離散數(shù)學(xué)32-集合的運算省公開課一等獎全國示范課微課金獎

第三章集合與關(guān)系3-2集合運算講課人：李朔Email:chn.nj.ls@1第1頁集合運算以給定集合為對象,按照確定規(guī)則得到另一些集合。集合另一個表示法是文氏圖（VennDiagram）。人們慣用文氏圖描述集合運算和它們之間關(guān)系。集合文氏圖畫法以下：用矩形表示全集E，在矩形中畫一些圓表示其它集合，不一樣圓代表不一樣集合。假如沒有尤其說明，任何兩個圓彼此相交。比如，A

B文氏圖如圖2第2頁一、交P87定義3-2.1設(shè)A，B是集合，由A與B公共元素組成集合，稱為A和B交集，記為A∩B。A∩B=

x|x

A∧x

B

交集定義如圖右圖所表示。

從交集定義能夠得到：

A∩B

A，A∩B

B例1

例2例3及性質(zhì)P87*假如A與B無公共元素，即A∩B=?，則稱A和B是互不相交。比如，令A(yù)=

a,b,c

，B=

d,e

，則A∩B=?，A和B是互不相交。3第3頁一、并P88定義3-2.2設(shè)A，B是任意集合，由A中元素或B中元素組成集合，稱為A和B并集，記為A∪B。A∪B=

x|x

A∨x

B

并集定義如右圖所表示。

并集定義能夠得到：

A

A∪B，B

A∪BP88例題集合并運算性質(zhì)定理3-2.13-2.24第4頁三、補(bǔ)（差）P90定義3-2.3設(shè)A，B是集合，屬于A而不屬于B元素組成集合，稱為B對于A補(bǔ)集，也叫B對于A相對補(bǔ)集。記為A-B。A-B=

x|x

A∧x

B

A-B也稱集合A和B差

相對補(bǔ)集定義如右圖所表示。

比如，令A(yù)=

?,

?

，B=?，則

A-B=

?,

?

-?=

?,

?

又如，令C=

a

，D=

a,b

，則

C-D=

a

-

a,b

=?C-C=?P90例題3、4

5第5頁四、絕對補(bǔ)定義3-2.4設(shè)A是集合，A對于全集E相對補(bǔ)集，稱為A絕對補(bǔ)，記為~A。~A=E-A=

x|x

E∧x

A

=

x|x

A

~A定義如圖所表示。

比如，令全集E=

1,2,3,4

，A=

1,2,3

，則~A=

1,2,3,4

-

1,2,3

=

4

P90絕對補(bǔ)運算性質(zhì)6第6頁四、絕對補(bǔ)例設(shè)A,B是任意集合，求證:

A-B=A∩(~B)

證實：

x

A-B

x

A∧x

B

x

A∧x

~B

x

A∩~B即A-B

A∩~B。x

A∩~B

x

A∧x

~B

x

A∧x

B

x

A-B

故A∩~B

A-B

所以，A-B=A∩(~B)。

A-B=A∩(~B)是一個主要公式，在集合運算中經(jīng)慣用到，它意義在于將相對補(bǔ)運算轉(zhuǎn)換絕對補(bǔ)和交運算。P91定理3-2.5設(shè)A、B為任意兩個集合，則以下關(guān)系式成立：a)A-B=A∩~Bb)A-B=A-(A∩B)P91定理3-2.6交運算對差運算分配P91定理3-2.7

7第7頁五、對稱差

P92定義3-2.5設(shè)A，B是集合，由A中元素或B中元素，但不是A與B公共元素組成集合，稱為A和B對稱差，記為A

B。A

B=

x|x

Ax

B

=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)A

B定義如圖所表示。

比如，令A(yù)=

1,2,3,4

，

B=

1,2,5,6

，則

A

B=A∪B-A∩B=

1,2,3,4,5,6

-

1,2

=

3,4,5,6

8第8頁五、對稱差

例設(shè)A,B是任意集合，求證:

A

B=(A-B)∪(B-A)=(A∩~B)∪(B∩~A)。

證實：先證A

B=(A-B)∪(B-A)。x

A

B(x

A)(x

B)

((x

A)∧(x

B))∨((x

A)∧(x

B))

(x

A∧x

B)∨(x

A∧x

B)

x

A-B∨x

B-A

x

(A-B)∪(B-A)

所以，A

B=(A-B)∪(B-A)。

再證(A-B)∪(B-A)=(A∩~B)∪(B∩~A)。

很輕易得到此結(jié)論，這里從略。9第9頁五、對稱差利用例3.7中公式能夠證實對稱差A(yù)

B以下性質(zhì)。設(shè)A,B是任意集合。①A

A=?

證實：A

A=(A-A)∪(A-A)=?

?=?②A

?=A

證實：A

?=(A-?)∪(?-A)=A∪?=A③A

E=~A

證實：A

E=(A-E)∪(E-A)=?∪~A=~A另外：

滿足交換律結(jié)合律P94圖3-2.7及結(jié)論10第10頁六、五種集合運算性質(zhì)對以上運算，可知其具性質(zhì)：1）冪等：A

A=A，A

A=A2）交換：A

B=B

A，A

B=B

A3）結(jié)合：（A

B）

C=A

（B

C）（A

B）

C=A

（B

C）4）分配：A

（B

C）=（A

B）

（A

C）A

（

B

C）=（A

B）

（A

C）5）吸收：A

（A

B）=AA

（A

B）=A11第11頁六、五種集合運算性質(zhì)6）互補(bǔ)：A

A=

，A

A=E7）德摩根：

（A

B）=

A

B

（A

B）=

A

B8）同一：A

=A，E

A=A9）零律：A

E=E，A

=

10）雙重否定：

（

A）=A11）

E=

12）

=E*以上共21個性質(zhì)，都須證實12第12頁六、五種集合運算性質(zhì)比如：證實分配律A

（B

C）=（A

B）

（A

C）

證：任取a

A

(B

C)

即a

A且a

B

C

即a

A且a

B或a

C

即a

A且a

B或a

A且a

C

即是a

A

B或a

A

C

就是a

(A

B)

(A

C)

A

(B

C)

(A

B)

(A

C)反之，任取

a

(A

B)

(A

C)

即a

A

B或a

A

C

就是a

A且a

B或a

A且a

C

即a

A且a

B或a

C

a

A

(B

C)A

(B

C)

(A

B)

(A

C)

A

(B

C)=(A

B)

(A

C)13第13頁練習(xí)例1：設(shè)F表示一年級大學(xué)生集合，S表示二年級大學(xué)生集合，R表示計算機(jī)科學(xué)系學(xué)生集合，M表示數(shù)學(xué)系學(xué)生集合，T表示選修離散數(shù)學(xué)學(xué)生集合，L表示興趣文學(xué)學(xué)生集合，P表示興趣體育運動學(xué)生集合。則以下各句子所對應(yīng)集合表示式分別是：（1）全部計算機(jī)科學(xué)系二年級學(xué)生都選修離散數(shù)學(xué)。（A）（2）數(shù)學(xué)系學(xué)生或者興趣文學(xué)或者興趣體育運動。（B）（3）數(shù)學(xué)系一年級學(xué)生都沒有選修離散數(shù)學(xué)。（C）（4）只有一、二年級學(xué)生才興趣體育運動。（D）（5）除去數(shù)學(xué)系和計算機(jī)科學(xué)系二年級學(xué)生外都不選修離散數(shù)學(xué)。（E）14第14頁練習(xí)答案：A：R

S

T；B：M

L

P；C：(M

F)

T=

；D：P

F

S；E：T

(M

R)

S。（1）計算機(jī)系二年級學(xué)生集合為R

S，選修離散數(shù)學(xué)學(xué)生集合為T，前者為后者子集。（2）數(shù)學(xué)系學(xué)生集合為M，興趣文學(xué)或興趣體育學(xué)生集合為L

P，前者為后者子集。（3）數(shù)學(xué)系一年級學(xué)生集合為M

F,選修離散數(shù)學(xué)學(xué)生集合為T，這兩個集不相交。（4）只有P才Q，這種句型邏輯含義是假如Q則P。所以這句話可了解為：興趣體育學(xué)生一定是一、二年級學(xué)生。興趣體育學(xué)生組成集P，一、二年學(xué)生組成集F

S，前者為后者子集。（5）除去P都不Q，這種句型邏輯含義可了解為假如Q則P。原來句子就變?yōu)椋哼x修離散數(shù)學(xué)學(xué)生都是數(shù)學(xué)系和計算機(jī)系二年級學(xué)生。所以T

(M

R)

S。15第15頁練習(xí)例2：設(shè)S1＝{1,2,…,8,9},S2={2,4,6,8},S3={1,3,5,7,9},S4={3,4,5},S5={3,5}確定在以下條件下x可能與S1,…,S5中哪個集合相等。（1）若x

S5=

，則（A）。（2）若x

S4但x

S2=

，則（B）。（3）若x

S1且x

S3，則（C）（4）若x-S3=

，則（D）（5）若x

S3且x

S1，則（E）16第16頁練習(xí)答案：A：x=S2；B：x=S5C：x=S1,S2或S4；D：x=S3或S5：x與其中任何集合都不相等。分析：（1）與S5不相交集合不含3和5，只能是S2。（2）只有S4和S5是S4子集，但S4

S2

，所以S5滿足要求。（3）x

S3意味著x中必含有偶數(shù)，S1,S2和S4中含有偶數(shù)而且都是S1子集。（4）由x-S3=

知x

S3。所以x可能是S3或S5。（5）因為S3

S1，所以有x

S3

S1與x

S1矛盾。x與這5個集合中任一個都不相等。17第17頁練習(xí)例某班有50名學(xué)生，第一次考試中26人成績?yōu)閮?yōu)，第二次考試中21人成績?yōu)閮?yōu)，已知兩次考試中都不為優(yōu)共17人。問兩次考試中都為優(yōu)有多少人？（用文氏圖解）

18第18頁練習(xí)例某班有50名學(xué)生，第一次考試中26人成績?yōu)閮?yōu)，第二次考試中21人成績?yōu)閮?yōu)，已知兩次考試中都不為優(yōu)共17人。問兩次考試中都為優(yōu)有多少人？解：設(shè)A，B分別表示第一次和第二次考試中成績?yōu)閮?yōu)學(xué)生集合。畫出文氏圖，如圖3.7所表示。首先填A(yù)∩B中人數(shù)，這正是要求，設(shè)為x。A-B中人數(shù)是26-x，

B-A中人數(shù)是21-x，分別填入對應(yīng)區(qū)域。并列出以下方程：(26-x)＋x＋(21-x)＋17=50

解得：x=14

19第19頁約定和說明為了使集合表示式愈加簡練，我們對集合運算優(yōu)先次序要求以下：絕對補(bǔ)運算級別比其它4個運算高，先進(jìn)行絕對補(bǔ)運算，再進(jìn)行其它4個運算；其它4個運算運算次序由括號決定。因為并運算滿足結(jié)