2021-2022學(xué)年江蘇省泰州市姜堰中學(xué)高二上學(xué)期暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

20212022學(xué)年江蘇省泰州市姜堰中學(xué)高二上學(xué)期暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）（其中i為虛數(shù)單位）A．5 B．1 C．1 D．i【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，將展開(kāi)化簡(jiǎn)，可得答案.【詳解】,故復(fù)數(shù)的虛部為1，故選：B2．已知m，n表示兩條不同直線，，，表示三個(gè)不同平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定定理，一一驗(yàn)證即可.【詳解】解：A，若，，則與可能相交、平行、異面,故A錯(cuò).B,若，，則,根據(jù)線面垂直的性質(zhì),B正確C,若，，則與可以相交，平行，故C錯(cuò).D,若，，則或，故D錯(cuò).故選：B.3．已知向量，滿足，，則（）A．3 B． C．7 D．【答案】D【分析】利用公式，求出，再利用求值.【詳解】因?yàn)椋汛?，解?所以.故答案為：.4．已知函數(shù)f(x)＝是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(0，3) B．(0，3]C．(0，2) D．(0，2]【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可以得出，解出a的范圍，從而求出答案.【詳解】由題意知實(shí)數(shù)a滿足解得0＜a≤2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，2]．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題.5．已知，均為銳角，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的值，再去求的值即可.【詳解】由，且為銳角，可得由，且為銳角，可得則又由，均為銳角，可得，則故選：D6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判定的范圍，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，所以.故選：D.7．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)奇偶性，單調(diào)性，特殊值等，用排除法判斷即可.【詳解】設(shè)，故為奇函數(shù).為奇函數(shù).故為偶函數(shù)，排除C、D時(shí)，，，故.故選：A【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．8．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知等式切化弦后由三角函數(shù)恒等變換變形后由正弦定理化角為邊，得邊角關(guān)系表示出，由平方關(guān)系得，再由余弦定理表示，從而可得邊的關(guān)系，最終三角形面積可表示一個(gè)邊長(zhǎng)函數(shù)式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可得最大值．【詳解】解：，，即，，，由正弦定理知，，，即，，由余弦定理知，，化簡(jiǎn)得，面積，當(dāng)時(shí)，有最大值為．故選：A．二、多選題9．給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（

）A．平均數(shù)為3 B．眾數(shù)為2和3C．方差為【答案】ABC【分析】求得平均數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得眾數(shù)判斷選項(xiàng)B；求得方差判斷選項(xiàng)C；求得第85百分位數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：此組數(shù)據(jù)平均數(shù)為5+5+4+3+3+3+2+2+2+1.判斷正確；選項(xiàng)B：此組數(shù)據(jù)中3出現(xiàn)3次，2出現(xiàn)3次，5出現(xiàn)2次，4出現(xiàn)1次，1出現(xiàn)1次.則此組數(shù)據(jù)眾數(shù)為2和3.判斷正確；選項(xiàng)C：此組數(shù)據(jù)方差為.判斷正確；選項(xiàng)D：將此組數(shù)據(jù)從小到大排列為1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.，但8.5不是整數(shù)，則第85百分位數(shù)為為第9個(gè)數(shù)字5.判斷錯(cuò)誤.故選：ABC10．已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．為實(shí)數(shù)C．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限D(zhuǎn)．若，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則【答案】BD【分析】求得的值排除選項(xiàng)A；求得的值選B；求得復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)排除選項(xiàng)C；求得的值選D.【詳解】選項(xiàng)A：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：則為實(shí)數(shù).判斷正確；選項(xiàng)C：若，則則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，落在第二象限.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，解之得.判斷正確.故選：BD11．關(guān)于函數(shù)的描述錯(cuò)誤的是（

）A．其圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到B．在僅有1個(gè)零點(diǎn)C．在單調(diào)遞增D．在的最小值為【答案】ABC【分析】求得的圖象向右平移個(gè)單位所得圖像的解析式判斷選項(xiàng)A；求得在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷選項(xiàng)B；舉反例否定選項(xiàng)C；求得在的最小值判斷選項(xiàng)D【詳解】選項(xiàng)A：的圖象向右平移個(gè)單位得到但，即沒(méi)有得到.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，由，可得，或，即或則在有且僅有2個(gè)零點(diǎn).判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由，，可得則在上不單調(diào)遞增.判斷錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：由，可得，則，則在的最小值為.判斷正確.故選：ABC12．直四棱柱的各個(gè)棱長(zhǎng)均為2，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，以P為球心，2為半徑作球面，點(diǎn)是球面與下底面的一個(gè)公共點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使平面平面B．直線與平面所成的角為C．該球面與底面的交線長(zhǎng)為D．該球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為【答案】ABD【分析】反證法否定選項(xiàng)A；求得直線與平面所成的角判斷選項(xiàng)B；求得該球面與底面的交線長(zhǎng)判斷選項(xiàng)C；求得該球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)判斷選項(xiàng)D.【詳解】如圖所示，點(diǎn)M的軌跡是下底面中，以為圓心以為半徑的圓落在底面內(nèi)部的部分圓弧.選項(xiàng)A：假設(shè)存在點(diǎn)，使平面平面，則平面取中點(diǎn)，連接，，則，，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面則平面，這與平面矛盾.故假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)使平面平面.判斷正確；選項(xiàng)B：直四棱柱中，平面，則直線與平面所成角為又，，則，又，則.故直線與平面所成的角為.判斷正確；選項(xiàng)C：由，則弧的長(zhǎng)為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：取中點(diǎn)E，連接，，連接交于O，連接PO，OE.由，，則△為等邊三角形，則，又平面，平面，則又，平面，平面則平面，又，且，則四邊形為平行四邊形，則，且，則平面，且則已知中的球面與側(cè)面的交線是以O(shè)為圓心1為半徑的圓.則該球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為.判斷正確.故選：ABD三、填空題13．已知平行四邊形中，，，，M、N分別為BC、CD的中點(diǎn)，則___________.【答案】15【分析】先以向量為基底去表示向量，再去求的數(shù)量積即可.【詳解】，故答案為：1514．已知，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15．立德中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案來(lái)測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)旗桿頂端距離地面的高度，具體步驟如下：①設(shè)旗桿與地面交于點(diǎn)，②在點(diǎn)的正西方點(diǎn)測(cè)得旗桿頂端的仰角為45°，③在點(diǎn)南偏東60°的點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為60°，④測(cè)得，兩點(diǎn)處的距離為米，則該旗桿頂端距離地面的高度為_(kāi)_____米．【答案】12【分析】由題意設(shè)，則，然后在中利用余弦定理可求出的值，進(jìn)而可求出的值【詳解】解：設(shè)，由于在直角中，,在直角三角形，，則，∵，則，故，即，故，，∴．故答案為：12四、雙空題16．某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，規(guī)定排放時(shí)污染物的殘留含量不得超過(guò)原污染物總量的0．25%，已知在過(guò)濾過(guò)程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與過(guò)濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為（其中e是自然數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量）.若前4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了80%，則___________；要能夠按規(guī)定排放廢氣，還需要過(guò)濾n小時(shí)，則正整數(shù)n的最小值為_(kāi)__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】

11【解析】根據(jù)污染物的殘留數(shù)量P與過(guò)濾時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系和4個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物被過(guò)濾掉了80%，由，求得k，設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后能夠按規(guī)定排放廢氣，由，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得t，再減去4個(gè)小時(shí)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后能夠按規(guī)定排放廢氣，即，即，所以解得所以正整數(shù)n的最小值為154=11，故答案為：，11五、解答題17．一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為、、、的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號(hào)之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)，將球放回，再?gòu)暮兄腥稳∫磺?，記下該球的編?hào)，列出所有的基本事件，并求的概率.【答案】（1）基本事件答案見(jiàn)解析，概率為；（2）基本事件答案見(jiàn)解析，概率為.【分析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號(hào)之和大于”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號(hào)之和大于”為事件，樣本點(diǎn)表示“從盒中取出、號(hào)球”，且和表示相同的樣本點(diǎn)（以此類推），則樣本空間為，則，根據(jù)古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號(hào)之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點(diǎn)表示第一次取出號(hào)球，將球放回，從盒中取出號(hào)球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.18．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求證：為定值；（2）若，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，可得，代入得結(jié)果；（2）由，利用余弦定理可得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合（1）可得，再利用誘導(dǎo)公式與兩角和的正切公式得結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)，則，代入中，則，可得，即原式為定值；（2）由已知，根據(jù)余弦定理可得，有，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了誘導(dǎo)公式與兩角和的正切公式，屬于中檔題．19．某企業(yè)生產(chǎn)兩種如下圖所示的電路子模塊R，Q：要求在每個(gè)模塊中，不同位置接入不同種類型的電子元件，且備選電子元件為A，B，CRQ中，當(dāng)1號(hào)位元件正常工作，同時(shí)2號(hào)位與3號(hào)位元件中至少有一件正常工作時(shí)，電路子模塊才能正常工作.（1）若備選電子元件A，B型正常工作的概率分別為0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此時(shí)電路子模塊R能正常工作的概率；（2）若備選電子元件A，B，C型正常工作的概率分別為0.7，0.8，0.9，試問(wèn)如何接入備選電子元件，電路子模塊Q能正常工作的概率最大，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）1號(hào)位接入電子元件C時(shí)，電路模塊Q正常工作的概率最大.【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式求解答案.【詳解】（1）假設(shè)事件A，B，C分別表示電子元件A，B，C正常工作，電路子模塊R不能正常工作的概率為，由于事件A，B互相獨(dú)立，所以，因此電路子模塊R能正常工作的概率為（2）由于當(dāng)1號(hào)位元件正常工作，同時(shí)2號(hào)位與3號(hào)位元件中至少有一件正常工作時(shí)，電路子模塊Q才能正常工作，因此，①若1號(hào)位元件為電子元件A，則電路子模塊Q正常工作的概率為；②若1號(hào)位元件為電子元件B，則電路子模塊Q正常工作的概率為；③若1號(hào)位元件為電子元件c，則電路子模塊Q正常工作的概率為；因此，1號(hào)位接入元件C時(shí)，電路子模塊Q正常工作的概率最大.20．已知向量，且．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）設(shè)，，求的值．【答案】（1）最大值為；最小值為；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積得到，然后利用降次公式和輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)最值；（2）根據(jù)條件求出，再利用同角的平方關(guān)系求得，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式以及二倍角公式湊角即可求出結(jié)果.【詳解】（1），因?yàn)闀r(shí)，所以，當(dāng)即時(shí)，,當(dāng)即時(shí),所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）因?yàn)椋?，，所以，令，則，所以其中，，所以.21．如圖，某城市擬在矩形區(qū)域內(nèi)修建兒童樂(lè)園，已知百米，百米，點(diǎn)E，N分別在AD，BC上，梯形為水上樂(lè)園；將梯形EABN分成三個(gè)活動(dòng)區(qū)域，在上，且點(diǎn)B，E關(guān)于MN對(duì)稱．現(xiàn)需要修建兩道柵欄ME，MN將三個(gè)活動(dòng)區(qū)域隔開(kāi)．設(shè)，兩道柵欄的總長(zhǎng)度．（1）求的函數(shù)表達(dá)式，并求出函數(shù)的定義域；（2）求的最小值及此時(shí)的值.【答案】（1）,（2）的最小值為百米，此時(shí)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性得到，，計(jì)算得到，再計(jì)算定義域得到答案.（2）化簡(jiǎn)得到，設(shè)，令，求其最大值得到答案.【詳解】（1）在矩形ABCD中，，E關(guān)于MN對(duì)稱，，且在中，又百米中，在中，，，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?）令，，令，則當(dāng)，即時(shí)取最大值，最大值為百米的最小值為百米，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的表達(dá)式，定義域，最值，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力.22．如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）證明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求點(diǎn)D到平面PBE的距離；（3）求平面PAD和平面PBE所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】(1)利用面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明平面.(2)在三棱錐中，利用等體積法求點(diǎn)到面的距離.(3)先作出所求二面角并證明，再用解三角形知識(shí)求解.【詳解】(1)證明：連接BD，由四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD=60°，可知E是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD，又