3年模擬解答題27題壓軸題滿分練（六）（解析版）-2021年中考數(shù)學(xué)6年中考3年模擬題號對應(yīng)滿分練（江蘇南京專用）

3年模擬解答題27題壓軸題滿分練（六）

（滿分60分時(shí)間：80分鐘）班級姓名得分

一、解答題：（本題共6小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

1.（2019年南京市鼓樓區(qū)中考二模）提出問題：用一張等邊三角形紙片剪一個(gè)直角邊長

分別為2。"和3cm的直角三角形紙片，等邊三角形紙片的邊最小值是多少？

探究思考：幾位同學(xué)畫出了以下情況，其中NC=90。，BC=2cm,△ADE為等邊三角

形.

（1）同學(xué)們對圖1,圖2中的等邊三角形展開了討論：

①圖一中A。的長度______圖②中4。的長度（填“>”，或"="）

②等邊三角形AOE經(jīng)過圖形變化.AO可以更小.請描述圖形變化的過程.

（2）有同學(xué)畫出了圖3,但老師指出這種情況不存在，請說明理由.

（3）在圖4中畫出邊長最小的等邊三角形，并寫出它的邊長.

經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用：

（4）用一張等邊三角形紙片剪一個(gè)直角邊長為lew?和3c7〃的直角三角形紙片，等邊三角

形紙片的邊長最小是多少？畫出示意圖并寫出這個(gè)最小值.

【答案】（1）①〉

②如圖5,將AADE繞點(diǎn)A被逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，再以A為位似中心，將AADE縮

小，使得點(diǎn)8再次落在邊DE上；

1

A

(2)如圖3,-AD=AE,AC1DE,^DAE=60°,

i

???Z.DAC=-￡.DAE=30°,

2

在RMZMC中，tanzD4C=

BPtan30°=~~=f，DC=V3?

vBC=2,

??.BC>DC,

而這與題意矛盾，所以圖3這種情況不存在;

(3)當(dāng)。與B重合時(shí)，4。最小，如圖4,

2

此時(shí)4。=48=V13;

則它的邊長是gem；

(4)作等邊A/WE的高44,

vAH=sin60°AD,

???當(dāng)AD最小時(shí)，AH最小，

考慮以下三種情況：

①當(dāng)4C是等邊△4DE的高時(shí)，如圖6,

圖6

②如圖7,C在邊。E上，此時(shí)4C>4H,

圖7

③如圖8,B在邊DE上,MAH>AC,

圖8

所以在圖7中，AQ越往右偏，則越小，

綜上，可以得到當(dāng)A3與AO共線時(shí)，A。是最小的，

如圖9,AB與AO共線時(shí)，AO最小，過C作CFJ.AB于F,

3

???AB=V10?

■■S^ABC=\AB-CF^\AC-BC,

：.V10CF=1X3,

CF4=幽

yflQ10

AF=<AC2-CF2=J32_（盍尸=需,

中，

Rt△DFCtan600=—DF,

3V10.

...DF=￥=叵，

V310

AD=AF+DF=—V10+-1

1010

答：等邊三角形紙片的邊長最小值是+嚕）cm.

【解析】解：（1）①在圖1和圖2中分別過A向DE作垂線AG和AH,

AB=V22+32=V13.

由圖1和圖2可知：BH>BG,

AG>AH,

??,△ADE為等邊三角形，

???Z-D=60°?

4

.??圖一中AD的長度〉圖②中AD的長度，

故答案為：>;

②見答案

(2)見答案

(3)見答案

(4)見答案

⑴①圖1和圖2中分別作高線AG和A”，根據(jù)AG和A”的大小決定結(jié)論，由A8相等，

所以根據(jù)BGC8H可知：AOAH,可得結(jié)論：②畫圖進(jìn)行說明即可；

(2)計(jì)算OC的長，可知：BC>DC,所以圖3這種情況不存在；

(3)當(dāng)。與B重合時(shí),AO最小，如圖4,此時(shí)AD=4B；

(4)首先考慮特殊的情況：①4C=高線AH時(shí)，如圖6,②時(shí)，如圖7,C在邊。E

上，③4c<4,時(shí)，如圖8,綜上，可以得到當(dāng)AB與4。共線時(shí)，AQ是最小的，計(jì)算此時(shí)

的值即可.

本題是三角形的幾何變換綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三

角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、位似的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大.

2.(2019年南京市聯(lián)合體中考.模)【概念提出】如圖①，若正AOEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別

在正△力BC的邊AB、BC、AC上，則我們稱尸是正△ABC的內(nèi)接正三角形.

⑴求證：A/WF三△BED：

【問題解決】利用直尺和圓規(guī)作正三角形的內(nèi)接正三角形(保留作圖痕跡，不寫作法).

(2)如圖②，正△ABC的邊長為。，作正A/IBC的內(nèi)接正AOEF,使△DEF的邊長最短,

并說明理由；

(3)如圖③，作正AABC的內(nèi)接正ADEF,使FD_LAB.

5

【答案】【概念提出】

證明（1）???△4BC與ADEF都是正三角形，

A44=4B=60°,4EDF=60°,DF=ED,

?：Z.ADF+乙EDF=Z.B+乙BED,

：?LADF=LBED,h.DF=DE,4A=/B=60°

??,AADFmABED：

【問題解決】（2）如圖所示：

理由：由(1)易得A/lOF三△BE。三ZiCEF,

過點(diǎn)。作。G_LBE,設(shè)BD=x,則4C=BE=a-x,

DG=畀’S^BED=[BE.CG="a-x)?/%=-?(x-52+盤a2；

ZZZ/4N1O

.?.當(dāng)BL>=$,即點(diǎn)。、E、F是各邊中點(diǎn)時(shí)，SABED有最大值3a2,

此時(shí)△ADF.△CEF的面積均為最大[&2(正4ABC的四分之一)，

則內(nèi)接正的面積最小，即邊長最短.

(3)如圖所示:

(1)由等邊三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得乙4OF=4BED,DF=DE,44=48=60。，即可

證^ADF=LBED；

【問題解決】

6

(2)由，DEF=4。片，可知當(dāng)SADEF最小時(shí)，OF的長最小，設(shè)8。=%,貝必。=BE=a-x,

可得SABEO=(BE-DG=|(a-x)-yx=~(x-^)2+^fa2;即當(dāng)x=：

時(shí)，SABED有最大值在a2,則內(nèi)接正AOEF的面積最小，即邊長最短.

16

(3)作A8,AC的垂直平分線交點(diǎn)為。，連接AO,作AO的垂直平分線交AB于。，以。為

圓心，0。為半徑作圓，交AC于點(diǎn)F,交8c于點(diǎn)E,即可求解.

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性

質(zhì)以及尺規(guī)作圖，由又如=乎。尸，可知當(dāng)，DEF最小時(shí)，力尸的長最小，利用二次函數(shù)性

質(zhì)求的最小值是本題的關(guān)鍵.

3.(2019年南京市建鄴區(qū)中考模)我們定義：有一組對角相等的四邊形叫做“等對角

四邊形”.

(1)如圖①，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，點(diǎn)E在CQ的延長線上，且=證明：四

邊形ABCE是“等對角四邊形”.

(2)如圖②，在“等對角四邊形"48CD中，/DAB=乙BCD=53。,=90°,sin53°?

34

c°s53°"g，tm53。，

(3)如圖③，在RtAACD中，乙4CD=90。，Z.DAC=30°,CD=4,若四邊形ABC￡>是

”等對角四邊形"，且NB=nC,則8。的最大值是.(直接寫出結(jié)果)

【答案】(1)證明：?泗邊形A8CD內(nèi)接于。0,

???乙B+^ADC=180°,

vZ.ADE+Z.ADC=180°,

???乙B=Z,ADE>

7

vAE-AD,

乙E=乙ADE,

:.乙B=乙E，

???四邊形A3CE是“等對角四邊形”；

(2)如圖②，過點(diǎn)。作。E14B于點(diǎn)E,DF1BC于點(diǎn)F,

乙BED=4BFD=90°,

又乙B=90°,

四邊形為矩形，

??.BE=DF,BF=DE,

在RMCDF中

4

tanzFCD==tan53°=

設(shè)DF=4x,(：F=3x,則CO=5x

?.?BE=DF=4%,DE=BF=18-3x,AE=17-4%,

np4

在Rt△AOE中-4=53。，tan〃一，，

???3DE=4AE

3(18-3%)=4(17-4%),

?,*x-21

CD=5x=10

(3)4+4V3

【解析】

解：⑴見D

答案

(2)見答

(

乙ACD=B

90°,

Z.DAC=①②③與當(dāng)

30°,

8

Z.CDA=60°,乙4BC=60°,

二點(diǎn)B在以AC為邊的等邊三角形的外接圓的傘nC上運(yùn)動，

.?.當(dāng)8。經(jīng)過圓心。時(shí)，8。最長，即為名。的長，

如圖③，連接。O,與弧交于點(diǎn)名，連接OC,作OE〃/1C,與。C的延長線交于點(diǎn)E

???^ACD=90°,Z.DAC=30°,CD=4,

AC=4V3.

易知40C4=30°,乙COE=/.OCA=30°,

???OC=OB=4,CE=2,OE=2A/3?

DE=CE+DC=2+4=6

：.OD=>/OE2+DE2=J(2火/+62=4技

OB】=OD+OB1=4V3+4>

則8力的最大值是4仃+4.

故答案為4H+4.

【分析】

(1)證明4B=4E,即可證明四邊形48CE是“等對角四邊形”；

(2))過點(diǎn)。作DE于點(diǎn)E,。尸1BC于點(diǎn)尸，先證明四邊形EBED為矩形，于是BE=DF,

BF=DE,在Rt△CDF中，taMFCD=烏=tan530=可設(shè)。F=4x,CF=3x,則CD=5x

則BE=DF=4x,DE=BF=18-3x,AE=17-4x,在RtAADE中，=53°,tan〃=

,%于是3DE=4AE,列出方程3(18-3x)=4(17-4x),求得x=2,即CD=5x=10；

(3))由乙4BC=60。，可知點(diǎn)B在以AC為邊的等邊三角形的外接圓的卷上運(yùn)動，當(dāng)BD

經(jīng)過圓心。時(shí)，80最長，即為當(dāng)。的長，求出即可.

本題是圓綜合題，熟練運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)與三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.(2019年南京市灤水區(qū)中考.模〉⑴發(fā)現(xiàn):如圖1,點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=a,

AB=b.填空：

當(dāng)點(diǎn)4位于時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為(用含a,6的式子

表示)

(2)應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且8c=4,4B=1,如圖2所示，分別以AB,AC

為邊，作等邊三角形ABO和等邊三角形ACE,連接CD,BE.

9

①請找出圖中與8E相等的線段，并說明理由：②直接寫出線段8E長的最大值.

(3)拓展：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)

P為線段4B外一動點(diǎn)，且P4=2,PM=PB,4BPM=90°,請直接寫出線段AM長

的最大值及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)CB的延長線上a+b

(2)①CD=BE,

理由：與△ACE是等邊三角形，

???AD=AB,AC=AE,/.BAD=/.CAE=60°,

/.BAD+^BAC=/.CAE+Z.BAC,

即ZTA。=/.EAB,

AD=AB

在△C/W與△EAB中，Z.CAD=Z.EAB,

AC=AE

???△CW三△EAB(SAS),

:.CD=BE；

②?線段8E長的最大值=線段CD的最大值，

由(1)知，當(dāng)線段CO的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)。在CB的延長線上,

???最大值為80+BC=AB+BC=5；

(3)如圖1,

圖1

10

?.,將△4PM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△PBN,連接AN,

則AAPN是等腰直角三角形，

PN=PA=2,BN=AM,

4的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0),

???OA=2,OB=6,

AB—4,

???線段AM長的最大值=線段長的最大值，

.?.當(dāng)N在線段ZM的延長線時(shí)，線段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

-：AN=\f2AP=2或，

??.最大值為2企+4:

如圖2,

過P作PE1x軸于E,

???△4PN是等腰直角三角形，

PE=AE-y/2>

：.OE=BO-AB-AE=6-4-近=2-瓜

???P(2-V2.V2).

如圖3中，

4\圖3

rLV/

11

根據(jù)對稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，P(2-夜,-e)時(shí)，也滿足條件.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)(2-魚，瘋)或(2-四，一魚)，AM的最大值為2a+4.

【解析】解：(1)???點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn)，且BC=a,AB=b,

???當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為8C+4B=a+b,

故答案為：C5的延長線上，a+b；

(1)根據(jù)點(diǎn)A位于C8的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到40=48,AC=AE,^BAD=Z.CAE=60°,推出△

CAD=^EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線段8E長的最大值=線段CD

的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

(3)連接將AAPM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△P8N,連接AM得到AAPN是等腰

直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的

延長線時(shí)，線段8N取得最大值，即可得到最大值為2&+4;如圖2,過尸作PE1x軸于E,

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.(2019年南京市玄武區(qū)區(qū)中考?模)如圖，一張半徑為的圓形紙片，點(diǎn)。為圓心，

將該圓形紙片沿直線/折疊，直線/交00于A、B兩點(diǎn).

(1)若折疊后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn)。，利用直尺和圓規(guī)在圖中作出滿足條件的一條直線(不

寫作法，保留作圖痕跡)，并求此時(shí)線段AB的長度.

(2)已知M是。。內(nèi)一點(diǎn)，0M=lcm.

①若折疊后的圓弧經(jīng)過點(diǎn)M,則線段4B長度的取值范圍是.

②若折疊后的圓弧與直線OM相切于點(diǎn)M,則線段AB的長度為cm.

12

（備用圖）

【答案】解：（1）作圖如下:

???點(diǎn)P與點(diǎn)。關(guān)于直線/對稱，

???直線/垂直平分P0,交圓。于點(diǎn)A、B.

??■ow=ipo=1.

在RtzMH。中，

vAH2+HO2=AO2,

：.AH=yjAO2-HO2=—.

2

在。。中，???P0_L48,P0為半徑，

AB=2AH=3V3:

(2)

①2遍<AB<4V2s

②幗.

【解析】

13

【分析】

(1)連接A。，直線/垂直平分P。.。，=^P。=|,在RtAAH。中即可求解；

(2)分兩種情況求解；

(3)過。作弦A8的垂線與圓。交于點(diǎn)C,與弧AB交于點(diǎn)E,與弦AB交于點(diǎn)、D,過M作

0M的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為0',連接AO,得到。。'垂直平分。'為弧A8M所在圓的

圓心，00'=國，在RtZiA。。中即可求解；

本題考查圓的翻折，垂徑定理，圓的切線，解直角三角形；熟練用垂徑定理，在直角三角形

中求邊，分類討論折疊的情況是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：

(1)見答案；

(2)①如圖1：

DM=1,0D=2,

在RtzMDM中，A0=3,0D=2,

AD—V5?

:.AB=2V5：

如圖2：

14

?.?弧AB翻折與M重合，OM=1,

MD=-2,DO=1,

在RtMDM中，AO=3,OD=1,

?-?AD=2V2>

AB=4V2;

2V5<AB<4V2：

故答案為：2展￡AB040:

(3)如圖3：

過。作弦A8的垂線與圓。交于點(diǎn)C,與弧A8交于點(diǎn)E,與弦48交于點(diǎn)。，連接0M,過

點(diǎn)用作0M的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為0',連接A。，

???。。'垂直平分A8,。'為弧ABM所在圓的圓心，

???折疊后的圓弧與宜線。用相切于點(diǎn)M,

M。'=3,CO=DO',

在Rt△00'M中，OM=1,

15

???oo'=Vio,

在RtAAC。中，DO=—，40=3,

2

mV26

AD=—，

2

??,AB=