河北省秦皇島市啟明高級中學高三數學文測試題含解析

河北省秦皇島市啟明高級中學高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知實數滿足，則下列關系式恒成立的是（

）A．

B.C.

D.參考答案：【知識點】指數函數的圖像與性質．L4

【答案解析】A

解析：∵實數滿足，∴x＞y，A．當x＞y時，，恒成立，B．當x=π，y=時，滿足x＞y，但不成立．C．若，則等價為x2＞y2成立，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＞y2不成立．D．若，則等價為x2+1＜y2+1，即x2＜y2，當x=1，y=﹣1時，滿足x＞y，但x2＜y2不成立．故選：A．【思路點撥】本題主要考查不等式的大小比較，利用函數的單調性的性質是解決本題的關鍵．2.若兩個函數的圖象有一個公共點，并在該點處的切線相同，就說明這兩個函數有why點，已知函數f（x）=lnx和g（x）=ex+m有why點，則m所在的區(qū)間為（）A．（﹣3，﹣e） B．（﹣e，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，﹣2）參考答案：C【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】新定義；函數的性質及應用；導數的概念及應用．【分析】設f（x）和g（x）的公共點為（a，b），（a＞0），求導數，建立方程組，求得alna=1，確定a的范圍，再由m=﹣lna﹣a=﹣（a+）確定單調遞增，即可得到m的范圍．【解答】解：設f（x）和g（x）的公共點為（a，b），（a＞0），函數f（x）=lnx的導數為f′（x）=，g（x）=ex+m有的導數為g′（x）=ex+m，即有=ea+m，lna=ea+m，即為alna=1，令h（a）=alna﹣1，可得h（）=ln﹣1＜0，h（2）=2ln2﹣1＞0，即有＜a＜2，則m=﹣lna﹣a=﹣（a+）∈（﹣，﹣），而﹣＞﹣，故選C．【點評】本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，解題的關鍵是分離參數，確定函數的單調性，屬于中檔題．3.閱讀材料：空間直角坐標系O﹣xyz中，過點P（x0，y0，z0）且一個法向量為=（a，b，c）的平面α的方程為a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）=0；過點P（x0，y0，z0）且個方向向量為=（u，v，w）（uvw≠0）的直線l的方程為==，閱讀上面材料，并解決下面問題：已知平面α的方程為3x﹣5y+z﹣7=0，直線l是兩個平面x﹣3y+7=0與4y+2z+1=0的交線，則直線l與平面α所成角的大小為（）A．arcsin B．arcsin C．arcsin D．arcsin參考答案：A【考點】直線與平面所成的角．【分析】求出直線l的方向向量，平面α的法向量即可．【解答】解：∵平面α的方程為3x﹣5y+z﹣7=0，∴平面α的法向量可取平面x﹣3y+7=0的法向量為，平面4y+2z+1=0的法向量為，設兩平面的交線的方向向量為，由取，則直線l與平面α所成角的大小為θ，sinθ=|cos|=．∴，故選A．4.已知是第四象限角，，則（

）A.－5

B.5

C.－7

D.7參考答案：D【分析】先根據的正弦值和角所在的象限，求得的值，根據兩角差的正切公式求得所求表達式的值.【詳解】因為，且為第四象限角，則，，故選D.所以.【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查兩角差的正切公式，屬于基礎題.5.已知函數，且，若關于的方程有3個不同實根，則實數k的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C6.下列四種說法中，①命題“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“對于任意x∈R，x2﹣x＜0”；②命題“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；③已知冪函數f（x）=xα的圖象經過點（2，），則f（4）的值等于；④已知向量=（3，﹣4），=（2，1），則向量在向量方向上的投影是．說法錯誤的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】命題①是考查特稱命題的否定，特稱命題的否定是全稱命題；命題②先由“p且q為真”推出p、q的真假，然后判斷“p或q”的真假，反之再加以判斷；命題③直接把點的坐標代入冪函數求出α，然后在冪函數解析式中取x=4求值；命題④向量在向量的方向上的投影為：，即可得出結論．【解答】解：①命題“存在x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“對于任意x∈R，x2﹣x≤0”，故①不正確；②命題“p且q為真”，則命題p、q均為真，所以“p或q為真”．反之“p或q為真”，則p、q不見得都真，所以不一定有“p且q為真”所以命題“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件，故命題②不正確；③由冪函數f（x）=xα的圖象經過點（2，），所以2α=，所以α=﹣，所以冪函數為f（x）=，所以f（4）=，所以命題③正確；④∵向量=（3，﹣4），=（2，1），∴?=3×2+（﹣4）×1=2，||=，∴向量在向量的方向上的投影為：=，故④不正確．故選：C．7.已知某幾何體的三視圖如右圖所示，其中俯視圖是圓，且該幾何體的體積為；直徑為2的球的體積為．則A．

B． C．

D．參考答案：C8.不等式組的解集為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C 9.若展開式的常數項為（

）A.120

B.160

C.200

D.240參考答案：B10.《張丘建算經》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現有一月（按30天計），共織390尺布”，則該女最后一天織多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25參考答案：C【考點】88：等比數列的通項公式．【分析】設出等差數列的公差，由題意列式求得公差，再由等差數列的通項公式求解．【解答】解：設公差為d，由題意可得：前30項和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天織的布的尺數等于5+29d=5+29×=21．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等比數列中，若公比q=4，且前3項之和等于21，則該數列的通項公式__________．參考答案：略12.已知函數f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈，則f(x)的取值范圍是________．參考答案：13.如圖，在直三棱柱中，，

，，則異面直線與所成角的

大小是

（結果用反三角函數值表示）．參考答案：答案：解析：異面直線與所成角為，易求，。14.若復數在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數a=

．參考答案：1復數,在復平面內所對應的點在虛軸上，所以，解得.答案為：1.

15.若在△ABC中，，則△ABC的形狀為_________參考答案：等腰直角三角形略16.圓x2+y2=1的切線與橢圓+=1交于兩點A，B，分別以A，B為切點的+=1的切線交于點P，則點P的軌跡方程為．參考答案：

【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】設圓的切線方程為：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），則1+k2=b2，圓的切線PA、PB的方程分別為：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12、求出交點即點P的參數方程為﹣，利用1+k2=b2消去k、b【解答】解：設圓的切線方程為：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），則1+k2=b2，橢圓的切線PA、PB的方程分別為：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12，則PA，PB的交點的縱坐標yp=…代入3x1x+4y1y=12得PA，PB的交點的橫坐標xp=；即點P的參數方程為﹣，利用1+k2=b2消去k、b得，故答案為：．17.設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=2x+3y的最小值為

。參考答案：7略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1=AC=CB=．（1）證明：BC1∥平面A1CD；（2）求異面直線BC1和A1D所成角的大小；（3）當AB=時，求三棱錐C﹣A1DE的體積．參考答案：【考點】：棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角．【專題】：空間位置關系與距離．【分析】：（1）連接AC1與A1C相交于點F，連接DF，利用矩形的性質、三角形中位線定理可得：DF∥BC1，再利用線面平行的判定定理即可證明．（2）由（1）可得∠A1DF或其補角為異面直線BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．（3）利用面面垂直的性質定理可得：CD⊥平面ABB1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱錐C﹣A1DE的體積V=即可得出．（1）證明：連接AC1與A1C相交于點F，連接DF，由矩形ACC1A1可得點F是AC1的中點，又D是AB的中點，∴DF∥BC1，∵BC1?平面A1CD，DF?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（2）解：由（1）可得∠A1DF或其補角為異面直線BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈（0，π），∴∠A1DF=，∴異面直線BC1和A1D所成角的大小；（3）解：∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱錐C﹣A1DE的體積V===1．【點評】：本題考查了直三棱柱的性質、矩形的性質、三角形中位線定理、線面平行的判定定理、異面直線所成角、余弦定理、勾股定理、線面面面垂直的性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.（12分）已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且b2+c2=a2+bc，求：（1）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值；（2）若a=2，求△ABC周長的最大值．參考答案：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2﹣bc，結合余弦定理知cosA===，又A∈（0，π），∴A=，（4分）∴2sinBcosC﹣sin（B﹣C）=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sin[π﹣A]=sinA=；（6分）（2）由a=2，結合正弦定理得：====，∴b=sinB，c=sinC，（8分）則a+b+c=2+sinB+sinC=2+sinB+sin（﹣B）=2+2sinB+2cosB=2+4sin（B+），（12分可知周長的最大值為6．20.（本小題滿分10分）【選修4—4：坐標系與參數方程】在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數），為上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為，與的異于極點的交點為，求．參考答案：（1）設,則由條件知().由于點在上，所以即從而的參數方程為（為參數）（2）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為。射線與的交點的極徑為，射線與的交點的極徑為。所以.21.已知函數正周期為.(1)當時，求函數的最大值與最小值：(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，求sinC．參考答案：（1）最大值為2，最小值為.（2）【分析】（1）先化簡函數為標準型，結合周期可得，從而可求最值；（2）先根據求出A，結合條件及余弦定理可得關系，利用正弦定理可求sinC.【詳解】解：（1）

因為最小正周期為，所以，可得，

故，當時，，

所以當時，最大值為，當時，最小值為.（2）由可得，，因為，所以，,

由余弦定理知，，又，可得，解得，，

由正弦定理知，，.【點睛】本題主要考查三角函數的性質及解三角形問題，三角函數性質問題的關鍵是化簡，注意公式的使用，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).22.如圖所示，在四面體ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．（1）求△ACD的面積；（2）若BC=2，求AB的長．參考答案：【考點】余弦定理．【分析】（1