偏微分方程在生物學(xué)上的應(yīng)用

偏微分方程在生物學(xué)上的應(yīng)用劉富沖pb1偏微分方程的發(fā)展偏微分方程是反映有關(guān)的未知變星關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變星的導(dǎo)數(shù)之間制約關(guān)系的等式。許多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用偏微分方程來描述，物理學(xué)中的許多基本方程本身就是偏微分方程。早在微積分理論剛形成后不久■人們就開始用偏微分方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象，并將所得到的研究方法和研究成果運(yùn)用于各門科學(xué)和工程技術(shù)中，不斷地取得了顯著的成效園示了偏微分方程對(duì)于人類認(rèn)識(shí)自然界基本規(guī)律的重要性。逐漸地,以物理、力學(xué)等各門科學(xué)中的實(shí)際問題為背景的偏微分方程的研究成為傳統(tǒng)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)最主要的內(nèi)容尼直接聯(lián)系著眾多自然現(xiàn)象和實(shí)際問題，不斷蝴是出和產(chǎn)生出需要解決的新課題和新方法■不斷地促逬看許多相關(guān)數(shù)學(xué)分支（如泛函分析、微分幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)等）的發(fā)展，并從它們之中引進(jìn)許多有力的解決問題的工具。偏微分方程已經(jīng)成為當(dāng)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的組成部分，是純粹數(shù)學(xué)的許多分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)等領(lǐng)域之間的一座重要的橋梁。'石國外，對(duì)偏微分方程的應(yīng)用發(fā)展是相當(dāng)重視的。很多大學(xué)和研究單位都有應(yīng)用偏微分方程的硏究集體r并得到國家工業(yè)、科學(xué)部門及軍方、航空航天等方面的大力資助。比如在國際上有重大影響的美國的Courant研究所、法國的信息與自動(dòng)化國立硏究所等都集中了相當(dāng)多的偏微分方程的研究人員，并把數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)方法、應(yīng)用軟件及實(shí)際應(yīng)用融為一體,在解決實(shí)際課題、推動(dòng)學(xué)科發(fā)展及加速培養(yǎng)人才等方面都起了很大的作用。2偏微分方程的應(yīng)用在科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，很多重要的實(shí)際課題都需要求解偏微分方程，為相應(yīng)的工程設(shè)計(jì)提供必要的數(shù)據(jù)■保證工程安全可靠且高效地完成任務(wù)。在很多的實(shí)際課題中r有不少課題（特別是國防課題）是不能或很難用工程試驗(yàn)的方法來進(jìn)行研究的（一方面是危險(xiǎn)系數(shù)大，另一方面是耗費(fèi)大）,因此就需要盡可自眇也減少試驗(yàn)的次數(shù)或在試驗(yàn)前給出比較準(zhǔn)確的預(yù)計(jì)。隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展『電子計(jì)算機(jī)成為解決這些實(shí)際課題的重要工具。但是有效地利用電子計(jì)算機(jī)，必須具備如下先決條件：針對(duì)所考慮的實(shí)際問題建立合理的數(shù)學(xué)模型，而這些能精確描述問題的模型大都是通過偏微分方程給出的。對(duì)相應(yīng)的偏微分方程模型進(jìn)行定性的研究。根據(jù)所進(jìn)行的走性研究,尋求腿擇有效的求解方法。編制高效率的程序或建立相應(yīng)的應(yīng)用軟件r利用電子計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行模擬。因此，總體上來說,上述這些先決條件都屬于偏微分方程應(yīng)用的研究范圍,這些問題解決的好壞直接影響到使用電子計(jì)算機(jī)所得結(jié)果的精確性及耗費(fèi)的大小。如果解決得好，就會(huì)對(duì)整個(gè)問題的解決起到事半功倍的效果。到目前為止，偏微分方程已經(jīng)在解決有關(guān)人口問題、傳染病動(dòng)力學(xué)、高速飛行、石油開發(fā)及城市交通等方面的實(shí)際課題中做出了重大的貢獻(xiàn)。下面主要講一下大家比較熟悉的人口問題及傳染病動(dòng)力學(xué)問題，詳細(xì)闡述偏微分方程在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。2.1偏微分方程在人口問題中的應(yīng)用人口問題是生物學(xué)家很感興趣的問題（這里所說的人口是廣義的，并不一走限于人，可以是任何一個(gè)與人有類似性質(zhì)的生命群體）。對(duì)人口的發(fā)展逬行研究最先所采用的大多是常微分方程模型，這在我們用的常微分教材例題里有講過。例如，馬爾薩斯模型：胖訕)<dt ,J：P=Po其中P⑴表示，時(shí)刻的人口總數(shù)，幾為初始時(shí)刻5時(shí)的人口總數(shù),"表示人口凈增長率。馬爾薩斯模型只在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理。因?yàn)楫?dāng)生物群體總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間、有限的自然資源及食物等原因，就要進(jìn)行生存競爭。而馬爾薩斯模型僅考慮了群體總數(shù)的自然線性增長項(xiàng),沒有考慮生存競爭對(duì)群體總數(shù)増長的抵消作用。因此在群體總數(shù)大了以后，馬爾薩斯模型就不再能預(yù)見群體發(fā)展趨勢(shì)，這時(shí)就要采用威爾霍斯特模型：[f=fo：p=/A)其中，U稱為生命系數(shù)r而且。比“雯小很多。a”，⑴就是考慮到生存競爭而引入的競爭項(xiàng)。當(dāng)群體總數(shù)〃⑴不太大時(shí),由于。比"小很多,則可以略去上面方程中右端的第二項(xiàng)而回到馬爾薩斯模型。但是當(dāng)群體總數(shù)增大到一走程度時(shí)，上面方程中右端的第二項(xiàng)所產(chǎn)生的影響就不能忽略。不論是馬爾薩斯模型還是威爾霍斯特模型■它們都是將生物群體中的每一個(gè)個(gè)體視為同等地位來對(duì)待的r這個(gè)原則只適用于低等動(dòng)物。對(duì)于人類群體來說，必須考慮不同個(gè)體之間的差別r特別是年齡因素的影響。人口的數(shù)呈不僅和時(shí)間有關(guān),還應(yīng)該和年齡有關(guān),而且人口的出生、死亡等都和年齡有關(guān)。不考慮年齡因素就不能正確地把握人口的發(fā)展動(dòng)態(tài)。這時(shí).就必須給出用偏微分方程描述的人口模型：dt dx<t=0:p=/?0(x) (0<x<A)x=o：m，o)= (t>o)具中，〃(人X)表示任意時(shí)刻f按年齡X的人口分布密度，〃(x)表示年齡為X的人口死亡率,b(x)表示年齡為x(a<x<A)的人的生育率fa表示可以生育的最｛群齡rA表示人的最大年齡。對(duì)于上述偏微分方程模型成立如下結(jié)論:走理1:對(duì)偏微分方程的初值問題⑴-⑶,如果下列條件成立:在區(qū)間［0,A］上，幾⑴>0且適當(dāng)光滑；在區(qū)間［0,4］上，d(x)>0且適當(dāng)光滑，并且當(dāng)xtA—0時(shí)，〃(切T+s及［〃(了遊 ；Po(O)=［k)Po⑷舛；久(0)+〃(0)幾(0)=［1(g)(幾⑷+〃⑷幾(§))〃§o則該初邊值問題(1)-⑶存在唯一的整體解p(r,x)并且滿足［心x)>0且I心A)=0o該模型在經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)后，例如假設(shè)〃(x)三(/=常數(shù)，b(x)=b=常數(shù)，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中〃=〃（對(duì)、b=b（x）均與年齡有關(guān),這與現(xiàn)實(shí)情況相符。因此，偏微分方程模型確實(shí)更逬一步、更能精確地描述人口分布的發(fā)展過程。2.2偏微分方程在傳染病動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用自"非典"爆發(fā)以后，人們對(duì)傳染病也開始給予更多的關(guān)注,不同領(lǐng)域的研究人員都在各自的領(lǐng)域中開始對(duì)傳染病進(jìn)行深入細(xì)致的硏究。另一方面，由于傳染病本身所特有的傳染性、潛伏性等,不僅給人們的工作學(xué)習(xí)帶來了極大的影響，而且也給研究工作帶來了許多難以克服的困難。為了減少傳染病帶來的負(fù)面影響，就非常有必要對(duì)傳染病的發(fā)展趨勢(shì)和發(fā)展規(guī)律逬行研究,以便能夠采取適當(dāng)?shù)拇胧?duì)傳染病的流行加以預(yù)防和控制?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法來考察傳染病的理論對(duì)它的發(fā)展機(jī)理、動(dòng)態(tài)過程及發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行硏究,已經(jīng)逐漸成為一個(gè)非?；钴S的硏究領(lǐng)域。早在1979年，R.M.安德森就給出了一個(gè)傳染病動(dòng)力學(xué)的常微分方程模型:=b（Pl（r）+",（/）+Pitt））-dpi⑴+沁⑴-cq\⑴P2⑴，at絲丫=創(chuàng)（/0（/）-（〃+萬+0）川），at企耳=血2⑴-（〃3+卩巾3⑴，atr=0：/?,=p2=p；,p3=比,其中才>0（/=1,2,3）,其中，必⑴分別表示三類人的人口總數(shù)（21對(duì)應(yīng)健康而可能被傳染的一類人；i=2對(duì)應(yīng)已經(jīng)患病的人；i=3對(duì)應(yīng)具有免疫力的人），b表示出生率,d表示自然死亡率，d表示傳染病的死亡率，0表示治愈率，Q表示傳染病的發(fā)病率，了表示免疫力失去率。對(duì)上述常微分方程組進(jìn)行分析求解，就可以了解不同時(shí)刻傳染病的動(dòng)力學(xué)特征（比如：傳染病病情的發(fā)展趨勢(shì)，即各類人的人口數(shù)量億C）的分布情況）。但是,上述常微分方程模型沒有考慮到年齡因素對(duì)傳染病發(fā)病情況的影響。而實(shí)際上,對(duì)傳染病而言，除極少數(shù)傳染病（如出血熱）外■傳染病的發(fā)病情況均與年齡有關(guān)，而且發(fā)病率、治愈率以及死亡率等也均與年齡有關(guān)。因此‘在建立傳染病動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，必須考慮年齡因素的影響；同時(shí)，傳染病的發(fā)病情況還和發(fā)病時(shí)間的長短（病程）有關(guān)，治愈率及死亡率等也可能與病程有關(guān)。那么，能夠精確地反映傳染病動(dòng)力學(xué)特征的模型就應(yīng)該是不僅考慮時(shí)間因素的影響，而且還要考慮年齡因素及病程因素影響的偏微分方程組形式的數(shù)學(xué)模型。由于偏微分方程組模型能夠比較精確地反映傳染病動(dòng)力學(xué)的發(fā)展動(dòng)態(tài)及發(fā)展趨勢(shì)，因此對(duì)它的硏究自二十世紀(jì)八十年代以來一直都是一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域并且也已經(jīng)取得了許多不錯(cuò)的結(jié)果。3結(jié)束語由于同一類型的偏微分方