4．已知數(shù)列滿足：，．正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)于每個(gè)，，且，，成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和為A． B． C． D．【分析】運(yùn)用數(shù)列的累乘法求得，再由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)可得，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【解答】解：，可得，由，可得，可得，由，，成等比數(shù)列，可得，可得，則，所以．故選：．5．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．1 B． C． D．【分析】由題意，，，即可得，累加即可．【解答】解：由題意，，故，于是，，故選：．6．已知等差數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A．32 B．28 C．128 D．0【分析】設(shè)公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，再討論數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，由等差數(shù)列的求和公式可得所求和．【解答】解：設(shè)公差為，由，，可得，，解得，，故，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，則．故選：．7．等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A． B． C． D．【分析】等差數(shù)列的公差設(shè)為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，由等差數(shù)列的求和公式可得，，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【解答】解：等差數(shù)列的公差設(shè)為，由，，可得，，解得，可得，則，可得則．故選：．8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且數(shù)列的前6項(xiàng)和等于321，則的值等于A． B． C．1 D．2【分析】先由題設(shè)條件得到：，再由求得，進(jìn)而求得，再由其前6項(xiàng)和等于321求得的值．【解答】解：依題意得：當(dāng)時(shí)，有，解得：；當(dāng)時(shí)，由，兩式相減可得：，即：，故，，故數(shù)列的前6項(xiàng)和為．令①，則②，由①②可得：，則，，解得：．故選：．9．公元1202年意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，．此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用．若記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A．0 B．1 C．2019 D．2020【分析】直接利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列為等比數(shù)列．進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和．【解答】解：由題意知，由于，所以，所以．故選：．10．（多選）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，．，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，求出其遞推關(guān)系式；再對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)檢驗(yàn)即可【解答】解：．由，，，可得成立；．由，，，可得，；成立；．由，，，，，可得：．故是斐波那契數(shù)列中的第2020項(xiàng)．即答案成立；．斐波那契數(shù)列總有，則，，，，，；；即答案成立故選：．11．（多選）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，．，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是A． B． C．當(dāng)時(shí)，取最小值 D．當(dāng)時(shí)，取最小值【分析】由已知求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得到通項(xiàng)公式判斷與；再求出，由的項(xiàng)分析的最小值．【解答】解：在遞增的等差數(shù)列中，由，得，又，聯(lián)立解得，，則，．．故正確，錯(cuò)誤；可得數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)，第5項(xiàng)為正，第六項(xiàng)為負(fù)，第六項(xiàng)以后均為正．而．當(dāng)時(shí)，取最小值，故正確，錯(cuò)誤．故選：．12．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．【分析】由已知數(shù)列遞推式，可得，再由累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和．【解答】解：由，①得當(dāng)時(shí)，，②①②得：，即，則：，，，，．累乘可得：，又，，則．故答案為：．13．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值為．【分析】先對(duì)分當(dāng)，與，兩類研究，進(jìn)而得到與，然后分別求出與即可求得的值．【解答】解：，當(dāng)，時(shí)，有；當(dāng)，時(shí)，有，又，．又，．故答案為：299．14．已知數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得，求得，考慮每隔四項(xiàng)的和，結(jié)合特殊角的余弦函數(shù)值，計(jì)算可得所求和．【解答】解：，可得，則，則．故答案為：．15．?dāng)?shù)列中，，，，則的前項(xiàng)和．【分析】（1）直接利用等比數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：數(shù)列中，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．所以，所以．則：，所以，所以．故答案為：16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，．設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．【分析】由數(shù)列的遞推式：時(shí)，；時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，化簡(jiǎn)整理可得所求和．【解答】解：數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足，．可得時(shí)，，解得，時(shí)，，又，相減可得，化為，由，可得，則，，可得．故答案為：．17．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和為．【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，所以，解得，所以．、（2）由于，所以，所以．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，為等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）由數(shù)列的遞推式可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，計(jì)算出，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得；（2）求得，再由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，則；因?yàn)椋?，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以；（2），由，所以，①，②①②可得，所以．19．已知在等差數(shù)列中，，．（Ⅰ）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（Ⅰ）直接利用等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列是等比數(shù)列．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進(jìn)一步利用分組法求出數(shù)列的和．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)公差為的等差數(shù)列中，，．整理得，解得，所以．由于，所以，，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）由于數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．所以，故：．20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且，．所以，解得，整理得（2）由（1）得：數(shù)列滿足，則．21．已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和是，且____（①，，成等比數(shù)列，②，③，任選一個(gè)條件填入上空），設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】選①：由已知得，再利用錯(cuò)位相減法求和；選②：，再利用錯(cuò)位相減法求和；選③：求得，，再利用錯(cuò)位相減法求和；【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，選①：由，，成等比數(shù)列得，化簡(jiǎn)得，，于是，，，相減得：，；選②：，時(shí)，，符合上式，，下同①；選③：，，，，，相減得，．[B組]—強(qiáng)基必備1．為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，，對(duì)任意大于2的正整數(shù)，有恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為A．7 B．6 C．5 D．4【分析】先由題設(shè)條件求出，得到：，整理得：，從而有數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂項(xiàng)相消法整理可得，解出的最小值．【解答】解：依題意知：當(dāng)時(shí)有，，，，，，即，，即，，又，，，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，故，，，，，由上面的式子累加可得：，，，．由可得：，整理得，且，解得：．所以的最小值為6．故選：．2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)，，，，使，，，，，成等差數(shù)列．這樣得到新數(shù)列，，，，，，，，，，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列判斷：①；②；③；④．其中正確的判斷序號(hào)是．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列求和的方法逐一判斷即可．【解答】解：以題意，有①，故①正確；②在數(shù)列中是第項(xiàng)，所以，故②錯(cuò)誤；③，，故③正確；④，故④正確．故答案為：①③④．3．定義數(shù)列，先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)，再添加1的后繼數(shù)2，于是，，接下來(lái)再?gòu)?fù)制前面所有項(xiàng)，之后再添加2的后繼數(shù)3，如此繼續(xù)，1，2，1，1