2022-2023學(xué)年吉林省長春五十二中九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年吉林省長春五十二中九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（共8小題，每小題3分，總計24分）

1.下列二次根式中，是最簡次根式的是（）

A.V25B.V26C.V27D.V28

2.將方程2/=3X+5化成一般形式，其一次項系數(shù)是（）

A.5B.-5C.-3D.3

3.下列語句所描述的事件中，是不可能事件的是（）

A.一歲一枯榮B.鋤禾日當(dāng)午C.手可摘星辰D.舉頭望明月

4.小明沿著坡比為1：娟的山坡向上走了300m,則他升高了（)

A.100V3mB.150mC.100衣機(jī)D.100/w

5.如圖，在中，ZACB=90°,。是AB的中點(diǎn)，過。點(diǎn)作A8的垂線交AC于

4

點(diǎn)、E,AC=16,cosA=/，則?！隇?)

5

A.—B.10C.—D.15

22

6.如圖，是OO的直徑，CD_L48于E,CZ)=30,BE=9,貝UAB為()

A.17B.30C.34D.36

7.如圖，在△ABC中，AB=BC=\3,8〃平分/ABC交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)產(chǎn)在8C上，且BF

=5,連接AF,E為AP的中點(diǎn)，連接。E,則的長為（

A

A.3B.4C.5D.6

8.已知二次函數(shù)尸辦2+法+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=bx+〃與反比例函數(shù)尸生也!￡

X

在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

二、填空題（共6小題，每小題3分，總計18分）

9.計算-

10.若關(guān)于x的方程2x2+2x-1=0的判別式的值是.

11.一個扇形的弧長是3n,面積是12m則此扇形的半徑是

12.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，已將部分小正方形涂上陰影，有一個小蟲落到網(wǎng)格中,

那么小蟲落到陰影部分的概率是

13.如圖，在△ABC中，ZC=90°,/B=30°,AC=3.若點(diǎn)尸是8C邊（不包含BC）

上任意一點(diǎn)，則AP的長的取值范圍是

A

14.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把這樣的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”.如:

A(1,0),B(-3,2)都是“整點(diǎn)”，拋物線>=。尤2_2"+a+2(。<0)與x軸交于P,

Q兩點(diǎn)，若該拋物線在尸、Q之間的部分與線段PQ所圍的區(qū)域(不包括邊界)恰有3

個整點(diǎn)，則。的取值范圍是.

三、解答題(共10小題，總計78分)

15.計算：(1)V27-2sin60°+tan30°+(蔣)'

(2)解方程：3(x-3)=(x-3)2.

16.有兩個不透明的布袋A、B,分別裝有3個小球，布袋A中的小球分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,

2,布袋8中的小球分別標(biāo)有數(shù)字-2,1,1,它們除數(shù)字不同外其他均相同.從布袋A、

B中各隨機(jī)摸出一個小球，用畫樹狀圖(或列表)的方法，求摸出的兩個小球的數(shù)字之

和是正數(shù)的概率.

17?點(diǎn)C是。。的直徑84延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在上，ZCDA=ZB.

(1)求證：直線CD與相切.

(2)若AC=AO=1,則圖中陰影部分的面積為.

18.圖①、圖②、圖③均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形

邊長為1,點(diǎn)A、B、C、D、E、尸均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的

直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法.

圖①圖②圖③

（1）在圖①中以線段AB為邊畫個中心對稱四邊形A8GH,使其面積為9；

（2）在圖②中以線段C。為邊畫一個軸對稱四邊形CDWN,使其面積為10；

（3）在圖③中以線段以'為邊畫一個四邊形EFPQ,使其滿足僅有一對對角都為直角.

19.如圖，依靠一面長18米的墻，用34米長的籬笆圍成一個矩形場地花圃ABC。，AB邊

上留有2米寬的小門EF（用其他材料做，不用籬笆圍）.

（1）設(shè)花圃的一邊長為x米,請你用含x的代數(shù)式表示另一邊CD的長為米;

（2）當(dāng)矩形場地面積為160平方米時，求的長.

墻一

DC

?41----------1I--------'B

EF

20.如圖，在平行四邊形A8CD中，點(diǎn)E,E分別在A。，8C上，且ED=BF,連接AF,

CE,AC,EF,且AC與￡尸相交于點(diǎn)。.

（1）求證：四邊形A尸CE是平行四邊形；

（2）若AC平分/FAE,AC=8,tanZZ）AC=—,求四邊形AFCE的面積.

21.“足球運(yùn)球”是中考體育必考項目之一.某校為了解今年九年級學(xué)生足球運(yùn)球的掌握情

況，隨機(jī)抽取部分九年級學(xué)生足球運(yùn)球的測試成績作為一個樣本，按A、B、C、D四個

等級進(jìn)行統(tǒng)計，制成了如下不完整的統(tǒng)計圖.（說明：A級:80分-100分，B級：70

分-79分，C級：60分-69分，D級:10分-59分）

根據(jù)所給信息，解答以下問題：

（1）在扇形統(tǒng)計圖中，。對應(yīng)的扇形的圓心角是度.

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（3）所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測試成績的中位數(shù)會落在級.

（4）該校九年級有450名學(xué)生，請估計足球運(yùn)球測試成績達(dá)到A級的學(xué)生有多少人?

條形統(tǒng)計圖

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

22.

點(diǎn)是點(diǎn)E,連結(jié)EC交于點(diǎn)連結(jié)。E,DE//AC.

【問題應(yīng)用】如圖②，在矩形ABC。中，若/ACB=30°,將△ABC沿著AC折疊得到

△AEC,點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連結(jié)EC交A。于點(diǎn)H,連結(jié)。E,當(dāng)DE=2時，則AO

【問題拓展】如圖③，在矩形ABC。中，A8=2,點(diǎn)F為8C邊上一動點(diǎn)，將△A8F沿

著A尸折疊得到點(diǎn)3與點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)。E.

(1)若NAF8=30°,時，則A。

(2)在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，取。E的中點(diǎn)P,連結(jié)CP,若4。=4時，直接寫出CP的

最小值.

圖②

△ABC的面積為30,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接B。，動點(diǎn)

尸由點(diǎn)A以每秒5個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，連接PD以PD,0c為邊作平行四邊形

PDCQ,設(shè)平行四邊形如CQ與△ABC的重疊部分面積為S,點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為人

(1)tanZBCA

(2)求點(diǎn)Q落在BC上時t的值,

（3）在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

（4）若點(diǎn)A關(guān)于尸。的對稱點(diǎn)為山，當(dāng)點(diǎn)火與點(diǎn)A或點(diǎn)C連線平分△ABC的面積時,

直接寫出f的值.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-爐+a+c"、c是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）.點(diǎn)

A在拋物線上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為相，點(diǎn)3、C為拋物線與無軸的交點(diǎn)（點(diǎn)2在點(diǎn)C的

左側(cè)）.

（1）求b、c的值.

（2）當(dāng)AABC的面積為1時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)時，-30W1,則m的取值范圍為；

（4）過點(diǎn)B作x軸的垂線/,過點(diǎn)A作于點(diǎn)尸，點(diǎn)Q在直線/上，且點(diǎn)。的縱坐

標(biāo)為2-〃7,以AP、P。為邊作矩形AP?！?，當(dāng)拋物線在矩形APQ”內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y

隨尤的增大而增大時，或者y隨尤的增大而減小時，直接寫出機(jī)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共8小題，每小題3分，總計24分）

1.下列二次根式中，是最簡次根式的是（）

A.V25B.V26C.V27D.V28

【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能

開得盡方的因數(shù)或因式；依次進(jìn)行判斷即可.

解：4俸=5,不符合題意；

B、體是最簡二次根式，符合題意；

C、727=3^/"^,不符合題意；

。?小羽=2曲，不符合題意?

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查最簡二次根式，熟練掌握二次根式的化簡方法，最簡二次根式的形式

是解題的關(guān)鍵.

2.將方程2x2=3x+5化成一般形式，其一次項系數(shù)是（）

A.5B.-5C.-3D.3

【分析】要確定一次項系數(shù)和常數(shù)項，首先要把方程化成一般形式.

解：?方程2N=3x+5化成一般形式是2N-3尤-5=0,

一次項系數(shù)為-3.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax^+bx+c

=0b,c是常數(shù)且aWO）特別要注意a#0的條件.這是在做題過程中容易忽視的

知識點(diǎn).在一般形式中依2叫二次項，桁叫一次項，C是常數(shù)項.其中a,b,c分別叫二

次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.C

3.下列語句所描述的事件中，是不可能事件的是（）

A.一歲一枯榮B.鋤禾日當(dāng)午C.手可摘星辰D.舉頭望明月

【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的定義對各選項進(jìn)行分析即可.

解：A、一歲一枯榮是必然事件，故本選項不符合題意；

8、鋤禾日當(dāng)午是是隨機(jī)事件，故本選項不符合題意；

C、手可摘星辰是不可能事件，故本選項符合題意；

。、舉頭望明月是隨機(jī)事件，故本選項不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是隨機(jī)事件，熟知在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，

稱為隨機(jī)事件是解題的關(guān)鍵.

4.小明沿著坡比為1：次的山坡向上走了300〃z,則他升高了（）

A.lQoV3mB.150機(jī)C.10QV2ZMD.100/71

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由坡度為1：風(fēng),可求得坡角NA=30°,又由小明

沿著坡度為1：百的山坡向上走了300m,根據(jù)直角三角形中，30°所對的直角邊是斜

邊的一半，即可求得答案.

解：如圖，過點(diǎn)B作8ELAC于點(diǎn)E,

:坡度：，=1：a，

；.tanNA=l：

/.ZA=30°,

'：AB=300m,

AB=150(m).

2

...他升高了150m.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了坡度坡角問題，注意能構(gòu)造直角三角形并用解直角三角形的知識求

解是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是AB的中點(diǎn)，過。點(diǎn)作A8的垂線交AC于

點(diǎn)E,AC=16,COSA=4;則。石為（）

5

CEA

25

B.10D.15

~2

AC4

【分析】由cosA=?=W,AC=16,求出A8長，再由△AOES/^ACB,即可求出?！?/p>

AB5

的長.

解：,.,cosA=^^=邑，AC—16,

AB5

：.AB=20,

???△AC8是直角三角形，

???BC=VAB2-AC2=V202-162=12，

是AB的中點(diǎn)，

：.AD=-AB=10,

2

VZBAC=ZDAE,ZC=ZEDA=90°,

AADE^AACB,

:.DE：BC=AD：AC,

：.DE：12=10：16,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由NA的余弦定義

求出AB長，再由得到。E長.

6.如圖，A3是。。的直徑，COLAB于E,C￡>=30,BE=9,則A2為（）

A.17B.30C.34D.36

【分析】連接0C,設(shè)O。的半徑是r,由垂徑定理得到CE的長，由勾股定理列出關(guān)于

半徑的方程，即可求解.

解：連接。C,

A

設(shè)OO的半徑r,

:直徑AB_LCO,

.\C￡=—C￡>=15,

2

,.,CfOACE2,

...產(chǎn)=(r-9)2+152,

r—17,

；.48=2廠=34.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是連接0C,應(yīng)用垂徑定理，勾股定理列出

關(guān)于半徑的方程.

7.如圖，在△ABC中，A8=8C=13,8。平分NA8C交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在8C上，且8/

=5,連接AF,E為AE的中點(diǎn)，連接QE,則。E的長為()

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AD=DC,根據(jù)三角形中位線定理計算得到答

案.

解：VBC=13,BF=5,

：.FC=BC-BF=13-5=8,

\'AB=BC,8。平分/ABC,

：.AD=DC,

*：AE=EFf

???DE是尸。的中位線，

/.￡>￡=—FC=—X8=4.

22

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于

第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

8.已知二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)尸bx+a與反比例函數(shù)殳蛆?

x

在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

【分析】直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出。，b,C的取值范圍，進(jìn)而利用一次函

數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得出答案.

解：，?,二次函數(shù)y=QN+bx+c的圖象開口向上，

??,該拋物線對稱軸位于y軸的右側(cè)，

工。、b異號,即Z?<0.

?.,當(dāng)x=l時，y<0,

a+b+c<0.

???一次函數(shù)丁="+。的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

反比例函數(shù)丫=""的圖象分布在第二、四象限，

X

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，正確把握相關(guān)性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，總計18分）

9.計算aX幣=_?一

【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則計算得出答案.

解：V6xV7=V42.

故答案為：J42?

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

10.若關(guān)于x的方程2%2+本-1=0的判別式的值是12.

【分析】根據(jù)根的判別式△=浮-4℃計算即可.

解：：一元二次方程2/+2x-1=0的二次項系數(shù)a=2,一次項系數(shù)b=2,常數(shù)項c=-

1,

A=62-4ac=4+8=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的根的判別式.注意判別式A=〃-4ac中的字母所表

示的意義.

11.一個扇形的弧長是3皿面積是12m則此扇形的半徑是8.

【分析】扇形的半徑為廣，則根據(jù)題意得出/xrX3TT=12m再求出廠即可.

解：設(shè)扇形的半徑為廠，

則根據(jù)題意得：XrX3Tt=12n,

解得：r=8,

即扇形的半徑為8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積計算和弧長公式，能熟記扇形的面積公式是解此題的關(guān)

2

鍵，注意：①圓心角為,半徑為r的扇形的面積5=史￡,②圓心角為,半徑

360

為r的弧長是三蕓.

180

12.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，已將部分小正方形涂上陰影，有一個小蟲落到網(wǎng)格中，

那么小蟲落到陰影部分的概率是4?

一4一

【分析】分別求出正方形的總面積和陰影部分的面積，用陰影部分的面積除以總面積即

可得出概率.

解：小蟲落到陰影部分的概率=4：=3，

4X44

故答案為：-y.

【點(diǎn)評】本題考查的是幾何概率，用到的知識點(diǎn)是概率公式，求出黑色方格在整個方格

中所占面積的比值是本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在△ABC中，NC=90°,NB=3O°,AC=3.若點(diǎn)P是邊（不包含BC）

上任意一點(diǎn)，則AP的長的取值范圍是3VAp<6.

【分析】由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出的長，即可解

決問題.

解：VZC=90°,ZB=30°,

：.AC=—AB,AC=3,

2

：.AB=6,

\'AC<AP<AB,

：.AP的長的取值范圍是3VAp<6.

故答案為：3VAp<6.

【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握含30。角的直角三角形的性質(zhì).

14.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把這樣的點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”.如:

A(1,0)、B(-3,2)都是“整點(diǎn)”,拋物線y=aN-2"+a+2(a<0)與x軸交于P,

Q兩點(diǎn)，若該拋物線在尸、Q之間的部分與線段PQ所圍的區(qū)域(不包括邊界)恰有3

個整點(diǎn)，則a的取值范圍是-.

-----------4-

【分析】畫出圖象，找到該拋物線在P、。之間的部分與線段尸。所圍的區(qū)域(不包括邊

界)恰有3個整點(diǎn)的邊界，利用與y交點(diǎn)位置可得a的取值范圍.

解：拋物線>=辦2-2ar+a+2(a<0)化為頂點(diǎn)式為y=a(x-1)2+2,

...函數(shù)的對稱軸：尤=1,

和。兩點(diǎn)關(guān)于x=l對稱，

根據(jù)題意，拋物線在尸、。之間的部分與線段P。所圍的區(qū)域(不包括邊界)恰有3個整

點(diǎn)，這些整點(diǎn)是(0,1),(1,1),(2,1),

如圖所示：

,當(dāng)尤=0時，y—a+2,

：.\<a+2<2,

當(dāng)x=-1時，y=4a+2Wl,

即」1〈笠<4

Ua+2<1

解得：-1<aW--y

4

故答案為：-l<aW--y.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線與X軸的交點(diǎn)、配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法等知識，利

用函數(shù)圖象確定與y軸交點(diǎn)位置是本題的關(guān)鍵.

三、解答題(共10小題，總計78分)

15.計算：(1)V27-2sin60°+tan30°+([)'

（2）解方程：3（x-3）=（x-3）2.

【分析】（1）原式利用二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)塞法則計算

即可求出值.

（2）利用因式分解法求解即可.

解：（1）原式=3我-2X浮+華-2

23

=3我-百+烏-2

=也-2；

3

⑵3（尤-3）=（尤-3）2,

3（尤-3）-（x-3）2=0,

（x-3）（3-元+3）=0,

'.x-3=0或6-x=0,

■.xi=3,X2~~6.

【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法

則是解本題的關(guān)鍵.

16.有兩個不透明的布袋A、B,分別裝有3個小球，布袋A中的小球分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,

2,布袋8中的小球分別標(biāo)有數(shù)字-2,1,1,它們除數(shù)字不同外其他均相同.從布袋4、

B中各隨機(jī)摸出一個小球，用畫樹狀圖（或列表）的方法，求摸出的兩個小球的數(shù)字之

和是正數(shù)的概率.

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果數(shù)，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求

解即可.

解：列表如下：

-102

-2-3-20

1013

1013

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個小球的數(shù)字之和是正數(shù)的有4種結(jié)果,

所以摸出的兩個小球的數(shù)字之和是正數(shù)的概率為?1.

9

【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

17.點(diǎn)C是。。的直徑8A延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)。在。。上，ZCDA=ZB.

(1)求證：直線與。。相切.

(2)若AC=AO=1,則圖中陰影部分的面積為叵三.

~26—

【分析】(1)連接。證明/4。。=90°,再根據(jù)切線的判定定理證明直線C￡)與。。

相切；

(2)先證明△AOD是等邊三角形，求得/人。。=60°,由勾股定理求出CD的長，由S

陰影=S/\COD-S扇形AOQ求出陰影部分圖形的面積.

：.ZODB=ZB,

9

：ZCDA=ZBf

：.ZODB=ZCDA,

???A8是OO的直徑，

AZADB=90°,

：.ZODC=ZCDA+ZODA=ZODB+ZODA=ZADB=90°,

??,0。是。0的半徑，且CDJ_O。，

???直線8與。。相切.

(2)解：\9AC=AO=—CO=l

2f

???CO=2AO=2f

VZCDO=90°,

：.AD=—C0^1,

2

：.AD=AO^DO^1,

..?OO的半徑為1,

「△AOD是等邊三角形，

/.ZAOZ)=60°,

??。=如2-12=如,

陰影=底的-S序形AS=春義我X1-60X7TX工,

236026

???圖中陰影部分的面積為匹工.

26

故答案為：返

26

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查切線的判定、扇形的面積計算等知識與方法，解題的關(guān)鍵是連接

。。并證明CC。。.

18.圖①、圖②、圖③均是6義6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形

邊長為1,點(diǎn)A、B、C、。、E、產(chǎn)均在格點(diǎn)上.在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的

直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫出畫法.

(1)在圖①中以線段AB為邊畫個中心對稱四邊形A8G8,使其面積為9；

(2)在圖②中以線段C。為邊畫一個軸對稱四邊形CDWN,使其面積為10；

(3)在圖③中以線段EF為邊畫一個四邊形￡尸產(chǎn)°,使其滿足僅有一對對角都為直角.

【分析】(1)作出底為3,高為3的平行四邊形即可.

(2)作出邊長為的正方形即可.

(3)作出/FE0=NFP0=9O°的四邊形即可.

解：(1)如圖，四邊形48GH即為所求.

(2)如圖，四邊形即為所求.

(3)如圖，四邊形EFPQ即為所求.

圖①圖②圖③

【點(diǎn)評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

19.如圖，依靠一面長18米的墻，用34米長的籬笆圍成一個矩形場地花圃ABC。，AB邊

上留有2米寬的小門EF(用其他材料做，不用籬笆圍).

(1)設(shè)花圃的一邊AD長為無米，請你用含尤的代數(shù)式表示另一邊CD的長為(36

-2x)米;

(2)當(dāng)矩形場地面積為160平方米時，求的長.

墻.

DC

?41----------1I--------'B

EF

【分析】(1)設(shè)尤米，則2C=AO=x米，利用的長=籬笆的長+門的寬-24,

即可用含x的代數(shù)式表示出的長；

(2)利用矩形的面積計算公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出尤的值，

再結(jié)合墻的長度為18米，即可確定A。的長.

解：(1)設(shè)AO=x米，貝!j5C=AZ)=x米，

???CZ)=34+2-2AZ)=34+2-2x=(36-2x)米.

故答案為：(36-2%)?

(2)依題意得：x(36-2%)=160,

化簡得：x2-18x+80=0,

解得：%i=8,X2=10.

當(dāng)％=8時，36-2x=36-2X8=20>18,不合題意，舍去；

當(dāng)％=10時，36-2x=36-2X10=16<18,符合題意.

答：AD的長為10米.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各邊

之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出C。的長；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次

方程.

20.如圖，在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)E,尸分別在A。，8c上，且連接

CE,AC,EF,且AC與所相交于點(diǎn)O.

（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若AC平分/FAE,AC=8,tanZDAC=—,求四邊形AECE的面積.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD=BC.AE//FC,根據(jù)等量減等量差相等，

得出AE=FC,從而證明四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）先證明平行四邊形A尸CE是菱形，根據(jù)三角函數(shù)求出EO=3,求出

EO=6,從而求出四邊形AFCE的面積.

【解答】（1）證明：?.?在平行四邊形A8C。中，

AD=BC.AE//FC,

\'ED=BF,

：.AD-ED=BC-BF,

：.AE=FC,

四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）解：\'AE//FC,

：.ZEAC=ZACF,

：.ZEAC=ZFAC,

：.ZACF^ZFAC,

：.AF=FC,

,/四邊形AFCE是平行四邊形,

平行四邊形AFCE是菱形，

：.AO=-AC=4,AC±EF,

2

Q

在RtZXAOE中，AO=4,tanZI>AC=-,

4

：.EO=3,

.,.SAA￡O=LO?EO=6,

2

S差形=4SAAEO=24.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，掌

握這幾個知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

21.“足球運(yùn)球”是中考體育必考項目之一.某校為了解今年九年級學(xué)生足球運(yùn)球的掌握情

況，隨機(jī)抽取部分九年級學(xué)生足球運(yùn)球的測試成績作為一個樣本，按A、B、C、。四個

等級進(jìn)行統(tǒng)計，制成了如下不完整的統(tǒng)計圖.（說明：A級：80分-100分，B級:70

分-79分，C級：60分-69分，。級：10分-59分）

根據(jù)所給信息，解答以下問題：

（1）在扇形統(tǒng)計圖中，。對應(yīng)的扇形的圓心角是86.4度.

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.

（3）所抽取學(xué)生的足球運(yùn)球測試成績的中位數(shù)會落在C級.

（4）該校九年級有450名學(xué)生，請估計足球運(yùn)球測試成績達(dá)到A級的學(xué)生有多少人？

條形統(tǒng)計圖

扇形統(tǒng)計圖

（2）求出C組人數(shù)即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；

（3）根據(jù)中位數(shù)的意義，確定處在第25、26位是什么等級即可;

（4）樣本估計總體，用450乘以A的百分?jǐn)?shù)即可.

解:(1)360°X24%=86.4.

故答案為：86.4.

(2)調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12-?24%=50,

C級的學(xué)生有50-3-15-12=20.

補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖如下圖：

條形統(tǒng)計圖

(3)中位數(shù)是第25和26的平均數(shù)，

，中位數(shù)會落在C等級，

故答案為：C.

(4)450X-^-=27(人)

DU

答：估計足球運(yùn)球測試成績達(dá)到A級的學(xué)生有27人.

【點(diǎn)評】考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的意義和制作方法，理解統(tǒng)計圖中各個數(shù)量之間

的關(guān)系是解決問題的前提.

22.【解決問題】如圖①，在。ABC。中，將△ABC沿著AC折疊得到△AEC,點(diǎn)8的對應(yīng)

點(diǎn)是點(diǎn)E,連結(jié)EC交AO于點(diǎn)”，連結(jié)。E,求證。E〃AC.

【問題應(yīng)用】如圖②，在矩形中，若/AC8=30°,將△ABC沿著AC折疊得到

△AEC,點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)￡,連結(jié)EC交A。于點(diǎn)X,連結(jié)。E,當(dāng)?！?2時，則

=-zM一?

【問題拓展】如圖③，在矩形A8CD中，A8=2,點(diǎn)尸為邊上一動點(diǎn)，將△A8F沿

著AF折疊得到△AEF,點(diǎn)8與點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)。E.

(1)若NAF8=30°,時，貝!|2^+2

(2)在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，取。E的中點(diǎn)P,連結(jié)CP,若AO=4時，直接寫出CP的

最小值.

【分析】【解決問題】由折疊可知，ZACB^ZACH,由平行四邊形的性質(zhì)可知，AD//

BC,AD=BC,所以所以所以AH=HC,易

證EH=DH,可得/HAC=/ADE,由此可得結(jié)論；

【問題應(yīng)用】因?yàn)镹ACB=30°,AD//BC,所以/￡>AC=30°,ZBAC=60°,由折疊

可知，ZEAC=ZBAC=60°,所以/EAD=30°,AB=AE=2,由（1）知DE//AC,

所以/ED4=/D4C=30°,則AE=Z）E,ZA￡D=120°,由此可得結(jié)論；

【問題拓展】（1）由題意可得/AOE=15°,ZEAD=30°,過點(diǎn)。作交AE

的延長線于點(diǎn)設(shè)。尤，AE+EM=djDM,所以2+X=J^X,解得了=向+1,

由此可得A。的長；

（2）如圖，延長。C至點(diǎn)N,使CN=CD,連接PC,EN,所以“=裝研，則當(dāng)硒最

小時，PC最小，由折疊可知，點(diǎn)E在以點(diǎn)A為圓心，4B長為半徑的圓上，連接AN,此

時4V與圓A的交點(diǎn)為點(diǎn)E',此時￡'N最短，根據(jù)勾股定理得出E'N的長即可.

【解答】【解決問題】證明：由折疊可知，ZACB=ZACH,

在平行四邊形ABCD中AD//BC,AD=BC,

：.ZDAC=ZACB,

：.ZACB=ZACH=ADAC,

：.AH=HC,

又；A￡)=BC,BC=CE,

：.AD=CE,

：.AD-AH=CE-CH,即EH=DH,

：.ZDEH=ZEDH,

：./EHD=ZAHC,

：.ZHAC=ZADE,

J.DE//AC；

【問題應(yīng)用】???NAQ5=3(T,AD//BC,

：.ZDAC=30°,ZBAC=60°,

由折疊可知，ZEAC=ZBAC=60°,

：.ZEAD=30°,AB=AE=2,

9：DE//AC,

：.ZEDA=ZDAC=30°,

：.AE=DE,ZAED=\20°,

??AZ)=AE=^V3,

故答案為：2y.

【問題拓展】(1)t：ZAFB=30°,AD//BC,

：.ZFAC=30°,ZBAF=60°,

由折疊可知，ZEAF=ZBAF=60°,

：.ZEAD=30°,A3=AE=2,

?：ZFAD=2ZADE,

：.ZADE=15°,

過點(diǎn)D作DMLAE交AE的延長線于點(diǎn)M,

：.ZDEM=45°,

：.ZMDE=45°,

:.DM=EM,

在中，ZMAD=30°,

：.AM=^/2DMf

設(shè)DM=EM=x,

?；AE+EM=aDM,

??2+x~~T3元9

，x=F+l，

：.AD=2DM=2(?+l)=2+2,即AD=2?+2；

故答案為：273+2；

(2)如圖，延長。。至點(diǎn)N,使CN=CD,連接尸C,EN,

??,點(diǎn)尸為即的中點(diǎn)，點(diǎn)。為ON的中點(diǎn)，

：.PC=—EN,

2

.?.當(dāng)EN最小時，PC最小，

由折疊可知，點(diǎn)￡在以點(diǎn)A為圓心，長為半徑的圓上，連接AN,此時AN與圓A的

交點(diǎn)為點(diǎn)皮，此時皮N最短，

在RtZXAON中，A￡>=4,DN=2,CD=2A2=4,

:.AN=A近,

：.E'N=AN-AE'=4&-2,

：.PC=^E'N=W(4/2-2)=272-1，

綜上，PC的最小值為2&-1.

【點(diǎn)評】本題屬于四邊形的綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的三邊關(guān)

系，翻折變換，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，將CP的長的最小值轉(zhuǎn)

化為皮N長的最小值.

23.在△ABC中，AB=AC=10,aABC的面積為30,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接8。，動點(diǎn)

P由點(diǎn)A以每秒5個單位的速度向點(diǎn)8運(yùn)動，連接PZ),以PD,OC為邊作平行四邊形

PDCQ,設(shè)平行四邊形PDCQ與△ABC的重疊部分面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t.

(1)tanZBCA—3；

(2)求點(diǎn)。落在上時/的值，

(3)在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)若點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為A',當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)A或點(diǎn)C連線平分△ABC的面積時,

直接寫出/的值.

【分析】(1)過B作BELAC交AC于E,根據(jù)A8=AC=10,△ABC的面積為30,求

出8E,根據(jù)勾股定理求出AE,即可得到CE,根據(jù)正切定義即可得到答案；

(2)點(diǎn)。落在BC上時，根據(jù)四邊形PDCQ是平行四邊形，得到尸0=Z)C=5,PQ//DC,

從而得到PB=PQ=5,最后根據(jù)路程=速度X時間即可得到

答案；

(3)當(dāng)尸運(yùn)動到A8中點(diǎn)之前重疊部分即為四邊形的面積，過P作PFLAC交AC于憶

根據(jù)BELAC,PFLAC,得至?。軧E〃PF,即可得到用t表示出尸尸即可

得到答案，當(dāng)尸運(yùn)動到A8中點(diǎn)之后如圖所示，同理可用t表示出尸尸，再根據(jù)PG〃AC,

即可得到△BPGS/VBAC,用f表示出PG即可得到答案；

(4)根據(jù)中線平分三角形面積，可得到兩種情況①A'剛好在BC中點(diǎn)上，根據(jù)平行四

邊形性質(zhì)即可得到答案，

②點(diǎn)A,在A2邊中線的延長線上，根據(jù)垂直平分的性質(zhì)即可得到答案.

解：⑴過8作BE_LAC交AC于E,

：A8=AC=10,△ABC的面積為30,

：.BE=6,

在RtAABE中根據(jù)勾股定理可得，AE=7AB2-BE2=V102-62=8,

；.CE=10-8=2,

tan/BCA=^J=3，

EC2

故答案為：3；

B

(2)由題意可得，

當(dāng)點(diǎn)。落在BC上時，

???四邊形PDCQ是平行四邊形，

：.PQ=DC=5,PQ//DC,

：.ZACB=ZPQB=AABC,

：.PB=PQ=5,

.'.AP=5,

.\t=5-i-5=l,

故答案為t=l；

(3)過尸作PJLLAC交AC于凡

當(dāng)P運(yùn)動到A3中點(diǎn)之前，即0W/W1,重疊部分即為四邊形的面積,

u：BELAC,PF_LAC,

：.BE//PF,

：.AAPF^AABE,

,APPF

??—，

ABBE

即解得