（高考新構(gòu)架19題）湖南省常德市2024屆高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

PAGE 數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))2024年常德市高三年級(jí)模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則A.B.C.D.2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則A.B.C.D.3.已知奇函數(shù)是定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是A.函數(shù)在R上單調(diào)遞增B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在上單調(diào)遞增4.如圖，現(xiàn)有棱長(zhǎng)為6cm的正方體玉石缺失了一個(gè)角，缺失部分為正三棱錐，且分別為棱靠近的四等分點(diǎn)，若將該玉石打磨成一個(gè)球形飾品，則該球形飾品的體積的最大值為A.B.C.D.5.已知，，則A.B.C.D.6.已知平面向量均為單位向量，且?jiàn)A角為，若向量與共面，且滿足，則A.B.C.D.7.已知，則=A．9B．10C．18D．198.設(shè)有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品，甲箱中產(chǎn)品的合格率為90%，乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一件,經(jīng)檢驗(yàn)不合格,放回原箱后在該箱中再隨機(jī)取一件產(chǎn)品,則該件產(chǎn)品合格的概率為A.B.C.D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法正確的是A.數(shù)據(jù)6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位數(shù)(75%分位數(shù))為7B.樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)滿足，則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同C.若隨機(jī)事件，滿足：，則，相互獨(dú)立D.若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則10.過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，下列說(shuō)法正確的是A.以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)B.C.若直線的斜率存在，則斜率為D.若，則1211.若函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則A.B.C.D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知曲線在處的切線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則____________．13.若復(fù)數(shù)滿足：，則________.14.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為_(kāi)________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)在中，內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,，且．(1)求角；(2)若,,成等差數(shù)列，且的面積為，求的周長(zhǎng)．16．某市組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310(1)從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以X表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：）.17．(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.(1)證明：平面；(2)已知三棱錐的體積為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值.18．(本小題滿分17分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：的上、下頂點(diǎn)為A、B，橢圓上的點(diǎn)P位于第二象限，直線PA、PB、PO的斜率分別為，且.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)原點(diǎn)O分別作直線PA、PB的平行線與橢圓相交，得到四個(gè)交點(diǎn)，將這四個(gè)交點(diǎn)依次連接構(gòu)成一個(gè)四邊形，則此四邊形的面積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)求出其取值范圍.19．(本小題滿分17分)已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明；(2)函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.①證明：；②試問(wèn)是否存在使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2024年常德市高三年級(jí)模擬考試數(shù)學(xué)參考答案一一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)12345678答案CDCBABDA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)91011答案BCABCBCD 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13．14．或四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.(本小題滿分13分)解：(1)由正弦定理，2分由余弦定理5分又，6分(2)由,,成等差數(shù)列，①7分的面積為，，即②9分由(1)③由①②③解得：12分，故的周長(zhǎng)為1513分16.(本小題滿分15分)解：(1)每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則X的所有可能取值為0,1,2,31分，，，5分故X的分布列為X0123P7分(2)設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，8分10分故13分，∴15分17.(本小題滿分15分)解：(1)證明：取AD的中點(diǎn)O，，1分又平面平面，平面平面=，平面3分又平面，4分，，，，5分又，平面，平面6分(法二：，，，，3分又平面平面，平面平面，平面平面6分閱卷說(shuō)明：若考生用方法二：第（2）問(wèn)建系沒(méi)有證明的平面扣2分）(2)，8分取PB的中點(diǎn)M，又為的中點(diǎn)，，又，平面即為平面，為平面與平面的交線10分取AB的中點(diǎn)Q，連結(jié)OQ，由(1)可知，OA、OP、OQ兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，11分設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，13分設(shè)直線與平面夾角為，則故直線與平面夾角的正弦值15分18.(本小題滿分17分)解：(1)由題易得設(shè)，則1分∵，∴3分化簡(jiǎn)得：①又在橢圓上，②由①②得又，∴5分故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程6分(2)設(shè)直線PA的平行線與橢圓相交于點(diǎn)E、F（E在上方）；直線PB的平行線與橢圓相交于點(diǎn)G、H（G在上方）.∴直線EF的方程為，直線GH的方程為.又，∴8分聯(lián)立，解得∴10分聯(lián)立，解得∴12分設(shè)直線EF的傾斜角為，直線GH的傾斜角為，∴則14分∴四邊形面積為故該四邊形的面積為定值17分19.(本小題滿分17分)解：（1），設(shè)，又1分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上無(wú)零點(diǎn)2分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，在上有唯一零點(diǎn)3分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，在上有唯一零點(diǎn)4分綜上，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)且在零點(diǎn)左右函數(shù)符號(hào)發(fā)生改變，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)5分（2）①由（1）知在無(wú)