專題05 圓錐曲線之焦點三角形（模擬+真題）2024高考總復(fù)習壓軸題教師版

第第頁專題05圓錐曲線之焦點三角形1．（2020·廣西欽州一中）設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】（技巧法）（常規(guī)法），，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，故選：C.2．（2020·伊美區(qū)第二中學）設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A． B．C．24 D．48【答案】C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知點在橢圓上，，是橢圓的左、右焦點，若，且的面積為2，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】畫出圖形，結(jié)合解三角形知識、數(shù)量積的定義、橢圓的定義以及平方關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，由題意，，兩式相比得，又，且，所以，而由余弦定理有，即，且由橢圓定義有，所以，解得.故選：C.4．（2023·海南海口·?？寄M預(yù)測）已知、是橢圓的左右焦點，點為上一動點，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑的表達式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因為，所以，即．故選：C．5．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦點為、，直線與橢圓相交于、兩點，當三角形為直角三角形時，橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，根據(jù)直角三角形的幾何性質(zhì)可得出，可得出關(guān)于、的齊次等式，可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】將代入橢圓方程的方程得，可得，則，由對稱性可知，當三角形為直角三角形時，則該三角形為等腰直角三角形，因為為線段的中點，則，可得，即，等式兩邊同時除以可得，因為，解得.故選：B.6．（2023·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）已知直線l與橢圓相切于點P，與圓交于A，B兩點，圓在點A，B處的切線交于點Q，O為坐標原點，則的面積的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由，，，四點共圓，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出相交弦方程，再由與橢圓相切，可得過的切線方程，從而得出，，再由橢圓的參數(shù)方程和向量的運算，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)，，由，，可得四點，，，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，若不與軸垂直時，當時，可化為，設(shè)，在的切線方程為，即，同理可得時，在的切線方程為，若軸時，在點處的切線方程為，滿足故過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，，由于在橢圓上，可設(shè)，，，即有，，可得，且，，即有，當即或或或時，的面積取得最大值．故選：．【點睛】關(guān)鍵點睛：在求面積的最大值時，關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點的坐標，進而結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最大值.7．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上一動點，關(guān)于直線的對稱點為M，關(guān)于直線的對稱點為N，當最大時，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定，，，當M，N，P三點共線時的值最大，計算，根據(jù)余弦定理得到，計算面積即可.【詳解】由橢圓的方程可得，，連接PM，PN，則，所以當M，N，P三點共線時的值最大，此時，，所以，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以，故選：D8．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右兩個焦點分別為、，為坐標原點，點在橢圓上，且，則的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點，根據(jù)點在橢圓上以及可得出關(guān)于、的方程組，求出的值，即可求得的面積.【詳解】在橢圓中，，，，則，設(shè)，由點在橢圓上且，得，解得.所以.故選：B.9．（2020·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是橢圓的左焦點，過且與軸垂直的直線與交于，兩點，點與關(guān)于原點對稱，則的面積為（

）A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】根據(jù)橢圓，求得，進而求得坐標，再由點與關(guān)于原點對稱，得到坐標，可得的長度及點到直線的距離，然后由三角形面積公式求解.【詳解】因為橢圓，所以，因為過且與軸垂直的直線與交于，兩點，所以，因為點與關(guān)于原點對稱，所以，所以，點到直線的距離為2，所以的面積為.故選：B【點睛】本題考查直線與題意的位置關(guān)系以及對稱問題和三角形面積問題，還考查了運算求解能力，屬于中檔題.10．（2019·浙江·校聯(lián)考一模）已知橢圓：上的三點，，，斜率為負數(shù)的直線與軸交于，若原點是的重心，且與的面積之比為，則直線的斜率為A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，直線BC的方程為．可得，；聯(lián)立，利用原點是△ABC的重心，得，．由，．由此可得，∵．∴．【詳解】設(shè)，．．，直線的方程為.∵原點是的重心，∴與的高之比為，又與的面積之比為，則.即，…①聯(lián)立.，…②，由①②整理可得：…③∵原點是的重心，∴，.∵，∴…④．由③④可得，∵．∴.故選C．【點睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理的應(yīng)用，考查了計算能力、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．11．（2018·河北衡水·統(tǒng)考一模）已知點為橢圓：上一點，是橢圓的兩個焦點，如的內(nèi)切圓的直徑為3，則此橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由橢圓的定義可知的周長為，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，所以的面積，整理得，又，故得橢圓的離心率為.故選：C.【點睛】本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，根據(jù)三角形的面積可以建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系．從而找出之間的關(guān)系，求出離心率．12．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線右支上一點，且的延長線交軸于點，且，的內(nèi)切圓半徑為4，的面積為9，則（

）

A．18 B．32 C．50 D．14【答案】C【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法及相似三角形對應(yīng)線段成比例求解即可.【詳解】因為，所以，所以為直角三角形，所以，因為，所以．因為的面積為9，所以，因為，所以，所以．易知，所以，所以．故選：C.13．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）已知，分別為雙曲線的左?右焦點，且，點P為雙曲線右支上一點，M為的內(nèi)心，若成立，則λ的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，從而可求得離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)，可得，再根據(jù)雙曲線的定義即可得解.【詳解】因為，所以，即，所以，所以離心率，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，又，所以，即，所以，所以.故選：B.【點睛】根據(jù)，得出是解決本題的關(guān)鍵所在.14．（2022·天津河東·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的焦點為、，拋物線的準線與交于、兩點，且三角形為正三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，，由可得出關(guān)于、的齊次等式，結(jié)合可求得的值，即可得解.【詳解】拋物線的標準方程為，該拋物線的準線方程為，聯(lián)立可得，所以，，因為為等邊三角形，且為的中點，則且，所以，，即，即，所以，，因為，解得.故選：A.15．（2021·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，O為坐標原點，點P在C的一條漸近線上，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)條件寫出焦點、的坐標，再根據(jù)點P在C的一條漸近線上且求出點P的縱坐標而得解.【詳解】雙曲線C：中，，，漸近線方程：，因，則點P在線段的中垂線：上，則P點縱坐標y0有，所以面積.故選：C16．（2019·遼寧沈陽·遼寧實驗中學校考模擬預(yù)測）已知雙曲線（，）的漸近線與圓相切，且過雙曲線的右焦點與x軸垂直的直線l與雙曲線交于點A，B，的面積為，則雙曲線的實軸的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)漸近線與圓相切求得，再根據(jù)的面積得到等式，聯(lián)立方程，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線（）的漸近線方程為，圓的圓心坐標為，半徑為，可得，解得，所以漸近線方程為，即，即，將代入雙曲線的方程，得，整理得，所以，又由的面積為，即，即聯(lián)立方程組，解得，所以雙曲線的實軸的長為.故選：C.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離公式的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.17．（2024·廣東廣州·華南師大附中校考一模）（多選題）橢圓的標準方程為為橢圓的左、右焦點，點．的內(nèi)切圓圓心為，與分別相切于點，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓中焦點三角形的性質(zhì)求解，再結(jié)合三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】橢圓：，則，所以，又，所以點再橢圓上，連接，

則，故A不正確；由橢圓的定義可得，又的內(nèi)切圓圓心為，所以內(nèi)切圓半徑，由于，所以，故，故C正確；又，所以，則，所以，故D正確；又，所以，又，所以，即，故B正確.故選：BCD.18．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選題）已知雙曲線C：的一條漸近線與直線垂直，焦距為，P是雙曲線右支上任意一點，過點P分別作兩條漸近線的平行線，與另外一條漸近線分別相交于點A，B，O是坐標原點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．雙曲線的方程為 B．雙曲線的離心率為C．的面積為定值 D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得漸近線斜率，結(jié)合焦距即可求解，進而可判斷AB,聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達定理，結(jié)合弦長公式求解面積，即可判斷C，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】選項A，B：由題意得雙曲線的一條漸近線的斜率為，又焦距為，所以得,因此雙曲線的方程為，離心率，故選項A正確，選項B錯誤；選項C：設(shè)，易知雙曲線的漸近線的方程為，則由，解得，不妨取，同理可得，則，，（另解：，）于是，由于點P在雙曲線上，所以，因此，所以的面積，由于是定值，所以也為定值，故選項C正確；選項D：易知，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故選項D錯誤．故選：AC19．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃ǘ噙x題）如圖，已知雙曲線：的左右焦點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點B，連接，，與雙曲線左支交于點P，與漸近線分別交于點M，N，則（

）A．B．C．過的雙曲線的弦的長度的最小值為8D．點B到兩條漸近線的距離的積為【答案】AD【分析】由，若結(jié)合已知可得，設(shè)且，應(yīng)用點在雙曲線上、兩點距離公式求坐標，寫出直線求出坐標，進而判斷各項的正誤即可.【詳解】由題設(shè)，若，則，，即，可得，若且，則，可得，故，所以，直線為，即，而漸近線為，所以，，則，又，可得（舍）或，故，所以，即，A正確；而，B錯誤；令，則，可得，故過垂直于x軸所得弦長為8，而過和兩頂點的直線，所得弦長為2，所以過的雙曲線的最短弦為2，C錯誤；由到的距離為，到的距離為，所以B到兩條漸近線的距離的積為，D正確.故選：AD20．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）（多選題）已知雙曲線（，）的上、下焦點分別為、，過點且與一條漸近線垂直的直線l與C的上支交于點P，垂足為A，且，O為坐標原點，則（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．三角形的面積為 D．直線l被以為直徑的圓截得的弦長為【答案】BC【分析】利用雙曲線的定義、漸近線方程、離心率公式及平面幾何的相關(guān)知識解決本題.【詳解】設(shè)焦距為2c，不妨取C的一條漸近線，則直線，垂足為A，易知，，因為，由雙曲線的定義可知，設(shè)線段的中點為E，則，所以，，在中，，即，得，故雙曲線的漸近線方程為，A錯誤；，解得，B正確；，C正確；設(shè)直線l被以為直徑的圓截得的弦為MN，易知點A即為MN中點，故，D錯誤．故選：BC．21．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，是上異于頂點的一點，為坐標原點，為線段的中點，的平分線與直線交于點，當四邊形的面積為時，．【答案】【分析】根據(jù)定義結(jié)合中位線及面積公式計算正弦值即可.【詳解】

由題可知，．因為平分，所以到，的距離相等，設(shè)為，則．易知是的中位線，延長，交于點，則為的中點，過作于，易得，則，從而．故答案為：22．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓，，分別為其左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點P，在第三象限交于點Q．若的面積為，則．【答案】/【分析】通過的位置關(guān)系可以判斷出PQ為圓O的直徑，由此易知四邊形為矩形，將轉(zhuǎn)化為焦點三角形的面積后即可判斷出之間的關(guān)系，進行求解.【詳解】如下圖所示：由對稱性知PQ為圓O的直徑，所以．又因為，，所以四邊形為矩形，所以．因為，，所以，，，則．故答案為：【點睛】橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．23．（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學模擬預(yù)測）已知橢圓C：，左、右焦點分別為、，是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點且滿足，延長交橢圓C于點Q，則△的內(nèi)切圓半徑是．【答案】【詳解】由橢圓的性質(zhì)知，,．而直角△的內(nèi)切圓半徑是,在△中,，．因為，即，所以,可得，所以在△中,，可得，解得：，則的內(nèi)切圓半徑是．【點睛】本題考查了圓錐曲線中橢圓基本量的計算問題，焦點三角形問題是橢圓中的常見題型，本題的切入口是利用面積和求內(nèi)切圓的半徑。此題屬于中檔題.24．（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學校考二模）已知，分別為其左右焦點，為上任意一點，為平分線與軸交點，過作垂線，垂足分別為，求的最大值．【答案】【解析】設(shè)，，，計算，化簡得到，再計算最值得到答案.【詳解】設(shè)，，，故，故，，故.當為上下頂點時，，，等號成立.故答案為：.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)的面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.25．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學?？寄M預(yù)測）已知雙曲線：（）的離心率為3，焦點分別為，，點在雙曲線上.若的周長為，則的面積是.【答案】【分析】設(shè)，由的周長為，得到，再由雙曲線的定義得到，聯(lián)立解得m，n，然后在中，利用余弦定理和三角形面積公式求解.【詳解】解：設(shè)，因為雙曲線：（）的離心率為3，所以，即，又的周長為，所以，由雙曲線的定義得，解得，由余弦定理得，則，所以，故答案為：26．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，離心率為2，焦點到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程和幾何關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)半焦距為，由題意知，，所以，所以，雙曲線.

記的內(nèi)切圓與邊，，分別相切于點，則橫坐標相等，則，，，由，即，得，即，記的橫坐標為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標也為，則軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，由于直線與的右支有2個交點，且一條漸近線的斜率為，傾斜角為，可得，即，可得的范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)得到的表達式，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即得.27．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，，分別交y軸于P，Q兩點，若的周長為16，則的最大值為.【答案】4【分析】由雙曲線定義可得，分析可得為的中位線，結(jié)合、的周長關(guān)系可得，AB為雙曲線的通徑即，聯(lián)立上式可得，則可由均值不等式求二次商式最大值.【詳解】∵軸且過，則AB為雙曲線的通徑，由，代入雙曲線可得，故.為的中點，，則為的中位線，故，又的周長為，則的周長為①，∵②，故由①②可得，即，可得.故，當且僅當即時取等號.故答案為：428．（2022·陜西·統(tǒng)考二模）已知橢圓，雙曲線的離心率互為倒數(shù)，，為雙曲線的左、右焦點，設(shè)點M為的漸近線上的一點，若（O為坐標原點），的面積為16，則的方程為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的離心率求得雙曲線的離心率，從而求得雙曲線漸近線的方程，根據(jù)以及的面積列方程，化簡求得，從而求得的方程.【詳解】橢圓的離心率為，所以雙曲線的離心率為，不妨設(shè)在直線上，設(shè)，則，設(shè)，，則，∵，∴.整理得①，依題意：，即：②，①②聯(lián)立得.∴，，，∴的方程為：.故答案為：29．（2021·上海徐匯·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，直線與的左、右支分別交于點、（、均在軸上方）.若直線、的斜率均為，且四邊形的面積為，則.【答案】【分析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，分析可知四邊形為平行四邊形，可得出，設(shè)，可得出直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的取值范圍，利用三角形的面積公式可求得的值，即可求得的值.【詳解】解：設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接，如下圖所示：在雙曲線中，，，則，即點、，因為原點為、的中點，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，故、、三點共線，所以，，故，由題意可知，，設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，所以，，可得，由韋達定理可得，，可得，，整理可得，即，解得或（舍），所以，，解得.故答案為：.30．（2023·天津·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線分別交于兩點,為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,的面積為,則.【答案】【詳解】試題分析：有得所以雙曲線的漸近線為又拋物線的準線方程為聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得在中，到的距離為..考點：雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì).31．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學校聯(lián)考二模）已知橢圓的左焦點為，且過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過作一條斜率不為0的直線交橢圓于、兩點，為橢圓的左頂點，若直線、與直線分別交于、兩點，與軸的交點為，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由．【答案】(1)(2)為定值．【分析】（1）由橢圓所過的點及焦點坐標求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達定理，寫出直線的方程，進而求縱坐標，同理求縱坐標，由化簡即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知，橢圓的右焦點為，且過點，結(jié)合橢圓定義，所以，所以．又，所以，則的標準方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，由，得，易知，所以，，直線的方程為，令得，，同理可得，所以，為定值．.32．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？家荒＃┮阎p曲線的左、右焦點為、，虛軸長為，離心率為，過的左焦點作直線交的左支于A、B兩點.(1)求雙曲線C的方程；(2)若，求的大??；(3)若，試問：是否存在直線，使得點在以為直徑的圓上？請說明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則雙曲線方程可知；（2）根據(jù)雙曲線的定義求解出，在中利用余弦定理求解出的值，則的大小可知；（3）當?shù)男甭什淮嬖跁r，直接分析即可，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)出的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，得到橫坐標的韋達定理形式，根據(jù)進行化簡計算，從而判斷出是否存在.【詳解】（1）由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為：；（2）因為，所以，且，所以，所以的大小為；（3）假設(shè)存在滿足要求，當?shù)男甭什淮嬖跁r，，由解得，所以，所以不垂直，故不滿足要求；當?shù)男甭蚀嬖跁r，因為與雙曲線有兩個交點，所以，即，設(shè)，，聯(lián)立可得，且，即，所以，所以，所以，所以，所以也不滿足要求，故假設(shè)不成立，即不存在直線，使得點在以為直徑的圓上.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用，對學生的轉(zhuǎn)化與計算能力要求較高，難度較大.解答本題第三問的關(guān)鍵在于：將“以為直徑的圓過點”轉(zhuǎn)化為“”，從而轉(zhuǎn)化為坐標之間的運算.33．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）已知點，動點在直線：上，過點且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的標準方程；(2)過的直線與曲線交于A，兩點，直線，與圓的另一個交點分別為，，求與面積之比的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用拋物線定義即可求得曲線的標準方程；（2）先求得的表達式，再利用均值定理即可求得其最大值.【詳解】（1）過點且垂直于軸的直線與線段的垂直平分線交于點，則，則點到直線和定點距離相等，則的軌跡為以為焦點以直線為準線的拋物線，則曲線的方程為：（2）設(shè)A，，，坐標分別為，，，，因為

令直線：，，：，，由得：，由得：所以

令：，與聯(lián)立得：，所以，，，則所以，代入得：

又因為，所以，當且僅當，時取等號所以與面積之比的最大值為34．（2023·江西贛州·南康中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標系內(nèi)，已知定點，定直線，動點P到點F和直線l的距離的比值為，記動點P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程．(2)以曲線E上一動點M為切點作E的切線，若直線與直線l交于點N，試探究以線段MN為直徑的圓是否過x軸上的定點．若過定點．求出該定點坐標；若不過，請說明理由．【答案】(1)(2)定點，理由見解析【分析】（1）設(shè)點是所求軌跡上的任意一點，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，得到，求得，再聯(lián)立兩直線，求得，設(shè)，結(jié)合恒成立，化簡得到恒成立，求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)點是所求軌跡上的任意一點，因為定點，定直線l：，動點P到點F和直線l的距離的比值為，可得，化簡得，所以曲線的方程為.（2）解：因為直線與相交，所以的斜率存在，可設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，即且，所以，即，所以，則，所以，聯(lián)立方程組，解得，即，假設(shè)以線段為直徑的圓過軸上一定點，設(shè)為，則，所以恒成立，即，可得，即，整理得，即，即恒成立，要使得恒成立，則，所以恒過定點，即以線段為直徑的圓過軸上一定點.【點睛】方法總結(jié)：解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于與的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).

35．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.36．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點睛】本題根據(jù)求解的目標可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．37．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.38．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因為，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.39．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：C.40．（2019·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標，結(jié)合三角形面積可求出的坐標.【詳解】由已知可得，又為上一點且在第一象限,為等腰三角形，．∴．設(shè)點的坐標為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標為．【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．41．（2009·重慶·高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】【詳解】試題分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，則由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|設(shè)點（x0，y0）由焦點半徑公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,則a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由橢圓的幾何性質(zhì)知：x0＞-a則>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故橢圓的離心率：e∈(-1，1)，故答案為(-1，1)．考點：本題主要考查了橢圓的定義，性質(zhì)及焦點三角形的應(yīng)用，特別是離心率應(yīng)是橢圓考查的一個亮點，多數(shù)是用a，b，c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍．點評：解決該試題的關(guān)鍵是能通過橢圓的定義以及焦點三角形的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，進而得到離心率的范圍．42．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用焦點坐標求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價于，然后選擇兩個作為已知條件一個作為結(jié)論，進行證明即可.【詳解】（1）右焦點為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知在軸上，即為焦點,此時由對稱性可知、關(guān)于軸對稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡整理得：設(shè),線段中點為,則,設(shè),則條件③等價于,移項并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標：,同理：，∴∴,∴條件②等價于，綜上所述：條件①在上，等價于；條件②等價于；條件③等價于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.43．（2019·全國·高考真題）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標原點．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.【答案】(1)；（2），a的取值范圍為.【分析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿足條件的點存在，當且僅當，，，根據(jù)三個式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）[方法一]【橢圓的定義+基本不等式】由題意可知，且，所以．因為，所以．又因為，且，所以，從而，故，所以，a的取值范圍為．[方法二]【最優(yōu)解：橢圓的定義+余弦定理】由題意有則，即，當且僅當時，等號成立．此時P為短軸端點，，且滿足．即當時，存在點P，使得，且的面積等于16．故，a的取值范圍為．[方法三]【余弦定理+面積公式】設(shè)，對橢圓上任一點P，設(shè)，由余弦定理有，所以，即．則．又，即．由于，則以O(shè)為