2021-2022學年江蘇省泰州市姜堰中學高二上學期暑期檢測數(shù)學試題

20212022學年江蘇省泰州市姜堰中學高二上學期暑期檢測數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)的虛部為（

）（其中i為虛數(shù)單位）A．5 B．1 C．1 D．i【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算，將展開化簡，可得答案.【詳解】,故復數(shù)的虛部為1，故選：B2．已知m，n表示兩條不同直線，，，表示三個不同平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)線線、線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定定理，一一驗證即可.【詳解】解：A，若，，則與可能相交、平行、異面,故A錯.B,若，，則,根據(jù)線面垂直的性質,B正確C,若，，則與可以相交，平行，故C錯.D,若，，則或，故D錯.故選：B.3．已知向量，滿足，，則（）A．3 B． C．7 D．【答案】D【分析】利用公式，求出，再利用求值.【詳解】因為，把代入，解得.所以.故答案為：.4．已知函數(shù)f(x)＝是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(0，3) B．(0，3]C．(0，2) D．(0，2]【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可以得出，解出a的范圍，從而求出答案.【詳解】由題意知實數(shù)a滿足解得0＜a≤2，故實數(shù)a的取值范圍為(0，2]．故選：D.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題.5．已知，均為銳角，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的值，再去求的值即可.【詳解】由，且為銳角，可得由，且為銳角，可得則又由，均為銳角，可得，則故選：D6．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，分別判定的范圍，進而可得出結果.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，所以.故選：D.7．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)奇偶性，單調(diào)性，特殊值等，用排除法判斷即可.【詳解】設，故為奇函數(shù).為奇函數(shù).故為偶函數(shù)，排除C、D時，，，故.故選：A【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．8．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知等式切化弦后由三角函數(shù)恒等變換變形后由正弦定理化角為邊，得邊角關系表示出，由平方關系得，再由余弦定理表示，從而可得邊的關系，最終三角形面積可表示一個邊長函數(shù)式，結合二次函數(shù)知識可得最大值．【詳解】解：，，即，，，由正弦定理知，，，即，，由余弦定理知，，化簡得，面積，當時，有最大值為．故選：A．二、多選題9．給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（

）A．平均數(shù)為3 B．眾數(shù)為2和3C．方差為【答案】ABC【分析】求得平均數(shù)判斷選項A；求得眾數(shù)判斷選項B；求得方差判斷選項C；求得第85百分位數(shù)判斷選項D.【詳解】選項A：此組數(shù)據(jù)平均數(shù)為5+5+4+3+3+3+2+2+2+1.判斷正確；選項B：此組數(shù)據(jù)中3出現(xiàn)3次，2出現(xiàn)3次，5出現(xiàn)2次，4出現(xiàn)1次，1出現(xiàn)1次.則此組數(shù)據(jù)眾數(shù)為2和3.判斷正確；選項C：此組數(shù)據(jù)方差為.判斷正確；選項D：將此組數(shù)據(jù)從小到大排列為1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.，但8.5不是整數(shù)，則第85百分位數(shù)為為第9個數(shù)字5.判斷錯誤.故選：ABC10．已知復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（

）A．B．為實數(shù)C．若，則復數(shù)在復平面上對應的點落在第一象限D．若，復數(shù)是純虛數(shù)，則【答案】BD【分析】求得的值排除選項A；求得的值選B；求得復數(shù)在復平面上對應的點的坐標排除選項C；求得的值選D.【詳解】選項A：.判斷錯誤；選項B：則為實數(shù).判斷正確；選項C：若，則則復數(shù)在復平面上對應的點為，落在第二象限.判斷錯誤；選項D：若，復數(shù)是純虛數(shù)，則，解之得.判斷正確.故選：BD11．關于函數(shù)的描述錯誤的是（

）A．其圖象可由的圖象向右平移個單位得到B．在僅有1個零點C．在單調(diào)遞增D．在的最小值為【答案】ABC【分析】求得的圖象向右平移個單位所得圖像的解析式判斷選項A；求得在上的零點個數(shù)判斷選項B；舉反例否定選項C；求得在的最小值判斷選項D【詳解】選項A：的圖象向右平移個單位得到但，即沒有得到.判斷錯誤；選項B：當時，，由，可得，或，即或則在有且僅有2個零點.判斷錯誤；選項C：由，，可得則在上不單調(diào)遞增.判斷錯誤.選項D：由，可得，則，則在的最小值為.判斷正確.故選：ABC12．直四棱柱的各個棱長均為2，，點是棱的中點，以P為球心，2為半徑作球面，點是球面與下底面的一個公共點，下列說法正確的是（

）A．不存在點，使平面平面B．直線與平面所成的角為C．該球面與底面的交線長為D．該球面與側面的交線長為【答案】ABD【分析】反證法否定選項A；求得直線與平面所成的角判斷選項B；求得該球面與底面的交線長判斷選項C；求得該球面與側面的交線長判斷選項D.【詳解】如圖所示，點M的軌跡是下底面中，以為圓心以為半徑的圓落在底面內(nèi)部的部分圓弧.選項A：假設存在點，使平面平面，則平面取中點，連接，，則，，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面則平面，這與平面矛盾.故假設不成立，即不存在點使平面平面.判斷正確；選項B：直四棱柱中，平面，則直線與平面所成角為又，，則，又，則.故直線與平面所成的角為.判斷正確；選項C：由，則弧的長為.判斷錯誤；選項D：取中點E，連接，，連接交于O，連接PO，OE.由，，則△為等邊三角形，則，又平面，平面，則又，平面，平面則平面，又，且，則四邊形為平行四邊形，則，且，則平面，且則已知中的球面與側面的交線是以O為圓心1為半徑的圓.則該球面與側面的交線長為.判斷正確.故選：ABD三、填空題13．已知平行四邊形中，，，，M、N分別為BC、CD的中點，則___________.【答案】15【分析】先以向量為基底去表示向量，再去求的數(shù)量積即可.【詳解】，故答案為：1514．已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當且僅當=4時取等號，結合,解得，或時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查應用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關鍵，屬于基礎題.15．立德中學數(shù)學興趣小組設計了一個方案來測量學校操場旗桿頂端距離地面的高度，具體步驟如下：①設旗桿與地面交于點，②在點的正西方點測得旗桿頂端的仰角為45°，③在點南偏東60°的點處測得點的仰角為60°，④測得，兩點處的距離為米，則該旗桿頂端距離地面的高度為______米．【答案】12【分析】由題意設，則，然后在中利用余弦定理可求出的值，進而可求出的值【詳解】解：設，由于在直角中，,在直角三角形，，則，∵，則，故，即，故，，∴．故答案為：12四、雙空題16．某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放，規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0．25%，已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P（單位：毫克/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關系為（其中e是自然數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)，為原污染物總量）.若前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%，則___________；要能夠按規(guī)定排放廢氣，還需要過濾n小時，則正整數(shù)n的最小值為___________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】

11【解析】根據(jù)污染物的殘留數(shù)量P與過濾時間之間的函數(shù)關系和4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%，由，求得k，設經(jīng)過t小時后能夠按規(guī)定排放廢氣，由，利用對數(shù)運算求得t，再減去4個小時即可.【詳解】當時，，當時，，即，所以，設經(jīng)過t小時后能夠按規(guī)定排放廢氣，即，即，所以解得所以正整數(shù)n的最小值為154=11，故答案為：，11五、解答題17．一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.【答案】（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【分析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據(jù)古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點表示第一次取出號球，將球放回，從盒中取出號球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.18．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求證：為定值；（2）若，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，可得，代入得結果；（2）由，利用余弦定理可得，利用同角三角函數(shù)關系，結合（1）可得，再利用誘導公式與兩角和的正切公式得結果．【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，可設，則，代入中，則，可得，即原式為定值；（2）由已知，根據(jù)余弦定理可得，有，，故.【點睛】本題主要考查正弦定理邊角互化的應用，考查了余弦定理的應用，同時考查了誘導公式與兩角和的正切公式，屬于中檔題．19．某企業(yè)生產(chǎn)兩種如下圖所示的電路子模塊R，Q：要求在每個模塊中，不同位置接入不同種類型的電子元件，且備選電子元件為A，B，CRQ中，當1號位元件正常工作，同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時，電路子模塊才能正常工作.（1）若備選電子元件A，B型正常工作的概率分別為0.9，0.8，依次接入位置1，2，求此時電路子模塊R能正常工作的概率；（2）若備選電子元件A，B，C型正常工作的概率分別為0.7，0.8，0.9，試問如何接入備選電子元件，電路子模塊Q能正常工作的概率最大，并說明理由.【答案】（1）；（2）1號位接入電子元件C時，電路模塊Q正常工作的概率最大.【分析】根據(jù)隨機事件的概率計算公式求解答案.【詳解】（1）假設事件A，B，C分別表示電子元件A，B，C正常工作，電路子模塊R不能正常工作的概率為，由于事件A，B互相獨立，所以，因此電路子模塊R能正常工作的概率為（2）由于當1號位元件正常工作，同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時，電路子模塊Q才能正常工作，因此，①若1號位元件為電子元件A，則電路子模塊Q正常工作的概率為；②若1號位元件為電子元件B，則電路子模塊Q正常工作的概率為；③若1號位元件為電子元件c，則電路子模塊Q正常工作的概率為；因此，1號位接入元件C時，電路子模塊Q正常工作的概率最大.20．已知向量，且．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）設，，求的值．【答案】（1）最大值為；最小值為；（2）.【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積得到，然后利用降次公式和輔助角公式進行化簡，進而根據(jù)函數(shù)的圖象與性質即可求出函數(shù)最值；（2）根據(jù)條件求出，再利用同角的平方關系求得，進而利用兩角差的余弦公式以及二倍角公式湊角即可求出結果.【詳解】（1），因為時，所以，當即時，,當即時,所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）因為，所以，，所以，令，則，所以其中，，所以.21．如圖，某城市擬在矩形區(qū)域內(nèi)修建兒童樂園，已知百米，百米，點E，N分別在AD，BC上，梯形為水上樂園；將梯形EABN分成三個活動區(qū)域，在上，且點B，E關于MN對稱．現(xiàn)需要修建兩道柵欄ME，MN將三個活動區(qū)域隔開．設，兩道柵欄的總長度．（1）求的函數(shù)表達式，并求出函數(shù)的定義域；（2）求的最小值及此時的值.【答案】（1）,（2）的最小值為百米，此時【分析】（1）根據(jù)對稱性得到，，計算得到，再計算定義域得到答案.（2）化簡得到，設，令，求其最大值得到答案.【詳解】（1）在矩形ABCD中，，E關于MN對稱，，且在中，又百米中，在中，，，解得，∴函數(shù)的定義域為．（2）令，，令，則當，即時取最大值，最大值為百米的最小值為百米，此時．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的表達式，定義域，最值，意在考查學生的應用能力和計算能力.22．如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2.（1）證明:平面PBE⊥平面PAB；（2）求點D到平面PBE的距離；（3）求平面PAD和平面PBE所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】(1)利用面面垂直的判定定理，轉化為證明平面.(2)在三棱錐中，利用等體積法求點到面的距離.(3)先作出所求二面角并證明，再用解三角形知識求解.【詳解】(1)證明：連接BD，由四邊形ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，可知E是CD的中點，所以BE⊥CD，又