人教版八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題17.17 勾股定理（最短路徑問題）（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）

專題17.17勾股定理（最短路徑問題）（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，點P是線段AD上的動點，連接BP，CP，若△BPC周長的最小值為16，則BC的長為（）A．5 B．6 C．8 D．102．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點，點，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．3．如圖，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的邊AC上的高，點P是BD上動點，則BP+CP的最小值是（

）A． B． C．10 D．4．平面直角坐標(biāo)系中，已知、，是一個動點（m為任意實數(shù)），則周長的最小值為（

）A． B． C． D．5．如圖，在銳角中，，，的平分線交于點，、分別是，上的動點，則的最小值是（

）A．3 B．2 C． D．6．如圖，等邊△ABC的邊長為12，P是△ABC的中線AD上的動點，則AP+BP的最小值是（

）A． B． C．10 D．7．如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．1308．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，點M，N分別是BD，BC上的動點，連接CM，MN，則CM+MN的最小值是(

)A．3 B．5C．4 D．2.49．如圖，在長方體盒子中，已知，長為的細(xì)直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當(dāng)木棒的端點I在長方形內(nèi)及邊界運動時，長度的最小值為（

）A． B． C． D．10．如圖，在長方形ABCD中，，，F(xiàn)是邊的中點，E是邊上一動點，則的最小值是（）A． B．5 C． D．411．如圖，平面直角坐標(biāo)系中點，以為邊作等邊，與關(guān)于y軸對稱，M為線段上一動點，則的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．1812．如圖，在中，，，，平分，點M、N分別為上的動點，則的最小值是（

）A．2.4 B．7.2 C．9.6 D．4.8二、填空題13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，兩點的坐標(biāo)分別為，，線段（點在點右側(cè)）在軸上移動，且，連接、．則的最小值為______．14．如圖，已知D（6，0），MN∥x軸且經(jīng)過點E（0，4），點A，B分別是線段OD，OE上的兩動點，AB=2，點C為AB的中點，點P為直線MN在第一象限上的動點，連接PC、PD，則PC+PD的最小值為_____．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，，點B在y軸上運動，以為邊作等腰，（點A，B，C按照順時針排列），當(dāng)點B在y軸上運動時，點C也隨之運動．在點C的運動過程中，的最小值為__________．16．如圖，∠AOB＝30°，點C、D均在射線OA上，且OC＝6，OD＝2，點E為射線OB上一動點，則CE+DE的最小值為___．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，則線段AF長的最小值為____________．18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，點E是△ABC內(nèi)一點，點D是BC的中點，連接DE、AE，且DE＝DB，點F是DE的中點，則AE＋CF的最小值是___．（提示：連接CE，等腰三角形兩腰上的中線相等）19．如圖，中，，，，利用尺規(guī)在，上分別截取，．使，分別以，為圓心，以大于為長的半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點，作射線交邊于點，點為邊上的一動點，則的最小值為________．20．如圖，在中，，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M，P是直線MN上一動點，點H為BC中點．若，的周長是36，則的最小值為___________．21．如圖，在中，，，，點P是線段上一動點，點M在線段上，當(dāng)時，的最小值為______．22．如圖，長方形中，，，E為邊上的動點，F(xiàn)為的中點，連接、，則的最小值為_____．23．如圖，已知圓柱底面的周長為8dm，圓柱高為4dm，在圓柱的側(cè)面上，過點A和點C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長的最小值的平方為_____dm．三、解答題24．如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，AB=4，BC=12，AD=3，若點P在BC上運動．(1)求線段DP的最小值；(2)當(dāng)DP最小時，求CDP的面積．25．如圖，以一邊為直角邊構(gòu)造，且，，，．(1)求證：為直角三角形．(2)若點P為上一動點，連接，，求最小值．26．已知，中，，，．(1)如圖1，若點D是AB的中點，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點E是AB邊上的動點，求線段CE的最小值．27．（1）如圖1，是邊長為4的等邊三角形的中線，點P、E分別在、上，且則的最小值為________；（2）如圖2，在四邊形的對角線上找一點P，使．（保留作圖痕跡，并對作圖方法進(jìn)行說明）28．將沿折疊，使點剛好落在邊上的點處．展開如圖1．【操作觀察】圖1中，．①則_________；②若，則________；【理解應(yīng)用】如圖2，若，試說明∶；【拓展延伸】如圖3，若，點為的中點，且．點是上的一個動點，連接、．的最小值為________；參考答案1．B【分析】作點B關(guān)于AD的對稱點E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設(shè)BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，依據(jù)Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，即可得到82+x2＝（16﹣x）2，進(jìn)而得出BC的長．解：如圖所示，作點B關(guān)于AD的對稱點E，連接CE交AD于P，則AE＝AB＝4，EP＝BP，設(shè)BC＝x，則CP+BP＝16﹣x＝CE，∵∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°，∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴BC＝6，故選B．【點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用和三角形的周長的計算.2．A【分析】求出A點關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B，交y軸于點P，則P即為所求點，利用兩點間的距離公式即可求解．解：作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點P，則P即為所求點；∵點A（-4，1），∴點A關(guān)于y軸的對稱點A′的坐標(biāo)為（4，1），∵A′（4，1），B（-2，-3），∴A′B==，即PA+PB的最小值為，故選A．【點撥】本題考查的是最短線路問題及兩點間的距離公式，解答此題的關(guān)鍵是熟知兩點之間線段最短的知識．3．B【分析】過點作，由勾股定理得，，繼而證明當(dāng)在同一條直線上，且時，的值最小，由等腰三角形兩腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的長即可解題.解：∠A=45°，BD是△ABC的邊AC上的高，過點作，由勾股定理得，當(dāng)在同一條直線上，且時，的值最小為△ABC中，AB=AC=10，由等腰三角形兩腰上的高相等中，的值最小為，故選：B.【點撥】本題考查垂線段最短問題，涉及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.4．D【分析】由于AB長度固定，找到點A關(guān)于直線x=1的對稱點D，求出BD的長即可得到△ABC周長的最小值．解：在△ABC中，AB長度不變，且為=，C（1，m），即點C為直線x=1上的動點，設(shè)D（3，0），則A，D關(guān)于直線x=1對稱，∴AC=DC，∴AC+BC的最小值即為BD，BD=，∴△ABC的周長最小值為，故選D．【點撥】本題考查了點的坐標(biāo)，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是找到點D，利用BD的長代替AC+BC的最小值．5．A【分析】作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M點，過M點作MN⊥AB，垂足為N，則BM+MN為所求的最小值，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線可知MH=MN，再求出BH即可得出結(jié)論．解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M點，過M點作MN⊥AB，垂足為N，則BM+MN為所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分線，∴M′H=MN，∴BH是點B到直線AC的最短距離（垂線段最短），∵AB=，∠BAC=45°，∴BH=，∴BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=3．故選：A．【點撥】本題考查的是軸對稱最短路線問題，解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．6．B【分析】可以作BE⊥AC于點E，交AD于點P，根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，得∠DAC=30°，所以PE=AP，利用勾股定理求出BE的長，當(dāng)BP⊥AC時，AP+BP=PE+BP的值最小，由此得到答案．解：如圖：作BE⊥AC于點E，交AD于點P，∵△ABC是等邊三角形，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∴∠DAC=30°，∴PE=AP，∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=6，∴，當(dāng)BP⊥AC時，AP+BP=PE+BP=BE的值最小為．故選：B．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找到動點P的位置．7．A【分析】作點A關(guān)于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關(guān)系可知，故當(dāng)點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．解：如圖所示，作點A關(guān)于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當(dāng)點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴，故選A．【點撥】本題考查了最短線路問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知兩點之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系．8．D【分析】過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．解：如圖，過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點E，MN⊥BC于N，∴MN=ME，∴CM+MN的最小值=CM+ME=CE，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴，∵，∴解得：CE=2.4．故選：D【點撥】本題考查了軸對稱——最短路線問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．9．A【分析】當(dāng)最大時，最小，當(dāng)I運動到點A時，最大，根據(jù)勾股定理求解即可．解：當(dāng)最大時，最小，當(dāng)I運動到點A時，最大，此時，而，∴，∴長度的最小值為．故選：A．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出的最大值是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】作A關(guān)于的對稱點，連接，過F作于點G，則，當(dāng)三點依次在同直線上時，的值最小，求出此時的值便可．解：作A關(guān)于的對稱點，連接，過F作于點G，則，∴，∵，∴當(dāng)三點依次在同直線上時，的值最小，∴的最小值為：3．故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正確的找出點的位置是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】連接．首先證明垂直平分線段，推出關(guān)于對稱，由，可知此時當(dāng)點M與O重合時，的值最小，最小值為．解：連接．∵'和都是等邊三角形，∴垂直平分線段，∴關(guān)于對稱，∵，∴當(dāng)點M與O重合時，的值最小，最小值為，∴的最小值為．故選：C．【點撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱?最短問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．12．D【分析】取點N關(guān)于的對稱點E，由軸對稱圖形或成軸對稱的性質(zhì)可推出，從而得到，當(dāng)點C、M、E在一條直線上且時，有最小值，最后利用等面積法求得的值即得．解：取點N關(guān)于的對稱點E，如下圖：∵平分∴點E在上∵點N與點E關(guān)于對稱∴是N點與E點所連線段的垂直平分線∴∴當(dāng)時，CE有最小值，即有最小值∵在中，，，∴∵在中，∴∴∴最小值為．故選：D．【點撥】本題考查最短路徑問題、軸對稱圖形或成軸對稱的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及等面積法，對稱轉(zhuǎn)化是解決最短路徑問題的常用方法，本題解題關(guān)鍵是將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短的問題．13．【分析】平移CD使點D落在點B處，連接B'C，則點C的對應(yīng)點為B'，即B'C=BD，進(jìn)而得出B'（-1，2），再作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，則A'（0，-1），進(jìn)而得出AC+BD的最小值為A'B'，即可求解答案．解：如圖，平移CD使點D落在點B處，連接B'C，則點C的對應(yīng)點為B'，即B'C=BD，∵CD=1，B（0，2），∴點B'（-1，2），作點A關(guān)于x軸的對稱點A'，當(dāng)點A'，C，B'在同一條線上時，AC+BD最小，∵A（0，1），∴A'（0，-1），連接A'B'，則AC+BD的最小值為A'B'=，故答案為：．【點撥】此題主要考查了對稱的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，將AC+BD的最小值轉(zhuǎn)化為A'B'是解本題的關(guān)鍵．14．9【分析】作點D關(guān)于直線MN的對稱點D′，連接PD′，OD′，OC．判斷出點D′坐標(biāo)，求出OD′，根據(jù)OD′≤OC+PC+PD′，可以推出PC+PD′≥9，可得結(jié)論．解：作點D關(guān)于直線MN的對稱點D′，連接PD′，OD′，OC．∵E（0，4），D（6，0），MN∥x軸，D，D′關(guān)于MN對稱，∴D′（6，8），∴OD′==10，∵∠AOB=90°，AB=2，AC=CB，∴OC=AB=1，∵PD=PD′，∴PC+PD=PC+PD′，∵OD′≤OC+PC+PD′，∴PC+PD′≥9，∴PC+PD的最小值為9，故答案為：9．【點撥】本題考查軸對稱——最短問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．15．【分析】過點A作直線l⊥x軸，過C，B作CD⊥l于點D，BE⊥l于點E，易證?CDA≌?AEB，從而得AD=BE=OA=5，作點A關(guān)于CD的對稱點A′，由三角形三邊長關(guān)系得：當(dāng)O，C，A′三點共線時，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解．解：如圖，過點A作直線l⊥x軸，過C，B作CD⊥l于點D，BE⊥l于點E，∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°，∴∠DCA=∠EAB，又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC，∴?CDA≌?AEB（AAS），∴BE=AD，∵，∴AD=BE=OA=3，作點A關(guān)于CD的對稱點A′，連接，則點在直線l上，，，∴，∵在?COA′中，∴當(dāng)O，C，A′三點共線時，有最小值=OA′，此時，OA′=，∴最小值=．故答案是：．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對稱求線段和的最小值問題，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．16．【分析】作C點關(guān)于OB的對稱點，連接C'D交OB于點E，連接，過作交OA于點F，則，此時CE+DE最小，可得到是等邊三角形，從而得到，再由勾股定理，即可求解．解：如圖，作C點關(guān)于OB的對稱點，連接C'D交OB于點E，連接，過作交OA于點F，則，此時CE+DE最小，由對稱性可得：，，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∵OD＝2，∴DF=1，在中，由勾股定理得：，即CE+DE的最小值為．故答案為：．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱，軸對稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)題意得當(dāng)AF≥AD-DF時，可得當(dāng)A，F(xiàn)，D在同一直線上時，AF的長最??；再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算，即可得到線段AF長的最小值．解：如圖，連接AD，由題意得：DF=DB=CD=，∵AF+DF≥AD，∴，∴當(dāng)A、F、D三點共線時，AF的長最小，在中，由勾股定理得：，∴，即線段AF長的最小值為．故答案為：【點撥】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、最值問題等幾何知識點及其應(yīng)用問題，熟練掌握折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．18．【分析】取CD的中點G，根據(jù)等腰三角形兩腰上的中線相等得到AE＋CF=AE＋EGAG，當(dāng)點A、E、G共線時，AE＋CF有最小值，最小值為線段AG的長，利用勾股定理即可求解．解：取CD的中點G，連接CE、EG、AG，∵點D是BC的中點，且DE＝DB，∴DE＝DC，即△DEC是等腰三角形，∵點CF、EG是等腰三角形△DEC兩腰上的中線，∴DG＝DF＝ED＝CD，在△DEG和△DCF中，，∴CF＝EG，∴AE＋CF=AE＋EGAG，∴當(dāng)點A、E、G共線時，AE＋CF有最小值，最小值為線段AG的長，∵點D是BC的中點，點G是DC的中點，且BC=4，∴BG=3，又AB=3，且∠B=90°，AG=．故答案為：．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，得到當(dāng)點A、E、G共線時，AE＋CF有最小值，最小值為線段AG的長是解題的關(guān)鍵．19．【分析】利用角平分線的性質(zhì)設(shè)出GC=GP=x，根據(jù)等積法得到方程，得出結(jié)果．解：如圖，當(dāng)GP⊥AB時，GP最小，根據(jù)作圖知AG平分∠BAC，∠C=90°，∴GC=GP，設(shè)GC=GP=x，在直角△ABC中，∠C=90°，AB=，又∵，即,解得x=,故答案為．【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離的方法．20．12【分析】連接AP，AH，先求出BC，BH的長．由于是等腰三角形，點H是BC邊的中點，故，再根據(jù)勾股定理求出AH的長，由MN是線段AB的垂直平分線可知，點B關(guān)于直線MN的對稱點為點A，故AH的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．解：連接AP，AH．∵，的周長為36，∴．∵H是BC的中點，∴．∵是等腰三角形，點H是BC邊的中點，∴，∴．∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴點B關(guān)于直線MN的對稱點為點A，∴，∴，∴AH的長為的最小值，∴的最小值為12．故答案為：12．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．【分析】作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點P，則，可得的最小值為的長，過點作于點H，根據(jù)，，可得，從而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．解：如圖，作點B關(guān)于的對稱點，連接交于點P，則，∴，∴的最小值為的長，過點作于點H，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：【點撥】本題考查了勾股定理的使用，涉及了軸對稱圖形的性質(zhì)，掌握并熟練使用相關(guān)知識，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．22．15解：作F關(guān)于的對稱點，連接，交于點E，則的長即為的最小值．【分析】解：作F關(guān)于的對稱點，連接，交于點E，則的長即為的最小值．∵長方形中，，F(xiàn)為的中點，∴，∴，∴，即的最小值為15．故答案為：15．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，矩形的性質(zhì)，正確的找出點E，F(xiàn)'的位置是解題的關(guān)鍵．23．128【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可．解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為的長度．圓柱底面的周長為，圓柱高為，，，，，這圈金屬絲的周長最小為，則這圈金屬絲的周長的最小值的平方為．故答案為：128．【點撥】本題考查了平面展開-最短路徑問題，掌握圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”是解題的關(guān)鍵．24．(1)DP的最小值是3； (2)當(dāng)DP最小時，△CDP的面積為12．【分析】（1）由垂線段最短可知當(dāng)DP⊥BC時，DP最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理得BD=5，當(dāng)DP最小時，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，則CP=BC-PB=8，然后由三角形面積公式即可求解．（1）解：當(dāng)DP⊥BC時，線段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，當(dāng)DP⊥BC時，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；（2）解：∵∠A=90°，∴BD==5，當(dāng)DP最小時，DP=3，DP⊥BC，則∠DPB=∠DPC=90°，∴PB==4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面積=CP×DP=×8×3=12，即當(dāng)DP最小時，△CDP的面積為12．【點撥】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練掌握勾股定理和角平分線的在是解題的關(guān)鍵．25．(1)見分析 (2)最小值為【分析】（1）根據(jù)題意得，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可得，則，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得，即可得；（2）延長至M，使得，連接，，過點B作于點N，則，，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得，根據(jù)，得當(dāng)B、P、M三點共線時，取最小值為，即可得．解：（1）證明：根據(jù)題意得，，，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴△ABC為直角三角形；（2）解：如圖所示，延長至M，使得，連接，，過點B作于點N，則，，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，當(dāng)B、P、M三點共線時，取最小值為，∴最小值為．【點撥】本題考