2021-2022學年新教材高中數(shù)學第一章預備知識2

第2課時全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

◎爭分奪秒一刻鐘，狠抓基礎零失誤)/

/必備知識?基礎練

概念定理乃島

1.存在量詞命題的否定是一個全稱量詞命題.()

2.3XGM，使x具有性質p(x)與VxGM,x不具有性質p(x)的真假性相反.()

3.從存在量詞命題的否定看，是對"量詞"和"p(x)”同時否定.()

4.命題“非負數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是“非負數(shù)的平方不是正數(shù)”.()

5.命題“存在實數(shù)x使x2+2x+1=0成立”的否定是假命題.()

【解析】1N

2.4

3.提示：x,只是對“p(x)”進行否定.“量詞”變?yōu)椤叭Q量詞”.

4.提示：x.因為是全稱量詞命題的否定，應該為存在量詞命題.否定是“存在一個非負數(shù)的平

方不是正數(shù)”.

5.4

基礎分組也通關

?題組一全稱量詞命題的否定

1.(2021.無錫高一檢測)命題"VxW{x|xK)},X2+XN0”的否定是()

A.VxG{x|x>0},x2+x<0

B.VxG{x|x>0},x2+x>0

C.3xG{x|x>0},x2+x<0

D.3xG{x|x>0},x2+x>0

【解析】選C.命題“Vx￡{x|xN0},x2+xN(F為全稱量詞命題，則命題的否定為mx￡{x|xK)},

X2+x<0.

2.命題“Vx>0,x2>0?的否定是()

22

A.Vx>0,x<0B.Bx>0zx<0

C.Vx<0,x2<0D.3x<0,x2<0

【解析】選B.命題“Vx>0,近>0”的否定是：3x>0,x2<0.

3.命題“VxGR,x2力x”的否定是（）

A.Vx0R,x2#xB.VxGR,x2=x

C.ER,x2#xD.ExGR,x2=x

【解析】選D.命題“VxWR,x2rx”為全稱量詞命題，故其否定為：mxGR,x2=x.

4.（2021.黃岡高一檢測）已知命題p：VxGR,x+|x|>0,則（）

A.邛：VxGR,x+|x|<0

B.-p：ElxGR,x+|x|<0

C.-p：3xGR,x+|x|<0

D.1：VxGR,x+|x|<0

【解析】選C.因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題p：VxGR,x+|x|K）的

否定為：R：mxGR,x+|x|<0.

5.命題“VxGR,3x2_2x+1>0”的否定是（）

A.ExGR,3x2-2x+l>0

B.VxGR,3x2-2x+l<0

C.3xGR,3x2-2x+l<0

D.HxGR,3x2-2x+l<0

【解析】選D.命題“VxWR,3x2_2x+l>0”的否定是mxWR,3x2-2x+l<0.

6.若p：Vx>0,x+（22,則邛為（）

A.3x>0,x+-<2B.3x>0,x+-<2

1X'X—

C.Ex>0x+->2D.Vx>0,x+-<2

'zX_'X

【解析】選A.p：Vx>0,x+>2,則-p為mx>0,x+：<2.

?題組二存在量詞命題的否定

1.若命題p:3xGR,x2+x+1<0,貝!]-p為（）

A.VxGR,x2+x+KO

B.VxGR,x2+x+1>O

C.VxGR,x2+x+l>0

D.ExGR,x2+x+1>O

【解析】選C.命題是存在量詞命題,則命題的否定是：VxGR,x2+x+l>0.

2.（2021福州高一檢測）存在量詞命題p："ExGR,x2-2*+2三0”的否定是（）

A.3xGR,x2-2x+2>0

B.3xGR,x2-2x+2>0

C.VxGR,x2-2x+2>0

D.VxGR,x2-2x+2<0

【解析】選C.命題p："ExGR,x。2x+2W0”的否定是“VxGR,x2-2x+2>0”.

3.命題“mxGR,1<殍2”的否定形式是（）

A.VxGR,l<y<2

B.3xGR,l<y<2

C.ExGR,y<l或y>2

D.VxGR,y<l或y>2

【解析】選D量詞“三”改為“V”，結論“l(fā)vy?2”的反面是“殍1或y>2”.

4.（2021?永州高一檢測）命題“mxWR,x-1>2”的否定是（）

A.3xGR,x-1<2B.3xGR,x-1<2

C.VxGR,x-1<2D.VxGR,x-1<2

【解析】選D.命題“mxWR,x-1>2”的否定是VxGR,x-1<2.

5.（2021?浙江高一檢測）命題p："三x,yGZ,x+4y=3”的否定是（）

A.u3x,yGZ,x+4y力3”

B.“不mx,y￡Z,x+4y#"

C."Vx,yez,x+4y=3”

D.“Vx,yGZ,x+4y#3''

【解析】選D.命題p：uBx,yGZ,*+4丫=3”的否定是々*,yGZ,x+4y#3”.

?題組三全稱量詞命題、存在量詞命題的應用

1,下列命題的否定為假命題的是()

A.ExGZ,l<4x<3B.ExGZ,5x+1=0

C.VxGR,x2-1=0D.3xGR,x2+3x+2=0

【解析】選D.命題的否定為假命題等價于該命題是真命題，對A,由l<4x<3得;<x<1,這

樣的整數(shù)x不存在，故A為假命題,其否定為真命題，故A錯誤；對B,5x+1=0,x=-士

eZ,故B為假命題,其否定為真命題，故B錯誤；對C,x2-1=Onx=±1,故C為假命

題，其否定為真命題，故C錯誤；對D,存在x=-1或x=-2,使X2+3X+2=(X+1)(X+2)

=0,故D為真命題，從而D的否定是假命題，故D正確.

2.已知“命題p：3xWR,使得ax2+2x+l<0成立"為真命題，則實數(shù)a滿足_______.

【解析】若a=0時，不等式ax2+2x+1<0等價于2x+KO,解得x<-；，結論成立.當a知

a>0,

時，令y=ax2+2x+1,要使ax2+2x+l<0成立，則滿足<或a<0,解得0<a<l或a<0,

A>0,

綜上a<l.

答案：a<l

3.已知命題p：VxGR,x2+2x-a>0.若p為真命題,則實數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】根據題意,不等式X2+2X-a>0在R上恒成立，則A=4+4a<0,所以a<-1.

答案：a<-1

易錯易混4■場盤

易錯點一寫命題的否定時忽略隱含的量詞

命題p：末位是0的整數(shù)可以被5整除，則邛：

【解析】末位是0的整數(shù)指的是，所有末位是0的整數(shù)，即省略全稱量詞的全稱量詞命題.一

p：存在一個末位是0的整數(shù)不可以被5整除.

答案：存在一個末位是0的整數(shù)不可以被5整除

【易錯誤區(qū)】由于全稱量詞往往省略不寫，因此在寫這類命題的否定時，必須找出其中省略

的全稱量詞，再寫出它的否定形式.

易錯點二寫命題的否定時考慮不全面

1,全稱量詞命題：VxGR,x?+5x=4的否定是

【解析】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以VxGRr+5x=4的否定是：3xGR,

x2+5x#4.

答案：3xGR,x2+5x^4

2.命題“3xGR,x3-2x+1=0”的否定是

【解析】命題為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，故命題“EXGR,X3-2X+1=0”的否

定是:VxGR,x3-2x+1邦.

答案：VxER,x3-2x+1加

【易錯誤區(qū)】對含有量詞的命題進行否定時，（1）牢記全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，注意不能只否定結論，而忘記了對量詞的否定；也不

能只否定量詞，而忘記了對結論的否定.（2）牢記命題的否定與原命題的真假性相反，可以以

此檢驗命題的否定是否正確.

C5晚間小練半小時，突破課堂重難點！//

/徐鍵能力?綜合練

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1.（2020.銀川高一檢測）已知命題p：VxGR,x2-x+l>0,下列邛形式正確的是（）

A.-p：ExGR,使彳導x2-x+1>0

B.-p：ExER，使得x2-x+l<0

C.-p：VxGR,x2-x+l<0

D.-p：VxGR,x2-x+l<0

【解析】選B.否定量詞，否定結論，即邛：mx￡R,使得x2-x+l<0.

2.命題“3xWO,使x-x2>0”的否定形式是()

A.“mxSO,使x-x2$0”

B.“三x>0,使x-x2<0,5

C."VxWO,使x-x2>0”

D."WxSO,使x-x2<0,5

【解析】選D命題"mxWO，使x-x2>0”的否定是“Vx/0，使x-x2a”.

3.下列描述錯誤的是()

A.命題“Vx>l,x2-x>0”的否定是“Vx>l,x2-xWO”

B.“x=1”是r2-3x+2=0”的充分不必要條件

C.對于命題p：ExGR，使得x2+x+1<0,則邛：VxGR,均有x2+x+1>0

D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件

【解析】選A.A中根據命題的否定可知，命題“Vx>l,x2-x>0”的否定是々x>l,x2-xWO”

錯誤；B.由x2-3x+2=0,解得x=1,2,因此“x=1”是%2-3x+2=0”的充分不必要條件,

正確；C.由含有一個量詞的命題的否定形式得，命題p：mxGR,使得x2+x+1<。，則丁為：

VxGR,均有x2+x+60,故C正確；D.由X?-3x+2>0解得，x>2或x<l,故x>2可推

出x2-3x+2>0,但x2-3x+2>0推不出x>2,故“x>2”是屋-3x+2>0”的充分不必要條

件，即D正確.

4.已知命題p：有的三角形是等邊三角形，貝［|()

A.邛：有的三角形不是等邊三角形

B.-p：有的三角形是不等邊三角形

C.-p：所有的三角形都是等邊三角形

D.1：所有的三角形都不是等邊三角形

【解析】選D.因為命題p是存在量詞命題，存在量詞的否定為全稱量詞，且否定結論，所以

命題p的否定是所有的三角形都不是等邊三角形.

5.（多選題）（2021.莆田高一檢測）下列命題的否定中，是全稱量詞命題且是真命題的是（）

,1

A.3xGR,x--x+<0

B.所有正方形都是矩形

C.Ex￡R,x2+2x+2=0

D.至少有一個實數(shù)x,使x3+1=0

【解析】選AC.由題意可知：原命題為存在量詞命題且為假命題.

選項A,原命題為存在量詞命題，x2-x+/=（x-J2刈，所以原命題為假命題，所以選項

A滿足條件；

選項B,原命題是全稱量詞命題，所以選項B不滿足條件；

選項C,原命題為存在量詞命題，x2+2x+2=（x++1邦,所以原命題為假命題，所以選項

C滿足條件；

選項D,當x=-1時，命題成立.所以原命題為真命題，所以選項D不滿足條件.

6.（多選題）下列說法正確的是（）

A.命題“VxWR,x2>-1”的否定是“mxGR,x2<-r

B.命題"xW{x|x>-3},x2/9”的否定是“VxG{x|x>-3},x2>9"

C."x2>y2”是“x>y”的必要不充分條件

D."m<0”是“關于x的方程x2-2x+m=0有一正根一負根”的充要條件

【解析】選BD.A.命題“VxWR,x2>-1”的否定是“mx￡R,x2<-1"，故錯誤；

B.命題/xW{x|x>-3},x2?9”的否定是“VxW{x|x>-3},x2>9",正確;

C.x2>y2<?|x|>|y|,|x|>|y|不能推出x>y,x>y也不能推出|x|>|y|,所以"x?”"是“x>y”的

既不充分也不必要條件，故錯誤；

,一（4-4m>0

D.關于x的方程x2-2x+m=0有一正根一負根Om<0,所以“m<0”是“關于x

lm<0

的方程x2-2x+m=0有一正根一負根”的充要條件,正確.

二、填空題（每小題5分，共20分）

7.（金榜原創(chuàng)題）命題“mxNl,使x?+2x-1>0”的否定形式是________.

【解析】命題7x21,使x?+2x-1>0”的否定形式為“VxNl,使x?+2x-1W0”.

答案:Vx>l,^x2+2x-1<0

教師

專用

3xGR,x2+2x+3<0的命題否定是________.

【解析】命題P：ExGR,x2+2x+3<0,則命題p的否定是：VxGR,x2+2x+3>0.

答案：VxGR,x2+2x+3>0K

8.命題“VxWR,2x2-x+3>0”的否定是____________.

【解析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以否定為mxGR,2x2.x+3<0.

答案：ExGR,2x2-x+3<0

9.命題：“a,b,c中至少有一個負數(shù)”的否定形式是：.

【解析】命題："a,b,c中至少有一個負數(shù)”為存在量詞命題，所以其否定形式是“a,b,c都

是非負數(shù)”.

答案：a,b,c都是非負數(shù)

10.若命題p：Va,b￡R,方程ax2+b=0恰有一解，則邛：.

【解析】因為Va,bWR的否定為ma,bGR,

方程ax?+b=0恰有一解的否定為方程ax?+b=0無解或至少有兩解，

所以-P:3a,bGR,方程ax2+b=0無解或至少有兩解.

答案：Ha,b￡R,方程ax2+b=0無解或至少有兩解

三、解答題

11.(10分)寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假：

(1)任意實數(shù)都存在倒數(shù)；

(2)存在一個平行四邊形，它的對角線不相等；

(3)VxW{x|x是三角形},x的內角和是180。.

【解析】(1)存在一個實數(shù)不存在倒數(shù)，例如：實數(shù)0,故此命題為真命題.

(2)所有平行四邊形的對角線相等，例如：邊長為1,一個內角為60。的菱形，其對角線分別為

1,事,故此命題為假命題.

(3)3xe{x|x是三角形},x的內角和不是180°,由三角形的內角和定理知，任意三角形內角和

均為180°,故此命題為假命題.

自我挑戰(zhàn)區(qū)

命題“對任意xG{x|x>l},x2+x+mNO”是假命題.求實數(shù)m的取值范圍.

【解析】若原命題是真命題，

即對任意xG{x|x>l},x2+x+m>0恒成立.

令f(x)=x2+x+m,

則f(i)>o,

即2+m>0.

解得m>-2.

要使原命題是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是m<-2.

◎周末抽出一小時，階段復盤再提升!/

考點綜合?提升練2

一、選擇題(每小題5分，共30分，在每小題給出的選項中，只有一個正確選項)

1.(2020.丹東高一檢測)已知p：x=-5,q：X?+2x-15=0,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.因為(x-3)(x+5)=0,

所以x=3B￡X=-5.

由x=-5可以推出(x-3)(x+5)=0；反之，不成立.

2.“x>l”是、>2"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選B.由x>l推不出x>2,反之，由x>2可以推出x>l

所以“x>l?是“x>2”的必要不充分條件.

教啊

專用

【變式備選】

已知x,yWR,則“x2+y2=0”是“xy=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.若x?+y2=0,則x=y=0,蛆|xy=0,若xy=0,取x=0,y=1,此時x?+y2

=厚0,故“x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要條件.K

3.“x<y”是“|x|<|y|"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選D.取特殊值代入，當x=-4,y=0時，滿足x<y但|x|>|y|,

所以不充分，?當x=1,y=-2時，滿足岡<|y|,但x>y,所以不必要；

故“x<y”是“|x|<|y|"的既不充分也不必要條件.

教師

專用

(2020?衡水高一檢測)已知a>0,b>0,則“ab>l”是“a+1?>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.已知a>0,b>0.

充分性：若ab>l,

因為a2+b2>2ab,

所以(a+b)2>4ab,

所以(a+b)2>"

所以a+b>2；

必要性：若a+b>2,

則當a=3,b=；時，ab=l,

所以必要性不成立；

因此“ab>l”是“a+b>2”的充分不必要條件.K

4.命題“對任意的xGR,X3-X2+2<0”的否定是（）

A.不存在xWR,x3-x2+2>0

B.存在x^R,x3-X2+2>0

C.存在x￡R,x3-x2+2>0

D.存在xGR,x3-x2+2<0

【解析】選C.命題“對任意的xGR,X3-X2+2<0”是全稱量詞命題，否定時將量詞對任意的

實數(shù)xGR變?yōu)榇嬖趚GR,再將不等號<變?yōu)橹纯?即存在xGR,x3-x2+2>0.

5.“a<0”是方程ax2+l=0至少有一個負根”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】選C.當a<0時，方程ax?+1=0,

即x2=-J,故此一元二次方程有一個正根和一個負根，符合題意；

d

當方程ax?+1=0至少有一個負根時，a不可以為0,從而x2=-：,

所以a<0,由上述推理可知，“a<0”是方程“ax2+1=0至少有一個負根”的充要條件.

6.已知命題p：3x>0,x+a-1=0,若p為假命題,貝Ua的取值范圍是（）

A.a<lB.a<l

C.a>lD.a>l

【解析】選D.因為p為假命題，所以邛為真命題，

BP：Vx>0,x+a-1#0,

即x#l-a,

所以1-a<0,則a>l.

所以a的取值范圍是aNL

二、選擇題（每小題5分，共10分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的，全部選

對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）

7.已知p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件,

下列命題正確的是（）

A.r是q的充要條件

B.p是q的充分不必要條件

C.r是q的必要不充分條件

D.r是s的充分不必要條件

【解析】選AB.依題意p是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是

s的必要條件，即p4r=q=s,所以r是q的充要條件，A選項正確.

P是q的充分不必要條件，B選項正確.r是q的充要條件，C選項錯誤.r是s的充要條件，

D選項錯誤.

8.下列命題中，是真命題的是（）

A.a-b=0的充要條件是低=1

B.a>l,b>l是ab>l的充分條件

C.命題“三xGR,使得x2+x+1<0”的否定是“丫*￡11,都有x2+x+GO”

D.命題“VxWR,x2+x+1邦”的否定是“mxGR,x?+x+1=0”

【解析】選BCD.A.當b=0時，￡=1不成立，故不充分；由9=1可推出a-b=0,故必要,

故錯誤；B.由不等式的基本性質知a>l,b>l可推出ab>l,故充分，故正確；

C.存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故正確；

D.全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故正確.

三、填空題（每小題5分，共20分）

9.命題p:“VxWR,x2+x>0'',則4:.

【解析】根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“VxWR,*2+*>0”的否定是“三

xGR,x2+x<0,5.

答案：ExFR,x2+x<0

10.設p：x<2,q：x<a,若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】因為P是q的必要不充分條件，所以｛x|x<a｝是｛x|x<2｝的真子集，即a<2.

答案：a<2

11.從“充分條件”“必要條件”中選出適當?shù)囊环N填空：

(l)t4ax2+bx+c=0(a#))有實根”是“ac<0”的____.

【解析】⑴當ac<0時,A=b2-4ac>0，此時ax2+bx+c=0(a/))有實根；當ax2+bx+c=0(a#0)

有實根時，A=b2-4ac>0,推不出ac<0，比如b=2,a=c=l時，滿足A=b2-4ac>0，但是

ac>0,所以m2+6*+?=0但9)有實根“是5<0”的必要不充分條件.

(2)三角形全等能推出三角形相似，但是三角形相似推不出三角形全等，所以於人：6(2^人，：6，?！?/p>

是“△ABC-△ABC”的充分不必要條件.

答案：(1)必要條件(2)充分條件

12.若命題“3xGR,X2-2X-aqF為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】命題“ExGR,X2-2X-aWO”為假命題，故x?-2x-a>0恒成立.A=4+4a<0,故a<

-1.

答案：a<-1

教師.

專用

若命題“WxGR,x2+x+a-1邦”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為.

【解析】因為命題“Vx￡R,x2+x+a-1邦"為假命題，所以3x￡R,x2+x+a-1=0即為真

命題，

所以△=I2-4(a-1)>0,

解得?

答案：a<jK

四、解答題(每小題10分，共40分)

13.指出下列各命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件.

(l)p：x2>0,q:x>0；

(2)p：x+2#y,q：(x+2)Vy2；

(3)p：a能被6整除,q：a能被3整除；

(4)p：兩個角不都是直角，q：兩個角不相等.

【解析】(l)p：x2>0則x>0，或x<0,q：x>0,故p是q的必要條件，q是p的充分條件.

(2)q：(x+2)2力y2，則x+2為且x+2#-y,故p是q的必要條件，q是p的充分條件.

(3)p:a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分條件，q是p

的必要條件.

(4)p：兩個角不都是直角，這兩個角可以相等，q：兩個角不相等，則這個角一定不都是直角,

故P是q的必要條件，q是P的充分條件.

14.求證：一次函數(shù)y=kx+b(k/))的圖象經過坐標原點的充要條件是b=0.

【證明】①充分性：如果b=0,那