廣西柳州市2021年中考數(shù)學(xué)真題試卷（解析版）

2021年柳州市初中學(xué)業(yè)水平考試與高中階段學(xué)校招生考試

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：120分）

第I卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合

要求的）

1.在實(shí)數(shù)3,0,一2中，最大的數(shù)為（）

A.3B.—C.0D.-2

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，兩

個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大數(shù)就大，據(jù)此判斷即可.

【詳解】根據(jù)有理數(shù)的比較大小方法，可得：

-2<0<-<3，

2

因此最大的數(shù)是：3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的比較大小，解答此題的關(guān)鍵在于明確：正數(shù)>0>負(fù)數(shù).

2.如下擺放的幾何體中，主視圖為圓的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】逐項(xiàng)分析，根據(jù)三視圖的定義，找出主視圖為圓的選項(xiàng).

【詳解】A.主視圖為三角形，不符合題意；

B.主視圖為矩形，不符合題意；

C.主視圖為正方形，不符合題意；

D.主視圖為圓，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)點(diǎn)，熟知主視圖的定義和畫(huà)三視圖的規(guī)則是解題的關(guān)鍵.

3.柳州市大力發(fā)展新能源汽車(chē)業(yè)，儀今年二月宏光M/N/EV銷(xiāo)量就達(dá)17000輛，用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)17000

表示為（）

A.0.17X105B.17x103C.1.7xl04D.1.7xl05

【答案】C

【解析】

分析】用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示出即可.

【詳解】17000=1.7xlO4.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)計(jì)數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法表示形式為axlO”的形式，其中號(hào)同＜10,〃為整數(shù).確定

〃的值時(shí)，要看把原來(lái)的數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

4.以下四個(gè)標(biāo)志，每個(gè)標(biāo)志都有圖案和文字說(shuō)明，其中的圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形是（）

節(jié)能

綠色食品“

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義判斷即可

【詳解】都不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

...都不符合題意；

。是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，準(zhǔn)確理解軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

5.以下調(diào)查中，最適合用來(lái)全面調(diào)查的是（）

A.調(diào)查柳江流域水質(zhì)情況B.了解全國(guó)中學(xué)生的心理健康狀況

C.了解全班學(xué)生的身高情況D.調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)收視率

【答案】C

【解析】

【分析】逐項(xiàng)分析，找出適合全面調(diào)查的選項(xiàng)即可.

【詳解】A.調(diào)查柳江流域水質(zhì)情況，普查不切實(shí)際，適用采用抽樣調(diào)查，不符合題意；

B.了解全國(guó)中學(xué)生的心理健康狀況，調(diào)查范圍廣，適合抽樣調(diào)查，不符合題意；

C.了解全班學(xué)生的身高情況，適合普查，符合題意；

D.調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)收視率，調(diào)查范圍廣，適合抽樣調(diào)查，不符合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；在調(diào)查實(shí)際生活中的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要靈活處理，既要考慮問(wèn)

題本身的需要，又要考慮實(shí)現(xiàn)的可能性和所付出代價(jià)的大小.理解全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的適用范圍是解題的

關(guān)鍵.

6.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC=8,8。=10,則”口）的面積為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【解析】

【分析】菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故八4。。的面積為對(duì)角線的一半的乘積的4.

【詳解】?.?ABCD是菱形

AC±BD,AO=OC,BO=OD

△40。的面積

2

——X—X8X—X10

222

=10

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及三角形面積，理解△AOD是直角三角形是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，有4張形狀大小質(zhì)地均相同的卡片，正面印有速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺四種不同的圖案,

背面完全相同，現(xiàn)將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的卡片正面怡好是

冰壺項(xiàng)目圖案的概率是（）

【答案】A

【解析】

【分析】事件所有可能的結(jié)果有4種，抽出的卡片正面恰好是冰壺項(xiàng)目圖案的結(jié)果有1種，據(jù)此利用概率公

式求解即可.

【詳解】事件所有可能的結(jié)果有4種，抽出的卡片正面恰好是冰壺項(xiàng)目圖案的結(jié)果有1種，所以抽出的卡片

正面怡好是冰壺項(xiàng)目圖案的概率是1.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等可能事件的概率，根據(jù)概率計(jì)算公式，必須知道所有可能的結(jié)果及事件發(fā)生的結(jié)果.

8.下列計(jì)算正確的是（）

A.6+幣=回B.3+近=34C.73x77=721D.277-2=77

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算性質(zhì)求解，逐項(xiàng)分析即可

【詳解】A.6+J7,不是同類(lèi)二次根式，不能合并，不符合題意；

B.3+近，不是同類(lèi)二次根式，不能合并，不符合題意；

c.6xJ7==符合題意;

D.2近-2，不是同類(lèi)二次根式，不能合并，不符合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的乘法法則，是解題的關(guān)鍵.

9.某校九年級(jí)進(jìn)行了3次數(shù)學(xué)模擬考試，甲、乙、丙三名同學(xué)的平均分為及方差片如右表所示，那么這三

名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)最檢定的是()

甲乙丙

X919191

S262454

A.甲B.乙C.丙D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】

【分析】先比較平均成績(jī)，當(dāng)平均成績(jī)一致時(shí)，比較方差，方差小的波動(dòng)小，成績(jī)更穩(wěn)定.

【詳解】甲、乙、丙的成績(jī)的平均分［都是91,故比較它們的方差，甲、乙、丙三名同學(xué)的方差分別為6,

24,54；故甲的方差是最小的，則甲的成績(jī)是最穩(wěn)定的.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了方差的意義，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則方差小的更穩(wěn)定，理解方差的意義是解題

的關(guān)鍵.

10.若一次函數(shù)y=+b的圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()

A.%>0B.b=2C.y隨x的增大而增大D.x=3時(shí)，y=0

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)圖像中過(guò)兩點(diǎn)(0,2),(4,0),求出一次函數(shù)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】首先將(0,2),(4,0)代入一次函數(shù)解析式丁二丘+〃，得

b=2

4Z+b=0'

L_l

解得彳=2,

b=2

所以解析式為y=—+2；

A、女〉0,由求出的左=一,，可知此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

B、h=2,由求出的h=2,可知此選項(xiàng)正確；

C、因?yàn)椋?lt;0,所以)，隨x的增大而減小，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤:

D、將43代入，^=--x3+2=-,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)丁=履+雙左#0)圖像的性質(zhì)和求一次函數(shù)解析式，熟練掌握函數(shù)圖像與函數(shù)解

析式中系數(shù)％,b的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

II.往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度

AB=24cm,則水的最大深度為()

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

【答案】B

【解析】

【分析】連接OA，過(guò)點(diǎn)。作OQ_LAB交A8于點(diǎn)C交。。于。，再根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得

出CD的長(zhǎng).

【詳解】解：連接04過(guò)點(diǎn)。作00,48交AB于點(diǎn)C交。。于￡>,

VOCLAB,由垂徑定理可知，

：.AC^CB=—AB=\2,

2

在RSAOC中，由勾股定理可知：

OC=-AC2=7132-122=5，

CD=0。-OC=13-5=8(cm),

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線，由此即可求解.

12.如圖所示，點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的刻度分別為1,3,5,將線段C4繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次

落在矩形8C0E的邊跳上時(shí)，記為點(diǎn)A',則此時(shí)線段C4掃過(guò)的圖形的面積為()

48

C.一冗D.-71

33

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可知，AC掃過(guò)的圖形為一個(gè)扇形，，半徑為4,求出？54c30,?BCA'60,再根據(jù)扇

形面積公式求解即可.

【詳解】解：由圖可知：AC=A,C=4,BC=2,

BC21

：.sin?BAC

A,C42

；.?BA'C30,?BCA'6(),

線段C4掃過(guò)的圖形為扇形，此扇形的半徑為C4=4,

&_60，/_8

。扇形ACT-360。04一32，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，讀懂題目明確AC掃過(guò)的圖形為一個(gè)扇形，且扇形的半徑為4是解決

本題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

13.如圖，直線a〃0,Nl=60。，則N2的度數(shù)是

【答案】60

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得Nl=/3,根據(jù)對(duì)頂角相等即可求得/2的度數(shù).

【詳解】如圖

.?./3=/1=60°

,ZZ2=Z3

Z2=60°

故答案為：60

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握這兩個(gè)性質(zhì)并熟練運(yùn)用是關(guān)鍵.

14.因式分/_1=.

【答案】（x+l）（x-l）.

【解析】

【詳解】原式=(x+l)(x—1).故答案為(x+l)(x—1).

考點(diǎn)：1.因式分解-運(yùn)用公式法；2.因式分解.

15.如圖，在數(shù)軸上表示x取值范圍是.

-101234

【答案】x>2

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知，表示尤的數(shù)在數(shù)2的右邊，且不等于2,因此即可判斷x的取值范圍.

【詳解】由數(shù)軸知：%>2,

故答案為：x>2.

【點(diǎn)睛】本題考查用不等式表示數(shù)軸上的數(shù)的范圍，體現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，要注意是實(shí)心點(diǎn)還是空心圓圈.

16.若長(zhǎng)度分別為3,4,。的三條線段能組成一個(gè)三角形，則整數(shù)。的值可以是.(寫(xiě)出一個(gè)即可)

【答案】5(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意知：4-3<?<4+3,即

整數(shù)?？扇?、3、4、5、6中的一個(gè)，

故答案為：5(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出第三邊a的取值范圍是解答的關(guān)鍵.

17.在x軸，y軸上分別截取。4=06,再分別以點(diǎn)A,8為圓心，以大于;48長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于

點(diǎn)P,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,2),則。的值是一

【答案】2或—2

【解析】

【分析】分P點(diǎn)在第一象限和第二象限分類(lèi)討論，由尺規(guī)作圖痕跡可知，P為NA0B的角平分線，由此得

到橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).

【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)位于第一象限時(shí)，如下圖所示：

由尺規(guī)作圖痕跡可知，0P為/AOB角平分線，此時(shí)尸點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等,

故。=2；

當(dāng)P點(diǎn)位于第二象限時(shí)，如下圖所示：

由尺規(guī)作圖痕跡可知，0P為/AOB角平分線，此時(shí)尸點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

故a=-2；

，。的值是2或-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，屬于基礎(chǔ)題，本題要注意考慮P點(diǎn)在第一象限和第二象限這兩

種情況.

18.如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例數(shù))，=幺(%>0)的圖像交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以C(2,0)為圓心，

3

半徑為1的。。上，N是A"的中點(diǎn)，已知。N長(zhǎng)的最大值為二，則k的值是.

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意得出ON是的中位線，所以O(shè)N取到最大值時(shí)，也取到最大值，就轉(zhuǎn)化為研

究也取到最大值時(shí)上的值，根據(jù)氏C"三點(diǎn)共線時(shí)，3M取得最大值，解出8的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)

即可求解.

【詳解】解：連接BM，如下圖：

???QN分別是A&AM的中點(diǎn)，

是AAAW的中位線，

ON=-BM,

2

3

已知ON長(zhǎng)的最大值為一，

2

此時(shí)的3M=3,

顯然當(dāng)民CM三點(diǎn)共線時(shí)，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM^BC+l^3,

/.BC=2,

設(shè)8（1,力），由兩點(diǎn)間的距離公式：水;="-2）2+4產(chǎn)2,

.??（，—2>+4/=4,

4

解得：。=112=°（取舍），

./8

48k

將5（不?代入y=、（k>0）,

32

解得：k=—,

25

32

故答案是：—

25

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角形的中位線、圓，研究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中線段最大值問(wèn)題，解

題的關(guān)鍵是：根據(jù)中位線的性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想，研究取最大值時(shí)女的值.

三、解答題(本大題共8小題，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

19.計(jì)算：卜3|一次+1

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義及算術(shù)平方根的定義即可解決.

【詳解】原式=3-3+1

=1

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的定義、算術(shù)平方根的定義及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值和算術(shù)平方根的

定義.

20.解分式方程：,=:一

xx+3

【答案】x=3

【解析】

【分析】?jī)蛇呁艘詘(x+3),轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解即可

【詳解】解：去分母得：

x+3-2x

解得x=3

檢驗(yàn)：將x=3代入原方程的分母，不為0

x=3為原方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握分式方程的求解方法是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C,從點(diǎn)C不經(jīng)過(guò)池塘可以直接

到達(dá)點(diǎn)A和B,連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)。，使C￡)=C4,連接BC并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使CE=CB,連接QE，

那么量出。E的長(zhǎng)就是A、B的距離，為什么？請(qǐng)結(jié)合解題過(guò)程，完成本題的證明.

ED

證明：在AOEC和AABC中,

CD=_______

V

CE=_______

^DEC^ABC(SAS)

【答案】CA,ZDCE^ZACB,AB,ED=AB

【解析】

【分析】根據(jù)證明步驟填寫(xiě)缺少的部分，從證明三角形全等的過(guò)程分析，利用了“邊角邊”，缺少角相等,

填上一對(duì)對(duì)頂角，最后證明結(jié)論，依題意是要證明。=45.

【詳解】證明：在ADEC和△ABC

CD^CA

<ZDCE=ZACB

CE^AB

：.ADEC'ABC(%S)

；?ED=AB

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的證明過(guò)程，“邊角邊”兩邊夾角證明三角形全等，熟悉三角形全等的證

明方法是解題的關(guān)鍵.

22.如今，柳州螺蝴粉已經(jīng)成為名副其實(shí)的“國(guó)民小吃”，螺蜘粉小鎮(zhèn)對(duì)A、B兩種品牌的螺獅粉舉行展銷(xiāo)

活動(dòng).若購(gòu)買(mǎi)20箱A品牌螺獅粉和30箱8品牌螺蜘粉共需要4400元，購(gòu)買(mǎi)10箱A品牌螺蜘粉和40箱B

品牌螺蝴粉則需要4200元.

(1)求A、8品牌螺獅粉每箱售價(jià)各為多少元？

(2)小李計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A、B品牌螺蜘粉共100箱，預(yù)算總費(fèi)用不超過(guò)9200元，則A品牌螺蛔粉最多購(gòu)買(mǎi)多少

箱？

【答案】(1)A品牌螺蛔粉每箱售價(jià)為100元，8品牌螺蛔粉每箱售價(jià)為80元；(2)60箱

【解析】

【分析】(1)設(shè)A品牌螺獅粉每箱售價(jià)為X元，8品牌螺蝴粉每箱售價(jià)為V元，根據(jù)兩種購(gòu)買(mǎi)方式建立方

程組，解方程組即可得；

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)A品牌螺鯽粉為。箱，從而可得購(gòu)買(mǎi)8品牌螺蜘粉為(100-。)箱，再根據(jù)“預(yù)算總費(fèi)用不超

過(guò)9200元”建立不等式，解不等式，結(jié)合。為正整數(shù)即可得.

【詳解】解：(1)設(shè)A品牌螺蝴粉每箱售價(jià)為X元，3品牌螺蝴粉每箱售價(jià)為y元，

20x+30y=4400

由題意得:

1Ox+40），=4200

x=100

解得

y=80

答：A品牌螺獅粉每箱售價(jià)為100元，B品牌螺蝴粉每箱售價(jià)為80元;

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A品牌螺蜘粉為。箱，則購(gòu)買(mǎi)3品牌螺蜿粉為（1（川一。）箱,

由題意得：100a+80（100-4）49200,

解得aW60,

答：A品牌螺蝴粉最多購(gòu)買(mǎi)60箱.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式是解題關(guān)

鍵.

23.為迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開(kāi)展了以“不忘初心，緬懷先烈”為主題的讀書(shū)活動(dòng)，學(xué)校政教

處對(duì)本校七年級(jí)學(xué)生五月份“閱讀該主題相關(guān)書(shū)籍的讀書(shū)量”（下面簡(jiǎn)稱(chēng)“讀書(shū)量”）進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)

查，并對(duì)所有隨機(jī)抽取學(xué)生的“讀書(shū)量”（單位：本）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如下圖所示.

（1）補(bǔ)全下面圖1的統(tǒng)計(jì)圖；

（2）本次所抽取學(xué)生五月份“讀書(shū)量”的眾數(shù)為；

（3）已知該校七年級(jí)有1200名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校七年級(jí)學(xué)生中，五月份“讀書(shū)量”不少于4本的學(xué)生人

數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3本；（3）360人

【解析】

【分析】（1）求出抽取的總?cè)藬?shù)，即可算出讀書(shū)量為4本的人數(shù)，從而能夠?qū)l形圖補(bǔ)充完整：

（2）從補(bǔ)全的條形圖中即可解決；

(3)求出樣本中讀書(shū)量不少于4本的人數(shù)占抽取人數(shù)的百分比，從而估計(jì)出總體中讀書(shū)量不少于4本的人

數(shù)占總體的百分比，進(jìn)而問(wèn)題可解.

【詳解】(1)I?讀書(shū)量1本的人數(shù)為5人，占抽取人數(shù)的10%,

.??抽取人數(shù)為：5+10%=5()(人).

???讀書(shū)量為4本的人數(shù)為：

50-(5+10+20+5)=50-40=10(人).

...圖1補(bǔ)充完整如下：

(2)?.?讀書(shū)量為3本的人數(shù)最多,

抽取學(xué)生五月份讀書(shū)量的眾數(shù)為3本.

故答案為：3本

(3)?.?樣本中讀書(shū)量不少于4本的人數(shù)的百分比為：100%=30%,

A12(X)x30%=360(A).

答：估計(jì)七年級(jí)學(xué)生中讀書(shū)量不少于4本的學(xué)生人數(shù)為360人.

【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、用樣本估計(jì)總體等知識(shí)點(diǎn)，從不同的統(tǒng)計(jì)

圖中提取相對(duì)應(yīng)的信息是解題的基礎(chǔ)，熟知用樣本估計(jì)總體的數(shù)學(xué)思想方法是關(guān)鍵.

24.在一次海上救援中，兩艘專(zhuān)業(yè)救助船A8同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息，已知此時(shí)救助船3在A的

正北方向，事故漁船尸在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船3的西南方向上，且事故漁船P與救助

船A相距120海里.

(1)求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離；

(2)若救助船A,5分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船尸處搜救,

試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá).

【答案】（1）收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船3之間的距離為60底海里；（2）救助船5先到達(dá).

【解析】

【分析】（1）如圖，作PC_LAB于C,在aPAC中先求出PC的長(zhǎng)，繼而在△PBC中求出BP的長(zhǎng)即可;

（2）根據(jù)“時(shí)間=路程+速度”分別求出救助船A和救助船B所需的時(shí)間，進(jìn)行比較即可.

【詳解】（1）如圖，作PC_LAB于C,

則NPC4=NPC8=9（r，

由題意得：24=120海里，ZA=30>NBPC=45：

；?。。=」尸4=60海里，ABC尸是等腰直角三角形，

2

?*-3C=PC=60海里，PB=y/pC2+BC2=6（）72海里，

答：收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為60及海里；

北

（2）；PA=120海里，28=60底海里，救助船A6分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā),

120

，救助船A所用的時(shí)間為——=3（小時(shí)），

40

救助船B所用的時(shí)間為竺也=2&（小時(shí)）,

30

,：3>2叵，

救助船3先到達(dá).

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定,

勾股定理的應(yīng)用等，熟練正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，四邊形ABCO中，AD//BC,AD1AB,ADAB^l,DC,以A為圓心，AD為半徑作

圓，延長(zhǎng)CO交OA于點(diǎn)凡延長(zhǎng)DA交OA于點(diǎn)E,連結(jié)8/，交DE于點(diǎn)G.

（1）求證：8c為0A的切線;

（2）求cosNEDb的值；

（3）求線段3G的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）拽；（3）遮

53

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，證明/ABC=90。即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得NEDF=NBCD,過(guò)點(diǎn)。作。垂足為“，在直角三角形8”中，根據(jù)

三角函數(shù)的定義計(jì)算即可；

（3）過(guò)A作A/LPC于點(diǎn)J,證明后利用勾股定理計(jì)算即可

【詳解】（1）證明：VAD//BC,AD±AB,

ZCBA=ZBAD=90°

?/AB=AD=1

...CB是0A的切線

(2)過(guò)。作Z)”_L3C于H,

???AB±BC,DH±BC

：.AB//DH

/.四邊形A3”。為平行四邊形

DH=AB=1,BH=AD=1,NEDF=NC

在中，ZDHC=90°,DH=l,DC=>/5

HC=yJCD2-DH2=V5^1=2,

BC=BH+HC=3,

廠HC22r-

：.cosZ.EDF=cosZC=----=—F==75

DCy/55

(3)過(guò)A作A/_!FC于點(diǎn)J,

：.FJ=JD

在中，ZAJD=90°,A￡>=1

JO=ADcosZAW=1|石=|石

FD=2JDJ小

FD:FC^FD:(FD+DC)=4:9

ED//BC

AFGD^AFBC

.GDFD4

?,---=

BC~FC~9

4

/.GD—，

3

AG=GD-AD=-

3

RtMJAB中,ZGAB=90°,AG=-,AB=\

3

BG=\lAG2+AB2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，垂徑定理，三角形相似，勾股定理，熟練掌握切線的判定，靈活運(yùn)用勾

股定理，垂徑定理，三角形相似是解題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，已知拋物線：丁=奴2+笈+。交》軸于4(-1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)。］。，-|)

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,點(diǎn)力為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接0。，過(guò)點(diǎn)B作垂足為E,若BE=2OE,

求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,交.BC于點(diǎn)、N,連接8M，記入8肱7的面積

為S\,AABN的面程為邑，求寸的最大值.

13Q

【答案】(1)y=—x2—X—；(2)(3)一

2216

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解拋物線的函數(shù)解析式即可；

(2)先根據(jù)8E=2OE和勾股定理求得0后=X5，BE二正,過(guò)點(diǎn)E做7F平行于0B交y軸于7，

55

3BE6

易證AETOSAOEB,利用相似三角形的性質(zhì)求得=0T=-^^~,進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，求得直

線0E的解析式，和拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)延長(zhǎng)3c于至點(diǎn)F,使AE〃y軸，過(guò)A點(diǎn)作AHLBP于點(diǎn)”，作MT〃y軸交于點(diǎn)T,過(guò)M點(diǎn)

作尸于點(diǎn)。，證明△AFHSAMTD，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得

S.MDMT(13、

肅二二77二二方，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而可求得AF,設(shè)M蒼彳2--尤-彳，則

S,AHAFI22J

<9

X+-

\8根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求的MT的最大值，進(jìn)而

\

S.

可求得吩的最大值.

【詳解】解：(1)依題意，設(shè)y=a(x+l)(x—3),

代入得：1.(-3)=--